Система линейных уравнений над полем алгоритм гаусса

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными. Требуется решить эту систему: определить, сколько решений она имеет (ни одного, одно или бесконечно много), а если она имеет хотя бы одно решение, то найти любое из них.

Формально задача ставится следующим образом: решить систему:

где коэффициенты и известны, а переменные — искомые неизвестные.

Удобно матричное представление этой задачи:

где — матрица , составленная из коэффициентов , и — векторы-столбцы высоты .

Стоит отметить, что СЛАУ может быть не над полем действительных чисел, а над полем по модулю какого-либо числа , т.е.:

— алгоритм Гаусса работает и для таких систем тоже (но этот случай будет рассмотрен ниже в отдельном разделе).

Алгоритм Гаусса

Строго говоря, описываемый ниже метод правильно называть методом «Гаусса-Жордана» (Gauss-Jordan elimination), поскольку он является вариацией метода Гаусса, описанной геодезистом Вильгельмом Жорданом в 1887 г. (стоит отметить, что Вильгельм Жордан не является автором ни теоремы Жордана о кривых, ни жордановой алгебры — всё это три разных учёных-однофамильца; кроме того, по всей видимости, более правильной является транскрипция «Йордан», но написание «Жордан» уже закрепилось в русской литературе). Также интересно заметить, что одновременно с Жорданом (а по некоторым данным даже раньше него) этот алгоритм придумал Класен (B.-I. Clasen).

Базовая схема

Кратко говоря, алгоритм заключается в последовательном исключении переменных из каждого уравнения до тех пор, пока в каждом уравнении не останется только по одной переменной. Если , то можно говорить, что алгоритм Гаусса-Жордана стремится привести матрицу системы к единичной матрице — ведь после того как матрица стала единичной, решение системы очевидно — решение единственно и задаётся получившимися коэффициентами .

При этом алгоритм основывается на двух простых эквивалентных преобразованиях системы: во-первых, можно обменивать два уравнения, а во-вторых, любое уравнение можно заменить линейной комбинацией этой строки (с ненулевым коэффициентом) и других строк (с произвольными коэффициентами).

На первом шаге алгоритм Гаусса-Жордана делит первую строку на коэффициент . Затем алгоритм прибавляет первую строку к остальным строкам с такими коэффициентами, чтобы их коэффициенты в первом столбце обращались в нули — для этого, очевидно, при прибавлении первой строки к -ой надо домножать её на . При каждой операции с матрицей (деление на число, прибавление к одной строке другой) соответствующие операции производятся и с вектором ; в некотором смысле, он ведёт себя, как если бы он был -ым столбцом матрицы .

В итоге, по окончании первого шага первый столбец матрицы станет единичным (т.е. будет содержать единицу в первой строке и нули в остальных).

Аналогично производится второй шаг алгоритма, только теперь рассматривается второй столбец и вторая строка: сначала вторая строка делится на , а затем отнимается от всех остальных строк с такими коэффициентами, чтобы обнулять второй столбец матрицы .

И так далее, пока мы не обработаем все строки или все столбцы матрицы . Если , то по построению алгоритма очевидно, что матрица получится единичной, что нам и требовалось.

Поиск опорного элемента (pivoting)

Разумеется, описанная выше схема неполна. Она работает только в том случае, если на каждом -ом шаге элемент отличен от нуля — иначе мы просто не сможем добиться обнуления остальных коэффициентов в текущем столбце путём прибавления к ним -ой строки.

Чтобы сделать алгоритм работающим в таких случаях, как раз и существует процесс выбора опорного элемента (на английском языке это называется одним словом «pivoting»). Он заключается в том, что производится перестановка строк и/или столбцов матрицы, чтобы в нужном элементе оказалось ненулевое число.

Заметим, что перестановка строк значительно проще реализуется на компьютере, чем перестановка столбцов: ведь при обмене местами двух каких-то столбцов надо запомнить, что эти две переменных обменялись местами, чтобы затем, при восстановлении ответа, правильно восстановить, какой ответ к какой переменной относится. При перестановке строк никаких таких дополнительных действий производить не надо.

К счастью, для корректности метода достаточно одних только обменов строк (т.н. «partial pivoting», в отличие от «full pivoting», когда обмениваются и строки, и столбцы). Но какую же именно строку следует выбирать для обмена? И правда ли, что поиск опорного элемента надо делать только тогда, когда текущий элемент нулевой?

