Система линейных алгебраических уравнений конспект

Системы линейных уравнений
план-конспект занятия

Системы линейных уравнений

Скачать:

Вложение	Размер
teoriya._slu.doc	115.5 КБ

Предварительный просмотр:

Перед тем, как перейти к написанию лекции . ОБЯЗАТЕЛЬНО посмотрите видеоурок. для того, чтобы понимать способы решения ЛУ.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Системой линейных уравнений , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij – называются коэффициентами системы, числа b ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы .

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей .

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида , если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = — матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие :

умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.
Сложение и вычитание уравнений.
Перестановка уравнений.
Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

Умножим вторую строку на –1:

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

Разделим третью строку на –11:

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе Δ первый столбик, соответствующий переменной х 1 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х1 :

Заменим в определителе Δ второй столбик, соответствующий переменной х 2 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х2 :

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя Δ . В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х 1 , х 2 , …, х n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

если определитель матрицы системы Δ отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
если определитель матрицы системы Δ равен 0, а среди определителей Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
если определитель матрицы системы Δ равен 0 и все определители Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Конспекты «Системы линейных уравнений»

Системы линейных уравнений

Содержание

Введение

СЛУ можно использовать в экономике для решения экономических задач

1 Метод нахождения неотрицательного решения СЛУ

Что такое СЛУ

Система линейных алгебраических уравнений ( линейная система , также употребляются аббревиатуры СЛАУ , СЛУ ) — система уравнений , каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени. То есть система m линейных уравнений с n неизвестными ( или , линейная система ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь <\displaystyle m>m — количество уравнений, а <\displaystyle n>n — количество переменных, <\displaystyle x_<1>,x_<2>,\dots ,x_> — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты <\displaystyle a_<11>,a_<12>,\dots ,a_> и свободные члены <\displaystyle b_<1>,b_<2>,\dots ,b_> предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений ( <\displaystyle a_> ) формируются по следующему соглашению: первый индекс ( <\displaystyle i>i ) обозначает номер уравнения, второй ( <\displaystyle j>j ) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.

Система называется , если все её свободные члены равны нулю ( <\displaystyle b_<1>=b_<2>=\dots b_=0> ), иначе — неоднородной .

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных ( <\displaystyle m=n>m = n ). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является недоопределённой , такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными . Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой .

Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает.

Система является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение ,

Совместная система с единственным решением называется определённой , при наличии более одного решения — неопределённой .

Система называется квадратной , если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

СЛУ в алгебре и геометрии

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры , изучающий объекты линейной природы : векторные (или линейные) пространства, линейные отображения , системы линейных уравнений , среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители , матрицы , сопряжение . Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре .

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры , в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом . Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп . Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании , в эконометрике ) и естественных науках (например, в квантовой механике ).

Слу в геометрии

(3.4)

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости; координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы (3.4).

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1) прямые пересекаются, т.е. коэффициенты системы (3.4) не пропорциональны:

; (3.5)

2) прямые параллельны, т.е. коэффициенты системы (3.4) подчиняются условиям

; (3.6)

3) прямые совпадают, т.е. все коэффициенты пропорциональны

. (3.7)

Запишем определитель системы (3.4)

Лишь при выполнении условия (3.5) определитель не равен нулю и система имеет единственное решение (прямые пересекаются в одной точке). В случаях отсутствия решений (прямые параллельны) или при бесконечном множестве решений (прямые совпадают) выполняются соответственно соотношения (3.6) и (3.7), из которых получаем .

Методы нахождения неотрицательных (опорных) решений СЛУ

Совокупность чисел альфа, взятых в определенном порядке, называют решением слау, если они будучи подставлены в уравнения системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества. Решение называется неотрицательным, если все его компоненты альфа неотрицательны.

