Система линейных одновременных уравнений это

Системы линейных одновременных уравнений. Условия идентификации

Система одновременных уравнений может быть преобразована к приведенной форме, в каждом уравнении которой результативная переменная выражена только через факторные переменные. Первоначальная система в этом случае называется структурной формой. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной форм необходимо, чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо.

Если обозначить число результативных переменных в некотором уравнении структурной формы через H, а число факторных переменных, которые содержаться в системе, но не входят в данное уравнение, через D, то:

если — уравнение неидентифицируемо;

если — уравнение идентифицируемо (необходимое условие);

если — уравнение сверхидентифицируемо.

Для идентифицируемости уравнения должно выполняться и дополнительное условие. Отметим в системе результативные и факторные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу (если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком). Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено, если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество результативных переменных в системе без одного.

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.