Система нелинейных уравнений с двумя переменными решение

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Уравнения с двумя переменными \(x \ и \ y\) имеет вид \(f(x,y)= \varphi(x,y)\) , где \( f\ и \ \varphi\) – выражения с переменными \(x \ и \ y\) .

Если в уравнении \(x(x-y)=4\) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: \(1\cdot(-1-3)=4\) . Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения \(x(x-y)=4\) .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида \(\left\< \begin f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end \right.\) , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\< \begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end \right.\)

Заметим, что множитель \(x+y+1\ne0\) , так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе \(\left\< \begin x-2y+1=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x=2y-1 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \)

Решим второе уравнение:

\((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \\( 4y — 2 -y + 1)\cdot 3y = 6 \\(3y-1)\cdot 3y = 6 \\9y ^2-3y -2 = 0 \\y_1= 1; y_2 = -\frac23\)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: \(x_1=1; \ x_2=-\frac73\) .

Ответ: \((1; 1); (- \frac73; — \frac23 )\) .

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\< \begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end \right. \)

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х 2 . Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение \((xy)^2-11xy+18=0\) .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть \(xy = t\) , тогда \( t^2 — 11t + 18= 0\) , откуда \(t_1 = 2; t_2 = 9\) .

Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим \(x^2=1\) . Если \(x = 1, то\ y = 2 , \ а \ если\ x = -1, \ то\ y = -2\) .

Во втором случае получаем \(x^2=-209\) , т. е. не имеет действительных решений.

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\< \begin x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end \right.\)

Решение: \(\left\< \begin x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \left( \right) = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end \right. \)

\(\left\< \begin x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\< \begin x + y +\frac=\frac12, \\ \frac<(x+y)x>=-\frac12. \\ \end \right.\)

Решение: Введем новые неизвестные \(u =x+y, v = \frac\) и получим симметричную систему уравнений: \(\left\< \begin u+v=\frac12 \\ uv=-\frac12 \\ \end \right.\) . Решения этой системы: \(u_1=1, v_1=-\frac12; u_2=-\frac12, v_2=1\) . Получаем системы уравнений: \(\left\< \begin x+y=1 \\ \frac=-\frac12 \\ \end \right. \ и \ \left\< \begin x+y=-\frac12 \\ \frac=1 \\ \end \right. \) , которые являются линейными. Решение первой системы – \((-1;2)\) , второй – \((- \frac 1 <4>; — \frac 1<4>)\) .

Урок «Решение систем нелинейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

КГУ «Средняя школа-гимназия №1 имени Абая»

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Тема: Система нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели: систематизировать материал и применить знания в новой ситуации.

Задачи: — обучить учащихся решению системы нелинейных уравнений с двумя переменными;

— научить определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными

— воспитание сознательного отношения к изучению предмета.

Тип: Ознакомление с новым материалом.

Метод: Словесное объяснение материала с демонстрацией и практическим решением заданий.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю. МОГУ: на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем решать линейные уравнения с двумя переменными и нелинейные уравнения с двумя переменным ХОЧУ: познакомиться с методами решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку: Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения. Желаю всем удачи!

Актуализация знаний учащихся

-Что такое уравнение?

-Что значит уравнение с двумя переменными?

-Что является решением уравнения?

-Что значит система уравнений?

-Какие уравнения называются нелинейными?

— Выполнить задание на доске: разложить уравнения по местам (провести стрелки)

7у 4 -3ху 2 +11х 5 =0

Переходим к ключевому слову темы (система). Решить систему- необходимо найти все ее решения или доказать, что их нет. Решение системы -пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство.

Система уравнений с двумя переменными, в составе которой хотя бы одно уравнение является нелинейным, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными

Для решения системы нелинейных уравнений применяют несколько способов.

Способы решения систем уравнений второй степени:

-введения новой переменной

Для решения системы способом алгебраического сложения обычно используют следующий алгоритм:

1) Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными членам;

2) Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4) Найти соответствующее значение второй переменной;

5) Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Решим способом алгебраического сложения систему

Способ подстановки мы раньше применяли для решения систем уравнений с двумя переменными . Алгоритм решения :

В одном из уравнений системы нужно выразить одну переменную через другую;

Подставить это выражение во второе уравнение для получения уравнения с одной переменной;

Решить полученное уравнение с одной переменной;

Найти соответствующее значение второй переменной;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Решим способом подстановки систему

Графический способ решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными заключается в построении графика каждого уравнения , входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графико в. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

нужно рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую как функцию;

построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

определить координаты точек пересечения графиков уравнений;

записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Решим графическим способом систему Решим систему уравнений:

Построим в одной системе координат графики первого х 2 + у 2 = 25
(окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно что графики уравнений пересекаются в четырех точках А(3; 4), В(4; 3)
С(-3;-4) и Д(-4; 3), координаты которых являются решениями одной системы. Так как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой. Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Для решения более сложных систем уравнений с двумя переменными удобно использовать способ введения новых переменных . Алгоритм решения:

Ввести новые переменные для выражения определенных соотношений переменных в уравнений системы;

Записать уравнения системы через введенные переменные;

Решать полученную сстему уравнений относительно новых переменных;

Найти значения исходных переменных, используя числовые значения введенных переменных;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных исходных уравнений системы.

Решим способом введения новой переменной систему ⇔ t = s =

5.Закрепление изученного материала. № 42 (а)- методом подстановки

№ 47 (а) – графическим методом

6.Итог урока — рефлексия. -Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? — С какими способами решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились? — В чем заключается их суть? — Какой способ дает точные результаты, а какой дает не точные результаты? — Какой еще способ решения системы уравнений с двумя переменными вы знаете? — В каком случае система не будет иметь решений?

7.Задание на дом: § 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 362 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

10. Приемы решения целых уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 06.12.2018
• 378
• 0

• 06.12.2018
• 451
• 0

• 05.12.2018
• 2423
• 37

• 05.12.2018
• 1114
• 1

• 05.12.2018
• 1013
• 2

• 05.12.2018
• 394
• 5

• 03.12.2018
• 1437
• 3

• 03.12.2018
• 318
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.12.2018 2043
• DOCX 1.1 мбайт
• 29 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Телепенко Анна Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 16835
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.