Можно считать, что правые части всех уравнений неотрицательны. Последовательно исключая неизвестные, можно привести систему к предпочитаемому виду. Если после этого правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения тоже будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения слау, надо сделать так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах процесса исключения оставались неотрицательными. Для этого достаточно выбирать разрешающий элемент по определенным правилам. При переходе системы в другую систему используем формулы исключения: ,где r – номер разрешающего уравнения, s – номер разрешающей неизвестной, i не =r. ,i=r. . . А – матрица коэффициентов, В – матрица свободных членов. Так как правые части уравнений должны быть неотрицательны и отбросив случай, когда правые части не изменяются, замечаем, что разрешающий элемент должен быть положительным: ars>0, т.е. в качестве разрешающей можно взять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. После должно быть выбрано разрешающее уравнение, исходя из условия: >0, откуда следует: . Правила выбора разрешающего элемента. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную при которой есть хотя бы один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестой в этих уравнениях. Если преобразования слау осуществляются методом Жордана-Гаусса с учетом правила выбора разрешающего элемента, то они называются симплексными, т.е. приводящими гарантированно к неотрицательному решению.

Вырожденная слау – система, у которой в каком-либо предпочитаемом виде хотя бы один свободный член = 0, у нее отношение b\а может быть одинаково в нескольких уравнениях.

Система не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными ,то соответственно базисные решения также будут неотрицательными. =>чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛУ ,надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться след правилам: 1)если в СЛАУ им отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимы *(-1); 2)в качестве разрешающей принимать ту переменную, коэффициента при кот хотя бы в одном уравнении системы положителен; 3)для нахождения разрешающего уравнения находят тип отношений столбца свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца, в этом сл k-ое уравнение будет разрешающим

Если хотя бы в одном из уравнений системы свободный член положителен, а все коэффициенты при неизвестных

Опорные решения системы линейных уравнений

Применение математических методов в экономике приводит к необходимости отыскания неотрицательных решений системы линейных уравнений, т.е. таких, в которых .

При этом особое значение имеют неотрицательные базисные решения, которые принято называть опорными решениями .

Таким образом, у опорных решений все базисные неизвестные должны иметь только неотрицательные значения.

Отсюда естественным образом получается один из способов отыскания опорных решений системы: из всех базисных решений выбрать одно, несколько или все (сколько требуется по условию задачи) неотрицательные решения (конечно, если они существуют в нужном количестве или вообще существуют).

Отсюда же видно, что число опорных решений системы может быть значительно меньше числа базисных решений, т.е. пытаться предварительно отыскать все базисные решения – не слишком благодарная работа. Еще раз отметим, что в базисном решении системы значения базисных неизвестных равны свободным членам системы, приведенной к единичному базису, и для того, чтобы базисное решение оказалось опорным, необходимо и достаточно, чтобы эти свободные члены были неотрицательными.

Поэтому задачу отыскания опорных решений системы естественно начать с того, чтобы сделать все ее свободные члены неотрицательными (для этого каждое уравнение с отрицательным свободным членом достаточно умножить на (-1)).

Далее можно воспользоваться тем же алгоритмом приведения системы к единичному базису, что и при получении базисных решений, только его следует дополнить специальным правилом выбора ключевого элемента : ключевой столбец (допустим р -й) выбирается так, чтобы он имел хотя бы один положительный элемент , и составляются отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ключевого столбца; то уравнение (пусть q -е), для которого указанное отношение оказывается наименьшим, выбирается в качестве ключевого (ключевой строки).

Таким образом (1)

После получения исходного (первого) опорного решения системы возникает вторая задача, как последовательно перейти от него к следующему, тоже опорному решению. Оказывается, для этого можно использовать алгоритм преобразования однократного замещения, дополненный этим же правилом (1) выбора ключевого элемента.

Преобразования системы с неотрицательными свободными членами к единичному базису, а также преобразования однократного замещения (и те, и другие), при которых выбор ключевого элемента производится по указанному правилу (1), принято называть симплексными преобразованиями .

Для симплексных преобразований справедлива следующая теорема:

Если все свободные члены уравнений системы неотрицательны, то после симплексных преобразований системы они останутся неотрицательными

Сформулированная теорема подтверждает правило отыскания опорного решения методом Жордана-Гаусса, состоящее в соблюдении следующих условий:

1) все свободные члены уравнений системы должны быть неотрицательными; если есть хотя бы один отрицательный свободный член, то соответствующее ему уравнение нужно умножить на (-1);

2) в базис можно ввести только то неизвестное, у которого есть хотя бы один положительный коэффициент;

3) если при неизвестной, вводимой в базис, имеются положительные коэффициенты в нескольких уравнениях, то неизвестная вводится в базис в том уравнении, которому соответствует наименьшее отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам.

