Система независимых эконометрических уравнений решается двухшаговым мнк

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Системы эконометрических уравнений

Эконометрика как учебная дисциплина на современном этапе благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

Эконометрика

Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, спроса-предложения в данное время в данном месте и т.д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Введем следующие определения:

• Эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри системы (модели) .
• Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы .
• Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные за предыдущие моменты времени.
• Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.
• Коэффициенты и при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через — число эндогенных переменных в уравнении, а через — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

• уравнение идентифицируемо, если ;
• уравнение сверхидентифицируемо, если ;
• уравнение неидентифицируемо, если .

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных -двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение эконометрических уравнений

Пример задачи с уравнением №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

— доля импорта в ВВП;
— общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; — число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

— фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

— реальный ВВП;

— реальный объем чистого экспорта; — текущий период; — предыдущий период; и — случайные ошибки. Задание.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.

Решение:

1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (три экзогенные и одну лаговую эндогенную ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

• Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Пример задачи с уравнением №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.
4. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

• Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и три предопределенные переменные (экзогенные ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

• Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

• Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

Данное выражение содержит переменные и которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ. Выразим из третьего уравнения ПФМ

Подставим его в выражение для

Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые и , заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ

Подставим полученные и во второе уравнение ПФМ

В результате получаем второе уравнение СФМ

3) из второго уравнения ПФМ выразим , так как его нет в третьем уравнении СФМ

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

В результате получаем третье уравнение СФМ

Таким образом, СФМ примет вид

Пример задачи с уравнением №4.2.3.

Изучается модель вида

где — валовый национальный доход;

— валовый национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления); и — случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные ( и ) и две экзогенные переменные ( и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при и наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная . Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной . В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: . Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

• Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной . Для этого в приведенное уравнение

подставим значения и имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим (табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения , на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 4.2.2).

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через . Решаем уравнение . С помощью МНК получим . Запишем первое уравнение структурной модели

Пример задачи с уравнением №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

• — расходы на потребление в период ;
• — совокупный доход период :
• — инвестиции в период ;
• — процентная ставка в период ;
• — денежная масса в период ;
• — государственные расходы в период ;
• — расходы на потребление в период ;
• — инвестиции в период ;
• — текущий период;
• — предыдущий период;

и — случайные ошибки.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — и ( и две лаговые эндогенные переменные — и ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и одну предопределенную переменную (). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

где — случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная , станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной , от эндогенной переменной (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной . Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Методы решения систем эконометрических уравнений

Для нахождения коэффициентов систем эконометрических уравнений традиционный МНК неприменим, поэтому используются специальные приемы оценивания, такие как:

– метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией;

– метод максимального правдоподобия при полной информации.

Данные методы подробно описаны в литературе [6], первые два метода являются традиционными, легко реализуемыми на практике.

При решении идентифицируемых уравнений используется косвенный МНК, при решении сверхидентифицированных используется двухшаговый МНК.

Этапы косвенного МНК:

1) составляем приведенную форму модели, и определяем численные значения коэффициентов для каждого отдельного уравнения с использованием обычного МНК;

2) с помощью алгебраических преобразований от приведенной формы переходят к уравнениям структурной модели, получая при этом численные оценки структурных коэффициентов.

Этапы двухшагового МНК:

1) составляем приведенную форму модели, и определяем численные значения коэффициентов для каждого отдельного уравнения с использованием обычного МНК;

2) выявляем эндогенные переменные из правой части уравнения, и находим значения параметров по уравнениям приведенной модели, сформированным на первом этапе;

3) посредством обычного МНК определяются параметры каждого отдельного структурного уравнения, полученного на втором этапе. При этом используются исходные данные о фактических значениях предопределенных переменных и расчетных значениях эндогенных переменных, находящих в структурном уравнении в правой части.

Наиболее общим методом оценивания является метод максимального правдоподобия, результаты которого при нормальном законе распределения факторов совпадают с МНК. При большом количестве уравнений системы данный метод приводит к довольно сложным вычислительным процедурам. В этом случае используется модифицированный метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией, который разработан в 1949 г. Н.Рубиным и Т.Андерсоном. Этот метод снимает ограничения на параметры, обеспечивающие функционирование системы в целом. Но с середины 60-х годов его в практике вытеснил двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) из-за гораздо большей простоты последнего.