Общего ответа на этот вопрос не существует. Есть разнообразные эвристики, однако самой эффективной из них (по соотношению простоты и отдачи) является такая эвристика: в качестве опорного элемента следует брать наибольший по модулю элемент, причём производить поиск опорного элемента и обмен с ним надо всегда, а не только когда это необходимо (т.е. не только тогда, когда ).

Иными словами, перед выполнением -ой фазы алгоритма Гаусса-Жордана с эвристикой partial pivoting необходимо найти в -ом столбце среди элементов с индексами от до максимальный по модулю, и обменять строку с этим элементом с -ой строкой.

Во-первых, эта эвристика позволит решить СЛАУ, даже если по ходу решения будет случаться так, что элемент . Во-вторых, что весьма немаловажно, эта эвристика улучшает численную устойчивость алгоритма Гаусса-Жордана.

Без этой эвристики, даже если система такова, что на каждой -ой фазе — алгоритм Гаусса-Жордана отработает, но в итоге накапливающаяся погрешность может оказаться настолько огромной, что даже для матриц размера около погрешность будет превосходить сам ответ.

Вырожденные случаи

Итак, если останавливаться на алгоритме Гаусса-Жордана с partial pivoting, то, утверждается, если и система невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель, что означает, что она имеет единственное решение), то описанный выше алгоритм полностью отработает и придёт к единичной матрице (доказательство этого, т.е. того, что ненулевой опорный элемент всегда будет находиться, здесь не приводится).

Рассмотрим теперь общий случай — когда и не обязательно равны. Предположим, что опорный элемент на -ом шаге не нашёлся. Это означает, что в -ом столбце все строки, начиная с текущей, содержат нули. Утверждается, что в этом случае эта -ая переменная не может быть определена, и является независимой переменной (может принимать произвольное значение). Чтобы алгоритм Гаусса-Жордана продолжил свою работу для всех последующих переменных, в такой ситуации надо просто пропустить текущий -ый столбец, не увеличивая при этом номер текущей строки (можно сказать, что мы виртуально удаляем -ый столбец матрицы).

Итак, некоторые переменные в процессе работы алгоритма могут оказываться независимыми. Понятно, что когда количество переменных больше количества уравнений, то как минимум переменных обнаружатся независимыми.

В целом, если обнаружилась хотя бы одна независимая переменная, то она может принимать произвольное значение, в то время как остальные (зависимые) переменные будут выражаться через неё. Это означает, что, когда мы работаем в поле действительных чисел, система потенциально имеет бесконечно много решений (если мы рассматриваем СЛАУ по модулю, то число решений будет равно этому модулю в степени количества независимых переменных). Впрочем, следует быть аккуратным: надо помнить о том, что даже если были обнаружены независимые переменные, тем не менее СЛАУ может не иметь решений вовсе. Это происходит, когда в оставшихся необработанными уравнениях (тех, до которых алгоритм Гаусса-Жордана не дошёл, т.е. это уравнения, в которых остались только независимые переменные) есть хотя бы один ненулевой свободный член.

Впрочем, проще это проверить явной подстановкой найденного решения: всем независимыми переменным присвоить нулевые значения, зависимым переменным присвоить найденные значения, и подставить это решение в текущую СЛАУ.

Реализация

Приведём здесь реализацию алгоритма Гаусса-Жордана с эвристикой partial pivoting (выбором опорного элемента как максимума по столбцу).

На вход функции передаётся сама матрица системы . Последний столбец матрицы — это в наших старых обозначениях столбец свободных коэффициентов (так сделано для удобства программирования — т.к. в самом алгоритме все операции со свободными коэффициентами повторяют операции с матрицей ).

Функция возвращает число решений системы (, или ) (бесконечность обозначена в коде специальной константой , которой можно задать любое большое значение). Если хотя бы одно решение существует, то оно возвращается в векторе .

В функции поддерживаются два указателя — на текущий столбец и текущую строку .

Также заводится вектор , в котором для каждой переменной записано, в какой строке должна она получиться (иными словами, для каждого столбца записан номер строки, в которой этот столбец отличен от нуля). Этот вектор нужен, поскольку некоторые переменные могли не «определиться» в ходе решения (т.е. это независимые переменные, которым можно присвоить произвольное значение — например, в приведённой реализации это нули).

Реализация использует технику partial pivoting, производя поиск строки с максимальным по модулю элементом, и переставляя затем эту строку в позицию (хотя явную перестановку строк можно заменить обменом двух индексов в некотором массиве, на практике это не даст реального выигрыша, т.к. на обмены тратится операций).

В реализации в целях простоты текущая строка не делится на опорный элемент — так что в итоге по окончании работы алгоритма матрица становится не единичной, а диагональной (впрочем, по-видимому, деление строки на ведущий элемент позволяет несколько уменьшить возникающие погрешности).

После нахождения решения оно подставляется обратно в матрицу — чтобы проверить, имеет ли система хотя бы одно решение или нет. Если проверка найденного решения прошла успешно, то функция возвращает или — в зависимости от того, есть ли хотя бы одна независимая переменная или нет.

Асимптотика

Оценим асимптотику полученного алгоритма. Алгоритм состоит из фаз, на каждой из которых происходит:

• поиск и перестановка опорного элемента — за время при использовании эвристики «partial pivoting» (поиск максимума в столбце)
• если опорный элемент в текущем столбце был найден — то прибавление текущего уравнения ко всем остальным уравнениям — за время

Очевидно, первый пункт имеет меньшую асимптотику, чем второй. Заметим также, что второй пункт выполняется не более раз — столько, сколько может быть зависимых переменных в СЛАУ.

Таким образом, итоговая асимптотика алгоритма принимает вид .

При эта оценка превращается в .

Заметим, что когда СЛАУ рассматривается не в поле действительных чисел, а в поле по модулю два, то систему можно решать гораздо быстрее — об этом см. ниже в разделе «Решение СЛАУ по модулю».

Более точная оценка числа действий

Для простоты выкладок будем считать, что .

Как мы уже знаем, время работы всего алгоритма фактически определяется временем, затрачиваемым на исключение текущего уравнения из остальных.

Это может происходить на каждом из шагов, при этом текущее уравнение прибавляется ко всем остальным. При прибавлении работа идёт только со столбцами, начиная с текущего. Таким образом, в сумме получается операций.

Дополнения

Ускорение алгоритма: разделение его на прямой и обратный ход

Добиться двукратного ускорения алгоритма можно, рассмотрев другую его версию, более классическую, когда алгоритм разбивается на фазы прямого и обратного хода.

В целом, в отличие от описанного выше алгоритма, можно приводить матрицу не к диагональному виду, а к треугольному виду — когда все элементы строго ниже главной диагонали равны нулю.

Система с треугольной матрицей решается тривиально — сначала из последнего уравнения сразу находится значение последней переменной, затем найденное значение подставляется в предпоследнее уравнение и находится значение предпоследней переменной, и так далее. Этот процесс и называется обратным ходом алгоритма Гаусса.

Прямой ход алгоритма Гаусса — это алгоритм, аналогичный описанному выше алгоритму Гаусса-Жордана, за одним исключением: текущая переменная исключается не из всех уравнений, а только из уравнений после текущего. В результате этого действительно получается не диагональная, а треугольная матрица.

Разница в том, что прямой ход работает быстрее алгоритма Гаусса-Жордана — поскольку в среднем он делает в два раза меньше прибавлений одного уравнения к другому. Обратный ход работает за , что в любом случае асимптотически быстрее прямого хода.

Таким образом, если , то данный алгоритм будет делать уже операций — что в два раза меньше алгоритма Гаусса-Жордана.

Решение СЛАУ по модулю

Для решения СЛАУ по модулю можно применять описанный выше алгоритм, он сохраняет свою корректность.

Разумеется, теперь становится ненужным использовать какие-то хитрые техники выбора опорного элемента — достаточно найти любой ненулевой элемент в текущем столбце.

Если модуль простой, то никаких сложностей вообще не возникает — происходящие по ходу работы алгоритма Гаусса деления не создают особых проблем.

Особенно замечателен модуль, равный двум: для него все операции с матрицей можно производить очень эффективно. Например, отнимание одной строки от другой по модулю два — это на самом деле их симметрическая разность («xor»). Таким образом, весь алгоритм можно значительно ускорить, сжав всю матрицу в битовые маски и оперируя только ими. Приведём здесь новую реализацию основной части алгоритма Гаусса-Жордана, используя стандартный контейнер C++ «bitset»:

Как можно заметить, реализация стала даже немного короче, при том, что она значительно быстрее старой реализации — а именно, быстрее в раза за счёт битового сжатия. Также следует отметить, что решение систем по модулю два на практике работает очень быстро, поскольку случаи, когда от одной строки надо отнимать другую, происходят достаточно редко (на разреженных матрицах этот алгоритм может работать за время скорее порядка квадрата от размера, чем куба).

Если модуль произвольный (не обязательно простой), то всё становится несколько сложнее. Понятно, что пользуясь Китайской теоремой об остатках, мы сводим задачу с произвольным модулем только к модулям вида «степень простого». [ дальнейший текст был скрыт, т.к. это непроверенная информация — возможно, неправильный способ решения ]

Наконец, рассмотрим вопрос числа решений СЛАУ по модулю. Ответ на него достаточно прост: число решений равно , где — модуль, — число независимых переменных.

Немного о различных способах выбора опорного элемента

Как уже говорилось выше, однозначного ответа на этот вопрос нет.

Эвристика «partial pivoting», которая заключалась в поиске максимального элемента в текущем столбце, работает на практике весьма неплохо. Также оказывается, что она даёт практически тот же результат, что и «full pivoting» — когда опорный элемент ищется среди элементов целой подматрицы — начиная с текущей строки и с текущего столбца.

Но интересно отметить, что обе эти эвристики с поиском максимального элемента, фактически, очень зависят от того, насколько были промасштабированы исходные уравнения. Например, если одно из уравнений системы умножить на миллион, то это уравнение почти наверняка будет выбрано в качестве ведущего на первом же шаге. Это кажется достаточно странным, поэтому логичен переход к немного более сложной эвристике — так называемому «implicit pivoting».

Эвристика implicit pivoting заключается в том, что элементы различных строк сравниваются так, как если бы обе строки были пронормированы таким образом, что максимальный по модулю элемент в них был бы равен единице. Для реализации этой техники надо просто поддерживать текущий максимум в каждой строке (либо поддерживать каждую строку так, чтобы максимум в ней был равен единице по модулю, но это может привести к увеличению накапливаемой погрешности).

Улучшение найденного ответа

Поскольку, несмотря на различные эвристики, алгоритм Гаусса-Жордана всё равно может приводить к большим погрешностям на специальных матрицах даже размеров порядка — .

В связи с этим, полученный алгоритмом Гаусса-Жордана ответ можно улучшить, применив к нему какой-либо простой численный метод — например, метод простой итерации.

Таким образом, решение превращается в двухшаговое: сначала выполняется алгоритм Гаусса-Жордана, затем — какой-либо численный метод, принимающий в качестве начальных данных решение, полученное на первом шаге.

Такой приём позволяет несколько расширить множество задач, решаемых алгоритмом Гаусса-Жордана с приемлемой погрешностью.

Системы линейных уравнений над полем.

Рассмотрим один из наиболее распространенных на практике методов решения систем линейных уравнений над полем_; называемый методом Гаусса.

Пусть дана система уравнений над произвольным полем. Если А = Оmхn, то система совместна только при β ↓ = 0 ↓ . При выполнении этого условия любой вектор из Р ( n ) является ее решением. Далее считаем, что А — ненулевая матрица. Приведем расширенную матрицу В = (А,β ↓ ) к специальному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Пусть при этом получилась матрица С = (с_ij)_mx(n+1)типа S(i₁. i_r). Тогда система равносильна системе уравнений

где С’ = (с_ij)_mхn,a γ ↓ —последний столбец матрицы С. В зависимости от значений параметров r,i₁. i_r возможны следующие три принци­пиально различных случая.

1) i_r = п + 1. В этом случае столбец β ↓ матрицы В не выражается линейно через столбцы матрицы А, и система уравнений несовместна.

2) i_r ≤ n,r= п.В этом случае матрица С имеет тип S(1,2. n), а тогда имеем:β ↓ = A₁ ↓ c_{1 n+1} + . + A_n ↓ c_nn+1 и система столбцов A₁ ↓ , . , A_n ↓ линейно независима. Отсюда и следует, что столбецγ ↓ является единственным решением системы уравнений . Следовательно, в рассматриваемом случае система совместна и определенна.