Примеры задач на нахождение неотрицательных (опорных) решений СЛУ

Пример 1. Найдите опорное решение системы уравнений

Так как во втором уравнении свободный член , умножим это уравнение на (-1). Заполним исходную таблицу Гаусса.

Все свободные члены положительные. При неизвестной есть положительные коэффициенты, значит, можно ее ввести в базис. Поскольку положительные коэффициенты при присутствуют во всех трех уравнениях, следует найти (согласно формуле (1)) минимальное отношение свободных членов к этим положительным коэффициентам, т.е. .

Это минимальное отношение соответствует как первой, так и третьей строке, следовательно, можно вводить в базис как в первом уравнении, так и в третьем. Введем в базис в первом уравнении: ключевой элемент , ключевая строка первая, ключевой столбец первый.

Составляем таблицу Гаусса I итерации.

При неизвестной есть положительные коэффициенты в первом и во втором уравнениях, причем во втором уравнении нет базисной переменной. Но можно ввести в базис только в том случае, если минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам соответствует второму уравнению.

Находим .

Отсюда следует, что можно ввести в базис во втором уравнении.

Составляем таблицу Гаусса II итерации.

Итак, система приведена к единичному базису. Выпишем общее решение системы

и опорное решение .

Ответ : .

Пример 2. Найдите опорное решение системы уравнений

Так как , то в таблицу исходной системы запишем результат умножения первого уравнения на (1).

неизвестную нельзя ввести в базис, не выводя из него , т.к. , что соответствует второму уравнению.

Точно так же нельзя ввести в базис неизвестную , не выводя из него , т.к. приходится на второе уравнение. У неизвестной единственный положительный коэффициент также приходится на второе уравнение. У неизвестной все коэффициенты отрицательные.

Поэтому мы не можем получить опорное решение системы, вводя в базис первой неизвестную . Этот вывод можно было бы сделать быстрее, заметив, что в третьей строке при положительном свободном члене нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных.

Попытаемся начать приведение системы к единичному базису с других неизвестных.

Для неизвестной : , поэтому вводим в базис во втором уравнении.

При этом исходная таблица имеет вид:

В третьей строке таблицы I итерации опять нет ни одного положительного коэффициента при неизвестных (при положительном свободном члене). Поэтому мы не можем получить опорные решения, вводя в базис первой неизвестную .

Для неизвестной : , поэтому вводим в базис во втором уравнении. При этом исходная таблица имеет вид:

Таблица I итерации выглядит так:

Теперь ни , ни , ни нельзя ввести в базис, не выводя из него . Остается единственная возможность: ввести в базис в первом уравнении. Получим таблицу II итерации:

Теперь в базис можно ввести лишь неизвестную , но только убрав из него (так как приходится на второе уравнение).

Мы исчерпали все допустимые возможности выбора первой базисной неизвестной (и других) и не смогли получить опорного решения. Следовательно, мы доказали, что данная система опорных решений не имеет.

Ответ : система не имеет опорных решений.

Пример 3 . Найдите опорное решение системы

Заполним исходную таблицу Гаусса.

При неизвестной есть два положительных коэффициента и так как , то ввести в базис можно как в первом, так и в третьем уравнении. Введем в базис в первом уравнении.

Получим таблицу I итерации:

Теперь в базис можно вводить неизвестные , , , и только в третьем уравнении ( ). Введем в базис и заполним таблицу II итерации:

Здесь во втором (единственном неиспользованном уравнении) положительный коэффициент только при , но приходится на уже использованное третье уравнение. Поэтому будем пробовать вводить в базис второй неизвестной одну из неизвестных , и (по очереди) и заполнять новые таблицы I и II итерации.Начнем с неизвестной :

Система линейных алгебраических уравнений

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:

Индексы коэффициентов ( a_ij ) формируются следующим образом:

i – номер линейного уравнения;
j – номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ – такие числа c₁, c₂,…, c_n , при постановке которых вместо x₁, x₂,…, x_n , все уравнения системы превратятся в тождества.

Виды СЛАУ

Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b₁ = b₂ = … = b_m = 0 ).

В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:

Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.

СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 .
Несовместная – система не имеет решений.

Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.