Система линейных уравнений третьего порядка методом крамера
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
(1) |
Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением
Ax=b | (2) |
где A -основная матрица системы:
(3) |
а x и b − векторы столбцы:
первый из которых нужно найти, а второй задан.
Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:
A -1 Ax=A -1 b. |
Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим
x=A -1 b. | (4) |
Обратная матрица имеет следующий вид:
(5) |
где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.
где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.
Мы получили формулы Крамера:
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера
- Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
- Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
- Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
- Вычислить переменную x1=Δ1/Δ.
- Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.
Примеры решения СЛУ методом Крамера
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
. |
Вычислим определитель основной матрицы A:
. |
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A1:
. |
Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A2:
. |
Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A3:
. |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на «−».
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на «+».
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:
Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/equation/kramer/
http://matworld.ru/calculator/kramer-method-online.php