которая, очевидно, равносильна системе (1), Подставляя в (3) вместо х_ir+1. x_iппроизвольные элементы air+l , . , a_inполя P, мы однозначно определим значения а_i1. а_ir остальных неизвестных x_i1. x_ir так, что набор (a₁. ,a_n) будет решением системы (3). Нетрудно заметить, что каждое решение системы (3) можно получить указанным способом. Так как r ↓ ), можно сделать следующий вывод. При решении системы уравнений методом Гаусса логически возможны следующие взаимно исключающие случаи:

1) rangA ≠rangВ, система несовместна;

2) rangА = rangВ= п, система совместна и определенна;

Эту теорему называют теоремой Кронекера-Капеллив честь немецкого математика Л. Кронекера (1823—1891) и итальянского математика А. Капелли (1855-1910).

Пояснение. Система уравнений Ax=b разрешима тогда и только тогда, когда \operatorname A = \operatorname(A, b), где (A, b) — расширенная матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b.

ДОК-ВО

Пусть система совместна. Тогда существуют числа x_1,\dots,x_n\in\mathbb R такие, что b=x_1 a_1+\dots+x_n a_n. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a_1,\dots,a_n матрицы A. Из того что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что \operatorname A = \operatorname B.

Пусть \operatorname A = \operatorname B = r. Возьмём в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как \operatorname B = r, то он же будет базисным минором и матрицы B. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Теорема (критерий определенности).Система линейных уравнении над полем имеет единственное решение тогда и только тогда,когда ранги основной и расширенной матриц системы равны числу её неизвестных.

Теорема.Совместная и неопределенная система линейных уравнений над полем Р имеет бесконечно много решений при бесконечном поле Р и q n — r решений при |Р| = q, где п — число неизвестных, аr — ранг основной (и расширенной) матрицы системы.

Рассмотрим еще метод решения систем линейных уравнений над полем, основанный на использовании ранговых подматриц матриц этих систем.

Пусть дана система с основной матрицей А и расширенной матрицей В = (A, β ↓ )и известно, что rangA = rangВ = r. Выберем в матрице А произвольную ранговую подматрицу

Так как rangB = r и А есть подматрица матрицы В, то А’ является ранговой подматрицей и для матрицы В, Отсюда и легко получить, что система строк является базисом системы всех строк матрицы В. Поэтому матрицу В элементарными преобразованиями строк можно привести к матрице вида:

Также равносильна системе уравнений

где β‘ ↓ — последний столбец матрицы B’, а А’ получена из В’ удалением столбца β‘ ↓ . Удалив из системы (4) последние m-r уравнений и перенеся в оставшихся уравнениях в правые части все слагаемые, не содержащие неизвестных x_j1, . , x_jrполучим систему из r уравнений, равносильную системе:

(5)

Подставив в (5) вместо x_jr+1, . , x_jnпроизвольные элементы из Р, мы получим систему rуравнений с r неизвестными x_j1, . x_jr, которая по теореме Крамера имеет единственное решение x_j1= a_j1, . x_jr= а_jr. В итоге мы найдем решение (a₁, . a_n) системы (5) . Легко видеть, что таким образом можно получить все решения системы (5). Действительно, если γ = (с₁, . ,c_n) — любое решение системы (5), то, заменив в (5) х_i на с_i при всех i Є ,получим систему верных равенств, которая свидетельствует о том, что c_j1. c_jrесть решение системы, полученной из (5) заменой x_jr+1, . x_jnсоответственно элементами c_jr+1. c_jn.

Замечание 1. Вместо того чтобы решать методом Крамера все системы уравнений, получаемые из (5) заменой xjr+1, . , xjn всевозможными элементами поля Р, можно решить методом Крамера саму систему (5), считаяx_jr+1. x_jn параметрами со значениями из поля Р. В итоге неизвестные x_j1, . , x_jrбудут представлены в виде аффинных функций от переменных x_jr+1, . , x_jn. Придавая последним произвольные значения из Р и вычисляя соответствующие значения неизвестных x_j1. x_jrполучим все решения системы (5).

Замечание 2. Набор неизвестных x_jr+1, . x_jnиз правых частей уравнений системы (5) называют системой свободных неизвестных системы уравнений В общем случае система свободных неизвестных для системы находится неоднозначно, а определяется выбором ранговой подматрицы в матрице A.

3. Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля. Простые поля. Расширения полей. Поле разложения многочлена. Конечные поля и их свойства

По́ле в общей алгебре — алгебра, для элементов которой определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция или сложение) и \cdot (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и \cdot (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Примеры полей

Числа вида a + b\sqrt<2>, a,b\in\ , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в .

_p — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

_q — конечное поле из q=p^k элементов, где p — простое число, k — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

(x) — поле рациональных функций вида f(x)/g(x), где f и g — многочлены над некоторым полем (при этом g \ne 0, а f и g не имеют общих делителей, кроме констант).

Определение. Элементы a и b кольца, для которых , , но ab = 0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности.

Теорема 1. Из ab = ac следует b = c, если только и не является делителем нуля.

Доказательство. Из ab = ac следует ab — ac = 0 или a(b — c) = 0. Но так как и не делитель нуля, то b — c = 0, b = c.

В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с кольцами без делителей нуля. Для них из ab = ac и следует b = c.

При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно:

Теорема 2. Поле не имеет делителя нуля, т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.

Доказательство. Если ab = 0 и a ≠ 0, то, умножая обе части равенства на a -1 , найдем 1 · b = a -1 · 0, т. е. b = 0.

Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно:

Теорема 3. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть a ≠ 0. Каждому элементу x кольца поставим в соответствие элемент y =ax. Если x₁ ≠ x₂, то также y₁ ≠ x_y, т. к. иначе ax₁ = ax₂ и x₁ = x₂(Теорема1).Значит, x → y есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R

M. Но по основнай теореме о конечных множествах (Конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству) конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R = M, т. е. для любого элемента существует в R элемент q такой, что q → b, т. е. aq = b, что и доказывает VII.

Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по умножению коммутативную группу, то для любого элемента a ≠ 0 степень a n определена при любом целом показателе n.

Для частного элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей.

Простые поля

Подполе. Простое поле. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда P называется надполем или расширением поля M.

Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее — подполем поля комплексных чисел.

Теорема 1. Для того чтобы множество M поля P, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в P) любых элементов из M снова принадлежали к M.

Доказательство вполне аналогично проведенному для соответствующей теоремы о кольцах (теорема о кольцах: Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали M.).

Всякое подполе M поля P содержит 0 как разность a — a, где , и единицу как частное , где , a ≠ 0.

Теорема 2. Пересечение (в смысле пересечения множеств) любого множества надполей поля P опять является подполем поля P.

Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство ее вполне аналогично данному здесь для полей.

Доказательство. Пусть <M_s> есть некоторое множество подполей, где индексы s образуют множество S и — пересечение всех подполей M_s данного множества; 0 и 1 входят в каждое подполе M_s и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элементов. Если aиb — элементы D, то они входят в каждое M_s и по теореме 5 a + b, a — b, ab, а при b ≠ 0 и также входят в M_s, а значит, и в D. В силу теоремы 5 D — подполе поля P.

Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым.

Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю p.

Любое подполе M поля P рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные n · 1 = n, т. е. все целые числа, а значит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, M = P, т. е. P — простое поле. Точно так же любое подполе M поля C_pвычетов по простому модулю p содержит класс (1), служащий единицей C_p, а значит, любой класс (r) как r-кратное класса (1). Итак, M= C_p, т. е. C_p — простое поле.

Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчерпываются все простые поля.

Теорема 3. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

Доказательство. Поле P вообще содержит подполя (например, само P). Пусть D есть пересечение всех подполей поля P. По теореме 6 D является подполем P и по самому определению входит в любое подполе. Пусть M — подполе D, отличное от D.

Из определения подполя следует, очевидно, что M будет подполем и для P, и D не входит в M, что невозможно. Итак, D — простое подполе P. Если D’ — также простое подполе поля P, то пересечение будет опять подполем поля P, причем и . Но из определения подполя следует, что в таком случае D» будет подполем как для D, так и для D’, а так как D и D’ — простые подполя, то D = D» = D’, чем доказана единственность простого подполя.

Расширения полей

Расшире́ние по́ля K — поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения

Если E — поле, его подполе — это его подмножество K, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле E. В этом случае E называется расширением поля K, заданное расширение обычно обозначают E\supset K (также используются обозначения E/K и K\subset E). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения E\supset K эквивалентно заданию гомоморфизма f:K\to E.

Если задано расширение E\supset K и подмножество S поля E, то наименьшее подполе E, содержащее K и S, обозначается K(S) и называется полем, порождённым множеством S над полем K. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями.

Для любого расширения E\supset K E является векторным пространством над полем K. В этой ситуации элементы E можно понимать как «векторы», а элементы K — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле E. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [E:K]. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.