Система линейных уравнений элементарные преобразования примеры

02. Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему

(2)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

. (3)

Умножая его на число K, получим верное числовое равенство:

, (4)

Т. о. устанавливаем, что  решение системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что  решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

, (6)

. (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство:

. (8)

Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число K получим числовое равенство (6).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Алгебра и теория чисел

Лекция 3

Системы линейных уравнений

План

1. Основные понятия и обозначения.

2. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

3. Ступенчатая матрица. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 25-48.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра — М, 2000. с. 5-22

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 38-56.

1. Основные понятия и обозначения. Простейшие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными изучаются в средней школе:

Известно, что справедлив один из следующих трех случаев: либо система имет одно решение, либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. В этом параграфе мы будем рассматривать общие системы линейных уравнений и установим это утверждение в общем случае кроме того изложим один из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений — метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса по имени выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).

Определение 1.Системой m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

где a₁₁ ,a₁₂ . a_mn — фиксированные числа (действительные, комплексные или принадлежащие некоторому полю) , называемые коэффициентами при неизвестных, b₁ ,b₂ . b_m — фиксированные числа, называемые свободными членами.

Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 2.Решением системы линейных уравнений (1) называется такой упорядоченный набор n чисел , при подстановке которыхв каждое из уравнений системы вместо соответственно неизвестных x_{1 ,} x_{2 .} x_n каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и называется неопределенной, если она не имеет решений.

Пусть S₁ , S₂ системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных, X₁ , X₂ — множества их решений соответственно.

Определение 3.Говорят, что система линейных уравнений S₂ следствие системы S₁ и S₂ , если каждое решение системы S₁ является решением системы S₂ ,т.е. . Обозначаем .

Определение 4. Говорят, что системы S₁ и S₂ равносильны, если каждое решение системы S₁ является решением системы S₂ и каждое решение системы S₂ является решением системы S₁ , т.е. . Обозначаем .

Отношение следования и равносильности обладают следующими свойствами.

1. Если и , то (транзитивность).

Действительно, если и , то по определению 3 и Отсюда по свойству включения и по определению .

2. (рефлексивность).

3. Если , то — (симметричность).

4. Если и , то — (транзитивность).

Свойства 2, 3, 4 доказываются аналогично.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

Доказательство.В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

(2)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

. (3)

Умножая его на число k,получим верное числовое равенство:

, (4)

т.о. устанавливаем, что решение системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы . Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число k , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

, (6)

. (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число k получим верное числовое равенство:

. (8)

Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число k получим числовое равенство (6).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).

Ступенчатая матрица.

Определение 6.Матрицей размерности называется прямоугольная таблица

содержащая mn чисел, расположенных в m строк и n столбцов, числа называются элементами матрицы. Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы a_ii называются элементами главной диагонали.

Определение 7. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

Матрицу ступенчатого вида называют также трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют треугольной матрицей. Ниже показаны две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

, , , , .

Определение 8. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство.Доказательство проводим методом математической индукции по числу m строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих m-1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится m строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер k , так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:

Можем считать, что элемент , в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число , к третьей — первую , умноженную на и т.д. , к m-й — первую, умноженную на . После этих преобразований матрица примет вид:

. (9)

Рассмотрим матрицу, состоящую из последних m-1 строк матрицы (9):

. 10)

Если матрица (10) нулевая, то все строки в матрице (9) кроме первой нулевые. Вычеркивая их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (10) ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида: ,

где элементы и не равны нулю. Тогда соответствующими преобразованиями строк матрица (9) преобразуется в матрицу ступенчатого вида:

; (11)

элементы , . не равны нулю. Теорема доказана.

4. Метод Гаусса. Системе линейных уравнений (1) соответствуют три матриц

, .

Первая матрица называется матрицей системы, вторая — расширенной или присойдиненной матрицей системы, третья — столбцом свободных членов.

Система линейных уравнений называется системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются главными неизвестными, а остальные неизвестные называются свободными.

Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. уравнение вида:

не имеет решений. Действительно, если — решение этого уравнения, то получим противоречие с условием. Такое уравнение называем противоречивым.

Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.

Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.

Теорема 3.Любую систему линейных уравнений , содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.

1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.

2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.

3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много решение.

Доказательство.Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.

В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.

В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:

В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е. система имеет вид:

(12)

где Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного : . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного единственное значение и т.д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных из первого уравнения находим единственное значение неизвестного . Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.

В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а

систему можно записать в виде:

(13)

где В этой системе r главных неизвестных , все остальные свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных найдутся однозначно из системы (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.

Следствие.Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.

Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение , и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом Гаусса.

Пример 1.Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:

В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:

Решение системы .

Пример 2.Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
любую строку умножать или делить на некоторое число;
к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Ответ: решение данной системы уравнений — .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

откуда находим «икс третье»:

Далее, подставляем значения и во второе уравнение системы:

Наконец, подстановка значений

в первое уравнение даёт

откуда находим «икс первое»:

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

Из третьего уравнения —

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Проведём теперь исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на .

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

и известны, а находим из первого уравнения:

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: . Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения и . Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

источники:

http://poisk-ru.ru/s39191t18.html

http://function-x.ru/systems_gauss.html