В 1962 г. Г.Тейлом и А.Зельнером был предложен трехшаговый метод наименьших квадратов, являющийся дальнейшим развитием ДМНК. Однако более эффективным оказывается все же ДМНК. Этот метод дважды использует МНК: когда определяется форма приведенной модели и на ее основе находятся оценки теоретических величин эндогенных переменных, и когда, используя эти теоретические величины эндогенных переменных, их применяют к исходным уравнениям модели. Пример применения данных методов см. ниже в практическом блоке. См. также [4].

4.4. Практический блок

Пример 4.1. Необходимо:

а)проверить на идентификацию следующую структурную модель:

б)найти структурные коэффициенты приведенной модели уравнений

а) в модели имеются три эндогенных и три экзогенных переменных.

Уравнения системы проверим на выполнение необходимых и достаточных условий идентификации.

Проверка необходимого условия для первого уравнения:

имеем две эндогенных переменных y₁ и y₃, и одну отсутствующую экзогенную (х₂). Выполняется условие1+1= 2, поэтому уравнение идентифицируемо.

Проверка достаточного условия для первого уравнения: отсутствуют переменные х₂ и у₂. Строим матрицу из коэффициентов, стоящих перед ними в других уравнениях:

Достаточное условие идентификации выполнено, т.к. кроме не равного 0 определителя получили и ранг матрицы равный 2,поэтому уравнение 1 идентифицируемо.

Проверка необходимого условия для второго уравнения:

имеем 3 зависимые переменныеy₁, y₂ иy₃ и две отсутствующие экзогенныех₁ их₃. Необходимое условие 3 = 2+1выполняется, значит, уравнение идентифицируемо.

Проверка достаточного условия для второго уравнения: отсутствуют х₁ и х₃. Строим матрицу из коэффициентов, стоящих перед ними в других уравнениях:

Достаточное условие идентификации выполнено, т.к. кроме не равного 0 определителя получили и ранг матрицы равный 2, поэтому уравнение 2 также идентифицируемо.

Аналогичным способом доказывается идентифицируемость и третьего уравнения. Таким образом, исследуемая система идентифицируема и для ее решения используется косвенный МНК.

б) Так как уравнение1 структурной формы не содержит переменную х₂, то выразим ее из уравнения 3 приведенной формых₂=(y₃+6х₁−5х₃)/8.

Подставляем полученное выражение х₂ в уравнение 1

Отсюда получаем первое уравнение в виде

Второе уравнение не содержит переменных х₁ и х₃. Параметры второго структурного уравнения будем определять в два этапа.

Сначала из первого уравнения выразим х₁

Теперь выразим х₃ из уравнения 3

и подставим его в выражение для х₁

Далее, чтобы получить выражениех₃ через y₁, y₃ и х₂, заменяем в его выражении значение х₁ на полученное ранее

Полученные х₁ и х₃подставим во второе уравнение

Получим второе уравнение

Затем из второго уравнения выразим х₂

И подставим его в третье уравнение

Получаем третье уравнение

Таким образом, получаем структурную форму модели

Пример 4.2. Рассмотрим следующую модель:

где R_t – расходы на потребление периода t;

V_t– совокупный доход периода t;

I_t – инвестиции периода t;

s_t – процентная ставка периода t;

D_t – денежная масса периода t;

GR_t – государственные расходы периода t;

R_t–1 – расходы на потребление периода t–1;

I_t–1 – инвестиции периода t–1.

1. Оценить параметров модели, считая, что все переменные модели имеют временные ряды данных.

2. Как изменится ответ, при исключении тождества дохода?

1. Исследуемая модель является системой одновременных уравнений. Каждое уравнение модели проверим на идентификацию.

независимые переменные (экзогенные – D_t ,GR_t и лаговые эндогенные переменные – I_t–1, R_t–1).

Сначала проверим для всех уравнений модели необходимые условия идентификации.

Уравнение 1 включает эндогенные переменные R_t,V_t и предопределенную переменную R_t–1. Число независимых переменных, которые не входят в уравнение, увеличенное на 1, больше количества эндогенных переменных, входящих в уравнение:

Имеем 3 + 1 > 2. Значит, уравнение сверхидентифицировано.

Второе уравнение включает эндогенные переменные s_t, I_t и не включает

три независимые переменные. Как и уравнение I, оно сверхидентифицировано.

Третье уравнение включает эндогенные переменные V_t, и s_t и не

включает три независимые переменные. Получили и это уравнение сверхидентифицированным.

IV уравнение является тождеством с известными параметрами. Нет необходимости в его идентификации.

Теперь проверим каждое уравнение на достаточное условие идентификации.

Коэффициенты при переменных рассматриваемой модели

Для обеспечения достаточного условия идентификации необходимо неравенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, при этом ранг матрицы должен равняться количеству эндогенных переменных минус 1 (4–1=3).

Рассмотрим уравнение I.

Матрица, составленная из коэффициентов у переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, имеет ранг 3, определитель подматрицы 33 этой матрицы отличен от нуля (проверить самостоятельно).

Условие достаточности идентификации для уравнения I выполняется.

Рассмотрим уравнение II.

Матрица, составленная из коэффициентов у переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, имеет ранг 3, определитель подматрицы 3 3 этой матрицы отличен от нуля.

Условие достаточности идентификации для уравнения II выполняется.

Рассмотрим III уравнение.

Матрица, составленная из коэффициентов у переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, также имеет ранг 3.

Условие достаточности идентификации для уравнения III выполняется.

Получили, что все уравнения сверхидентифицированы. Для оценки коэффициентов каждого из уравнений воспользуемся двухшаговым МНК.

а)Представим приведенную форму модели в виде

Определим коэффициенты каждого из приведенных уравнений отдельно обычным МНК. Затем рассчитаем значения эндогенных переменных V_t, s_t, которые используются в правой части модели, подставляя в уравнения приведенной формы соответствующие значения независимых переменных.

б)Заменим эндогенные переменные, которые выступают в качестве факторов исходных структурных уравнений, их расчетными значениями

2. При исключении из модели тождества дохода, количество предопределенных переменных модели уменьшается на 1 (исключается переменная GR_t). Число эндогенных переменных также снижается на единицу – переменная V_t становится экзогенной. В функции потребления и функции финансового рынка справа будут находиться только независимые переменные.

Функция инвестиций определяет зависимость переменной I_t, от переменной s_t (которая зависит только от независимых переменных) и лаговой переменной I_t–1. Следовательно, мы получим рекурсивную систему. Для получения ее параметров можно воспользоваться обычным МНК, при этом нет необходимости исследования системы на идентификацию.

Контрольные вопросы

1. Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании?

2. Охарактеризуйте виды систем уравнений, которые применяются в эконометрике.

3. Охарактеризуйте методы, применяемые при нахождении структурных коэффициентов модели у разных видов систем уравнений.

4. Дайте определения эндогенным, экзогенным, предопределенным переменным.

5. Охарактеризуйте структурную и приведенную форму модели.

6. Что такое идентификация модели?

7. На какие виды делятся структурные модели с точки зрения идентифицируемости?

8. В чем суть необходимого и достаточного условия идентификации уравнения?

9. Что собой представляет и как применяется косвенный МНК?

10. Что собой представляет и как применяется двухшаговый МНК?

Проверить идентифицируемость эконометрической модели:

Проверить идентифицируемость эконометрической модели:

Проверить уравнения на условия идентификации:

По данным в таблице построить эконометрическую модель, используя косвенный МНК:

По данным в таблице построить эконометрическую модель, используя двухшаговый МНК:

Задание 4.6.Проверить возможность идентификации модели. Какие переменные являются экзогенными, какие эндогенными. Привести к приведенной форме модели.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA+SEWc78A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPzWoCMRC+F3yHMEJvNdFDsVujiCBo8eLaBxg2sz+Y TJYkuuvbm4LQ23x8v7PajM6KO4XYedYwnykQxJU3HTcafi/7jyWImJANWs+k4UERNuvJ2woL4wc+ 071MjcghHAvU0KbUF1LGqiWHceZ74szVPjhMGYZGmoBDDndWLpT6lA47zg0t9rRrqbqWN6dBXsr9 sCxtUP5nUZ/s8XCuyWv9Ph233yASjelf/HIfTJ6vvuDvmXyBXD8BAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgA AAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1sLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQD5IRZzvwAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhAMAAAAA » filled=»f» stroked=»f»> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA7cIpM8IA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT2sCMRDF74V+hzCF3mpWDyKrUaQgqHhx7QcYNrN/ MJksSequ3945FHqb4b157zeb3eSdelBMfWAD81kBirgOtufWwM/t8LUClTKyRReYDDwpwW77/rbB 0oaRr/SocqskhFOJBrqch1LrVHfkMc3CQCxaE6LHLGtstY04Srh3elEUS+2xZ2nocKDvjup79esN 6Ft1GFeVi0U4L5qLOx2vDQVjPj+m/RpUpin/m/+uj1bw54Ivz8gEevsCAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDtwikzwgAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA » filled=»f» stroked=»f»> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAgo6MqL4A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPzYrCMBC+C75DGGFvmtbDItUoIggqXqz7AEMz/cFk UpJo69ubhYW9zcf3O5vdaI14kQ+dYwX5IgNBXDndcaPg536cr0CEiKzROCYFbwqw204nGyy0G/hG rzI2IoVwKFBBG2NfSBmqliyGheuJE1c7bzEm6BupPQ4p3Bq5zLJvabHj1NBiT4eWqkf5tArkvTwO q9L4zF2W9dWcT7eanFJfs3G/BhFpjP/iP/dJp/l5Dr/PpAvk9gMAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4bWwueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAIKOjKi+AAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9kb3ducmV2 LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACDAwAAAAA= » filled=»f» stroked=»f»>

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAHRC3RL4A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERP24rCMBB9X/Afwgi+rakuLFKNIoKgiy9WP2BophdM JiWJtv69EYR9m8O5zmozWCMe5EPrWMFsmoEgLp1uuVZwvey/FyBCRNZoHJOCJwXYrEdfK8y16/lM jyLWIoVwyFFBE2OXSxnKhiyGqeuIE1c5bzEm6GupPfYp3Bo5z7JfabHl1NBgR7uGyltxtwrkpdj3 i8L4zP3Nq5M5Hs4VOaUm42G7BBFpiP/ij/ug0/zZD7yfSRfI9QsAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4bWwueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAB0Qt0S+AAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9kb3ducmV2 LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACDAwAAAAA= » filled=»f» stroked=»f»>

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEADWcU3L4A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPy6rCMBDdC/5DGOHuNNWFSDWKCIJX7sbqBwzN9IHJ pCTR9v69EQR3czjP2ewGa8STfGgdK5jPMhDEpdMt1wpu1+N0BSJEZI3GMSn4pwC77Xi0wVy7ni/0 LGItUgiHHBU0MXa5lKFsyGKYuY44cZXzFmOCvpbaY5/CrZGLLFtKiy2nhgY7OjRU3ouHVSCvxbFf FcZn7ryo/szv6VKRU+pnMuzXICIN8Sv+uE86zZ8v4f1MukBuXwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4bWwueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAA1nFNy+AAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9kb3ducmV2 LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACDAwAAAAA= » filled=»f» stroked=»f»>

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA03x9+b8A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERP24rCMBB9F/yHMMK+aWqFRbpGEUFQ2RfrfsDQTC+Y TEoSbf17s7Cwb3M419nsRmvEk3zoHCtYLjIQxJXTHTcKfm7H+RpEiMgajWNS8KIAu+10ssFCu4Gv 9CxjI1IIhwIVtDH2hZShasliWLieOHG18xZjgr6R2uOQwq2ReZZ9Sosdp4YWezq0VN3Lh1Ugb+Vx WJfGZ+6S19/mfLrW5JT6mI37LxCRxvgv/nOfdJqfr+D3mXSB3L4BAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgA AAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1sLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQDTfH35vwAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhAMAAAAA » filled=»f» stroked=»f»>

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAXJXljb8A AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERP24rCMBB9F/yHMMK+aWqRRbpGEUFQ2RfrfsDQTC+Y TEoSbf17s7Cwb3M419nsRmvEk3zoHCtYLjIQxJXTHTcKfm7H+RpEiMgajWNS8KIAu+10ssFCu4Gv 9CxjI1IIhwIVtDH2hZShasliWLieOHG18xZjgr6R2uOQwq2ReZZ9Sosdp4YWezq0VN3Lh1Ugb+Vx WJfGZ+6S19/mfLrW5JT6mI37LxCRxvgv/nOfdJqfr+D3mXSB3L4BAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgA AAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1sLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQBcleWNvwAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhAMAAAAA » filled=»f» stroked=»f»>

где R– расходы на потребление;

s – процентная ставка;

D – денежная масса;

P – государственные расходы;

t, t-1– текущий и предыдущий период.

Задание 4.7. Проверить возможность идентификации модели. Какие переменные являются экзогенными, какие эндогенными. Привести к приведенной форме модели.

где V – национальный доход;

R– расходы на потребление;

I – чистые инвестиции;

U – валовая прибыль;

P – индекс стоимости жизни;

W – объем продукции промышленности;

t-1 – предыдущий период;

t – текущий период.

4.5. Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224 с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М. : ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс.–М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

4. Бардасов С.А. Эконометрика: Учебное пособие. Издательство: Тюмень: ТГУ. 2010.

5. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования : учеб. пособие / Л. О. Бабешко. — Изд. 4-е. — М. : КомКнига, 2010. — 428 с.

6. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2012. -304 с.

7. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. — М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2009. — 287 с.

8. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М. Магистр, 2009.