Система линейных уравнений сложение матриц

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

Выражаем из этого уравнения X :

Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Решение СЛАУ

Содержание:

Определители, их свойства

Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чисел

Числа — элементы матрицы; — номер строки; — номер столбца.

Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по правилу

Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры №1:

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется число

Например, для определителя III порядка (1.1)

Свойства определителей следуют из определения (1.1).

1°. Транспонирование: определитель не изменится, если все его строки заменить на соответствующие столбцы:

2°. Разложение определителя по любому ряду (строке или столбцу):

определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (1.1) разложение по второму столбцу:

3°. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на (-1).

4°. Определитель

1) все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;

2) соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).

5°. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за знак определителя. 6°. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично определению определителя III порядка вводится определение определителя

n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.

Например, определителем IV порядка называется число, вычисляемое по правилу

Свойства 1°—6° сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 6°, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по этому ряду.

Пример 1:

Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2, 3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками. Системы линейных алгебраических уравнений их совместность, определенность.

Методы Гаусса и Крамера

Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными будем называть следующую систему:

где — неизвестные, — коэффициенты при неизвестных; — свободные члены. При система называется однородной. Решением системы (1.2) называется такая совокупность чисел которая при подстановке вместо в каждое уравнение системы обращает его в тождество.

СЛАУ называется совместной, если она имеет решение, несовместной — если решения нет.

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечное множество.

Две совместные системы называются равносильными, если все их решения совпадают.

Система (1.2) переходит в равносильную, если:

а) поменять местами два уравнения;
б) умножить любое уравнение на число
в) прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.

Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу — матрицу из m строк и n столбцов:

Она называется основной матрицей системы, а матрица — расширенной:

Преобразования со строками расширенной матрицы системы, соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, — эквивалентными.

Обозначим i-ю строку матрицы А через

Строки называют линейно зависимыми, если существуют числа что В противном случае строки называют линейно независимыми.

Рангом матрицы А (обозначается rang А) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Т: (Кронекера—Капелл и) Система (1.2) совместна тогда, когда rang А = rang (A | В) Доказательство см. в [1. С.97]. Для решения системы (1.2) применяется метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.

Все преобразования проводятся с расширенной матрицей. Пусть Тогда умножением первой строки последовательно и сложением соответственно со 2-й, . и m-й строками получаем матрицу Аналогичные преобразования производим с матрицей Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого вида причем rang (A | В) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.

Возможны три случая:

1) Получилась строка ей соответствует уравнение — система несовместна .

2) Число ненулевых строк г меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой строке соответствует уравнение

из которого находим неизвестное хг через и — г так называемых свободных неизвестных: Из уравнений, соответствующих другим строкам, последовательно находим , также через свободные неизвестные.

3) Если решение системы единственно. Последней ненулевой строке соответствует уравнение из которого находим неизвестное, а далее последовательно

Пример 2:

Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей, приходим к матрице ступенчатого вида.

Второй строке соответствует уравнение из которого находим Подставляем в первое уравнение системы: и находим где — свободное неизвестное Если то матрица А — квадратная и ее определитель — главный определитель системы.

При решение системы единственно и находится по формулам Крамера: В них определитель называется определителем неизвестного . и получается из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Выведем формулы Крамера, например, для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1-е, 2-е и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения затем складываем их: Множитель при — разложенный по 1-му столбцу определитель множители при и правая часть соответственно — определители: Таким образом, Формулы для выводятся аналогично.

Пример 3:

Находим Отсюда

Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

Матрица (1.3) кратко записывается в виде и называется прямоугольной матрицей размерности Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если

Сложение матриц. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица

Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри-цей, обозначается 0;

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число называется матрица

Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В) называется матрица

Произведение матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону:

Сочетательный и распределительный законы справедливы:

Примеры №2:

Для квадратных матриц одинакового порядка умножение всегда возможно. Особое значение при таком умножении имеет еди- ничная матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули: Очевидно, что определитель единичной матрицы det Е= 1. Легко проверяется, что

Если матрица С — АВ для квадратных матриц А и В, то Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.

Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если (1.4) Если выполняется равенство (1.4), то справедливо Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е.

Доказательство см. в [1. С.76]. В процессе доказательства получен вид матрицы для квадратной матрицы А порядка n: где — алгебраические дополнения элементов определителя

Пример 3:

Определитель поэтому обратная матрица существует и Используя действия над матрицами, СЛАУ (1.2) в случае можно записать в виде где и решить при так называемым матричным способом (1.6) Равенство (1.6) получаем, умножая обе части (1.5) слева на матрицу .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.

Метод сложения – решая системы линейных уравнений методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ, где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.

Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:

1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.

2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.

3. Далее необходимо решить линейное уравнение, которое мы получили и найти решение системы.

Решение системы — это точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим на примерах.

Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (–1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:

Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.

Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y. Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода – избавиться от 1-ой из переменных.

Далее очень легко: 3x + 12 = 0 → x = -4 – подставляем в 1-е уравнение системы (можете и во 2-у, но это не так удобно, так как во втором уравнении числа больше):

В виде системы решение выглядит где-то так:

В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях. А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.

Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:

Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4, при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное. Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .