Полиномиальные уравнения (с решенными упражнениями)
полиномиальные уравнения являются утверждением, которое поднимает равенство двух выражений или членов, где хотя бы один из членов, составляющих каждую сторону равенства, является полиномом P (x). Эти уравнения названы в соответствии со степенью их переменных.
В общем, уравнение — это утверждение, которое устанавливает равенство двух выражений, где хотя бы в одном из них есть неизвестные величины, которые называются переменными или неизвестными. Хотя существует много типов уравнений, они обычно подразделяются на два типа: алгебраические и трансцендентные..
Полиномиальные уравнения содержат только алгебраические выражения, в которых может быть одно или несколько неизвестных, участвующих в уравнении. В соответствии с показателем степени (степени) они могут быть классифицированы на: первую степень (линейную), вторую степень (квадратичную), третью степень (кубическую), четвертую степень (квартальную), большую или равную пяти и иррациональную.
- 1 Характеристики
- 2 типа
- 2.1 Первый класс
- 2.2 Вторая степень
- 2.3 Резолвер
- 2.4 Высшая оценка
- 3 упражнения выполнены
- 3.1 Первое упражнение
- 3.2 Второе упражнение
- 4 Ссылки
черты
Полиномиальные уравнения — это выражения, которые образованы равенством двух полиномов; то есть с помощью конечных сумм умножений между неизвестными значениями (переменными) и фиксированными числами (коэффициентами), где переменные могут иметь показатели степени, а их значение может быть положительным целым числом, включая ноль.
Показатели степени определяют степень или тип уравнения. Тот член выражения, который имеет наивысший показатель степени, будет представлять абсолютную степень многочлена.
Полиномиальные уравнения также известны как алгебраические уравнения, их коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами, а переменные представляют собой неизвестные числа, представленные буквой, например: «x».
Если подставить значение для переменной «x» в P (x), результат будет равен нулю (0), то говорят, что это значение удовлетворяет уравнению (это решение) и обычно называется корнем многочлена..
Когда разработано полиномиальное уравнение, вы хотите найти все корни или решения.
тип
Существует несколько типов полиномиальных уравнений, которые дифференцируются по количеству переменных, а также по степени их степени..
Таким образом, полиномиальные уравнения, где первый член является полиномом с единственным неизвестным, учитывая, что его степень может быть любым натуральным числом (n), а второй член равен нулю, можно выразить следующим образом:
— вN, вн-1 и0, они действительные коэффициенты (числа).
— вN это отличается от нуля.
— Показатель n представляет собой положительное целое число, которое представляет степень уравнения.
— х — это переменная или неизвестная, которую нужно искать.
Абсолютная или большая степень полиномиального уравнения — это показатель большей ценности среди всех тех, которые образуют полином; таким образом, уравнения классифицируются как:
Первый класс
Уравнения полиномов первой степени, также известные как линейные уравнения, — это уравнения, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 1, а полином имеет форму P (x) = 0; и он состоит из линейного члена и независимого члена. Это написано следующим образом:
— a и b — действительные числа и a ≠ 0.
— ax — линейный член.
— б независимый термин.
Например, уравнение 13x — 18 = 4x.
Чтобы решить линейные уравнения, все члены, содержащие неизвестный x, должны быть переданы в одну сторону равенства, а те, которые не имеют, перемещены в другую сторону, чтобы очистить его и получить решение:
Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение или корень, который равен x = 2.
Второй класс
Полиномиальные уравнения второй степени, также известные как квадратные уравнения, — это те, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 2, полином имеет форму P (x) = 0 и состоит из квадратичного члена один линейный и один независимый. Это выражается следующим образом:
топор 2 + bx + c = 0.
— a, b и c — действительные числа и a ≠ 0.
— топор 2 является квадратичным членом, а «a» является коэффициентом квадратичного члена.
— bx — линейный член, а «b» — коэффициент линейного члена..
— с является независимым термином.
resolvente
Как правило, решение этого типа уравнений дается путем очистки х из уравнения, и оно оставляется следующим образом, который называется резольвер:
Там, (б 2 — 4ac) называется дискриминантом уравнения, и это выражение определяет количество решений, которые может иметь уравнение:
— Да (б 2 — 4ac) = 0, уравнение будет иметь одно решение, которое является двойным; то есть у вас будет два равных решения.
— Да (б 2 — 4ac)> 0, уравнение будет иметь два разных реальных решения.
— Да (б 2 — 4ac) 2 + 10x — 6 = 0, чтобы разрешить его, сначала определите термины a, b и c, а затем замените его в формуле:
Существуют случаи, когда полиномиальные уравнения второй степени не имеют трех членов, и поэтому они решаются по-разному:
— В случае, если квадратные уравнения не имеют линейного члена (то есть b = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + с = 0. Чтобы решить это, очищается х 2 и квадратные корни применяются в каждом члене, помня, что рассматриваются два возможных признака, которые может иметь неизвестное:
Например, 5 х 2 — 20 = 0.
— Если квадратное уравнение не имеет независимого члена (т. Е. С = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + bx = 0. Чтобы решить его, мы должны извлечь общий множитель неизвестного x в первом члене; поскольку уравнение равно нулю, верно, что хотя бы один из факторов будет равен 0:
Таким образом, вы должны:
Например: у вас есть уравнение 5x 2 + 30x = 0. Первый фактор:
Генерируются два фактора: х и (5х + 30). Считается, что одно из них будет равно нулю, а другое решение будет дано:
Степень магистра
Полиномиальные уравнения большей степени — это те, которые идут от третьей степени и далее, которые могут быть выражены или разрешены с помощью общего полиномиального уравнения для любой степени:
Это используется потому, что уравнение со степенью больше двух является результатом факторизации полинома; то есть оно выражается как умножение многочленов степени один или больше, но без реальных корней.
Решение этого типа уравнений является прямым, потому что умножение двух факторов будет равно нулю, если любой из факторов равен нулю (0); следовательно, каждое из найденных полиномиальных уравнений должно быть разрешено, сопоставляя каждый из его факторов с нулем.
Например, у вас есть уравнение третьей степени (куб) х 3 + х 2 +4x + 4 = 0. Чтобы решить эту проблему, необходимо выполнить следующие шаги:
х 3 + х 2 +4x + 4 = 0
(х 3 + х 2 ) + (4x + 4) = 0.
— Конечности разбиты, чтобы получить общий фактор неизвестного:
х 2 (х + 1) + 4 (х + 1) = 0
— Таким образом, получаются два фактора, которые должны быть равны нулю:
— Видно, что коэффициент (х 2 + 4) = 0 не будет иметь реального решения, а коэффициент (x + 1) = 0 да. Таким образом, решение является:
Решенные упражнения
Решите следующие уравнения:
Первое упражнение
решение
В этом случае уравнение выражается в виде умножения полиномов; то есть это факторизовано. Для ее решения каждый фактор должен быть равен нулю:
— 2x 2 + 5 = 0, не имеет решения.
Таким образом, данное уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.
Второе упражнение
решение
Ему был дан полином, который можно переписать как разность квадратов, чтобы прийти к более быстрому решению. Таким образом, уравнение остается:
Чтобы найти решение уравнений, оба фактора равны нулю:
(х 2 + 6) = 0, не имеет решения.
Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Полином одной переменной
Полиномы нескольких переменных рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.
Будем обозначать через $ \mathbb A_<> $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z,\mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $.
Общая информация
Функция вида $$ f(x)=a_0x^n+a_1x^
Пример. Выражения
$$ x^<2>+2\,x-679,\ x^<2>+\sqrt<2>x-\pi , \ <\mathbf i>\, x^<3>— 2\,x +\sqrt <3>$$ являются полиномами; а $$ x^<-2>+3\, x +x^ <2>,\ x^
Если $ a_<0>\ne 0 $, то член $ a_0x^
На переменную $ x_<> $ мы пока не накладываем ни какого ограничения: она может принимать значения из любого указанного выше множества — не обязательно из того, которому принадлежат коэффициенты полинома. Обозначим область определения полинома через $ \mathbb B_<> $.
Значением полинома при (или в точке) $ c\in \mathbb B_<> $ называется число $$ f(c) = a_0c^n+a_1c^
Два полинома $$ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n \ u \ g(x)=b_0x^m+\dots+b_m $$ с коэффициентами из $ \mathbb A $ называются (тождественно) равными: $$ f(x)\equiv g(x) $$ если совпадают множества их членов; или, что то же, равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Это определение отличается от привычного определения равенства двух функций: две функции $ F_<>(x) $ и $ G(x)_<> $ называются равными на множестве $ \mathbb B_<> $ если совпадают их значения при любом $ x \in \mathbb B_<> $. На самом деле, для случая полиномов эти два определения — алгебраическое и функциональное — эквивалентны.
Теорема. $ f_<>(x)\equiv g(x) $ тогда и только тогда, когда $ f(c)=g(c)_<> $ для $ \forall c\in \mathbb B_<> $.
Одним из следствий теоремы является тот факт, что для полинома совершенно не важен порядок следования его членов; в частности, наряду с записью полинома по убывающим степеням переменной, мы имеем право записывать его и по возрастающим: $ f_<>(x)= \sum_
Суммой двух полиномов $ f_<>(x) $ и $ g_<>(x) $ называется полином, составленный как сумма всех одночленов, входящих в состав $ f_<>(x) $ и $ g_<>(x) $: $$ f(x) + g(x) = (a_n+b_m) + (a_
Теорема. $ \deg (f+g_<>)\le \max (\deg f, \deg g) $.
Произведением двух полиномов $ f_<>(x) $ и $ g_<>(x) $ называется полином, составленный как сумма всевозможных попарных произведений членов первого полинома на члены второго: $$ \begin
Теорема. Если $ f_<>(x) \not\equiv 0 $ и $ g_<>(x) \not\equiv 0 $, то $ \deg (f\cdot g_<>)= \deg f + \deg g_<> $.
Фактическое выполнение операции перемножения полиномов возможно по схеме, напоминающей алгоритм умножения целых чисел «столбиком»: это позволяет сэкономить время на выписывание степеней переменной.
Пример. Перемножить полиномы
Решение. Представим полиномы наборами их коэффициентов, расположив один из них горизонтально, а второй — вертикально. Умножение полинома $ f_<>(x) $ на $ b_
Ответ. $ 2\,x^<9>-3\,x^8+6\,x^7-7\,x^6+9\,x^5-2\,x^4-10\,x^3+14\,x^2 — 3 $.
Множество всех полиномов от переменной $ x_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $ будем обозначать $ \mathbb A_<> [x] $.
Способы более эффективного умножения полиномов излагаются ☞ ЗДЕСЬ
Схема Хорнера
Задача. Вычислить значение полинома в точке $ c $.
Схема вычисления, заложенная в самом определении, «стóит» $ 3n_<>-1 $ операции: $$ \begin
Вычисления удобно производить с помощью таблицы, стартовое состояние которой следующее: $$ \begin
Пример. Вычислить значение полинома $ x^<5>-3\, x +1 $ в точке $ 2+ \mathbf i_<> $.
Решение. $$ \begin
Ответ. $ -43+38\mathbf i_<> $.
Выясним теперь смысл коэффициентов $ <\mathfrak b>_<1>,\dots, <\mathfrak b>_
Теорема. Пусть $ c\in \mathbb B_<> $ и $ \mathbb B\subset \mathbb A_<> $. Полином $ f_<>(x)\in \mathbb A[x] $ допускает единственное представление в виде:
$$ f(x)\equiv (x-c)q(x)+r \ npu \ r=const\in \mathbb A,\ q(x)\in \mathbb A[x], \deg q = \deg f — 1 \ . $$
Доказательство. Будем искать константу $ r_<> $ и полином $ q_<>(x) $ методом неопределенных коэффициентов: $ q(x)= q_<0>x^
Итак, имеем: $$q(x)=<\mathfrak b>_0x^
Корни
Если значение полинома $ f_<>(x) $ при $ x=c\in \mathbb B_<> $ равно нулю, то число $ c_<> $ называется корнем полинома $ f_<>(x) $. Иными словами, корень полинома $ f_<>(x) $ — это решение уравнения $ f_<>(x)=0 $, принадлежащее множеству $ \mathbb B_<> $.
Уравнение $ f_<>=0 $, в левой части которого стоит полином одной или нескольких переменных, называется алгебраическим.
Задача. Выяснить количество корней полинома $ f_<>(x)\in \mathbb A[x] $, принадлежащих множеству $ \mathbb B_<> $, и вычислить их.
Решить алгебраическое уравнение $ f_<>(x)=0 $ над множеством $ \mathbb B $ означает найти все корни $ f_<>(x) $, принадлежащие $ \mathbb B_<> $.
На основании теоремы из предыдущего пункта имеет место следующая
Теорема [Безу]. Пусть $ \mathbb B \subset \mathbb A_<> $ и $ c\in \mathbb B_<> $ — корень полинома $ f_<>(x), \deg f\ge 1 $. Тогда полином $ f_<>(x)\in \mathbb A [x] $ допускает представление в виде произведения:
$$ f(x)\equiv (x-c)f_1(x) \ , $$ где полином $ f_<1>(x)\in \mathbb A [x], \deg f_1 = \deg f — 1 $ определяется единственным образом.
Итак, теорема Безу утверждает, что в случае существования корня полинома, возможно разложение этого полинома в произведение двух полиномов — одного первой степени и одного полинома степени, на единицу меньшей исходного. Тем самым, задача о нахождении корней полинома $ f_<>(x) $ сведется к аналогичной задаче для полинома $ f_<1>(x) $; вторая задача может оказаться более простой за счет понижения степени.
Фактическое нахождение полинома $ f_<1>(x) $ возможно произвести с помощью схемы Хорнера.
Пример. Решить уравнение
$$ x^<3>+3 \mathbf i\, x^2-3(1+2 \mathbf i)x+10-5 \mathbf i =0 $$ над множеством $ \mathbb C_<> $, если известно, что число $ (-1-2 \mathbf i)_<> $ — одно из его решений.
Решение. Строим схему Хорнера: $$ \begin
Ответ. $ (-1-2 \mathbf i), 2+ \mathbf i_<> $.
Если полином $ f_<>(x) $ раскладывается в произведение $ f_<>(x)\equiv (x-c)f_1(x) $, то полином $ (x-c) $ называется линейным множителем для $ f_<>(x) $ над множеством $ \mathbb B_<> $.
Для того, чтобы $ (x-c)_<> $ был линейным множителем для $ f_<>(x) $ необходимо и достаточно чтобы число $ c_<> $ было корнем $ f_<>(x) $.
Примеры показывают, что не для всякого полинома и множества $ \mathbb B_<> $ корни существуют. Очевидно не имеет корней полином нулевой степени (константа, отличная от нуля); любой полином первой степени над $ \mathbb A_<> $ имеет единственный корень, принадлежащий $ \mathbb A_<> $. Квадратный полином $ x^<2>+1 $ не имеет вещественных корней, но имеет мнимые.
Основная теорема высшей алгебры
Теорема. Любой полином с комплексными коэффициентами, степень которого больше нуля, имеет хотя бы один корень, в общем случае, комплексный.
Эта теорема гарантирует существование корня $ \lambda_<1>\in \mathbb C $. На основании теоремы Безу, можно утверждать, что $ f_<>(x) $ допускает представление $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_1(x) \quad npu \quad f_1(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_1(x)=\deg f(x) -1 \ .$$ Если $ \deg f_<1>(x) \ge 1 $, то, по той же теореме, полином $ f_<1>(x) $ также должен обладать корнем, который мы обозначим 5) $ \lambda_ <2>$; теорема Безу гарантирует тогда представление $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)f_2(x) \quad npu \quad f_2(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_2(x)=\deg f(x) -2 \ .$$ Продолжая процесс далее, мы за $ n_<> $ шагов придем к представлению $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n)f_n(x) \quad npu \quad f_n(x)\in \mathbb C[x],\ \deg f_n(x)=0 \ ,$$ т.е. полином $ f_
Теорема. Для произвольного полинома $ f_<>(x) $ степени $ n_<>\ge 1 $ существует его представление в виде произведения линейных множителей
$$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n) \ ; $$ это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.
Как уже отмечалось в доказательстве теоремы, в этом представлении могут встречаться одинаковые линейные сомножители. Собрав их вместе, получим иной вид этого представления $$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^<<\mathfrak m>_<1>>\times \dots \times (x-\lambda_<\mathfrak r>)^<<\mathfrak m>_<<\mathfrak r>>> \ , npu\ <\mathfrak m>_<1>+<\mathfrak m>_<2>+\dots+<\mathfrak m>_<\mathfrak r>=n $$ и все числа $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_ <\mathfrak r>$ теперь различны. Эта формула называется формулой разложения полинома $ f_<>(x) $ на линейные сомножители или линейным представлением полинома $ f_<>(x) $; при этом число $ <\mathfrak m>_
Пример. Найти линейное представление полинома $ f(x)=x^<6>-2\, x^3+1 $.
Решение. Линейное представление легко получить если сначала заметить, что $ f(x)\equiv (x^3-1)^ <2>$, а затем использовать выражения для корней кубических из единицы: $$f(x)\equiv (x-1)^2 \left(x- \frac<-1+ \mathbf i \sqrt<3>> <2>\right)^2 \left(x- \frac<-1 - \mathbf i \sqrt<3>> <2>\right)^2 \ . $$ Все корни полинома имеют вторую кратность. ♦
Выведение условия наличия кратного корня (в терминах коэффициентов полинома) ☞ ЗДЕСЬ. При известном корне, нахождение его кратности ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема. Два полинома, степени которых не превосходят $ n_<> $, равны тождественно если они имеют равные значения более чем при $ n_<> $ различных значениях переменной.
Доказательство необходимости очевидно. Если полиномы $ f_<>(x) $ и $ g_<>(x) $ удовлетворяют условию теоремы, то полином $ f(x)-g_<>(x) $ должен иметь более, чем $ n_<> $ корней, что, ввиду основной теоремы высшей алгебры, возможно лишь если он тождественно нулевой. ♦
Теорема утверждает, что полином $ f_<>(x) $ степени, $ \le n_<> $, однозначно определяется своими значениями при более чем $ n_<> $ различных значениях переменной. Можно ли эти значения задавать произвольно? Оказывается задание $ (n+1)_<> $-й пары $ (x_<1>,y_1),\dots,(x_
Интерполяция
Корни и коэффициенты полинома
Симметрические функции корней
Разложение полинома $ f_<>(x) $ на линейные множители дает интересные соотношения между корнями полинома и его коэффициентами. Сначала выведем их для малых степеней. Для $ n_<>=2 $: $$a_0x^2+a_1x+a_2\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\equiv a_0x^2-a_0(\lambda_1+\lambda_2)x+a_0\lambda_1\lambda_2 \ \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \ \left\< \begin
Теорема. Для корней $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $ полинома
$$ f(x)=a_<0>x^n+a_1x^
Биографические заметки о Виете ☞ ЗДЕСЬ
Пример. Найти все корни полинома $ 3\,x^3-16\,x^2+23\,x-6 $, если известно, что произведение двух из них равно $ 1_<> $.
Решение. Имеем: $$ \left\< \begin
Ответ. $ 2,\,3,\, 1/3 $.
Можно ли использовать формулы Виета для решения уравнения ?
Ответ ☞ ЗДЕСЬ.
Обдумаем еще раз результаты основной теоремы высшей алгебры и формул Виета. С одной стороны, задав коэффициенты $ a_<0>,a_1,\dots,a_n $ мы однозначно определяем набор из $ n_<> $ комплексных чисел $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $ — корней этого полинома. С другой стороны, задав произвольным образом набор корней $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $, по формулам Виета однозначно определим величины $ a_1/a_0,\dots,a_n/a_0 $. Для простоты, рассмотрим подмножество полиномов степени $ n_<> $, имеющих старший коэффициент равным $ 1_<> $. Получаем тогда взаимно-однозначное соответствие: $$ (a_1,\dots,a_n) \leftrightarrow (\lambda_1,\dots,\lambda_n) \ . $$ Итак, каждый корень $ \lambda_
Функция $ \Phi(x_1,\dots,x_n) $ называется симметрической функцией своих переменных, если ее значение не меняется ни при какой перестановке этих переменных: $$\Phi(x_1,\dots,x_n) \equiv \Phi(x_
Пример. Функции
$$ \sqrt <1+x_1x_2x_3>, \ \frac
В левых частях формул Виета как раз и стоят симметрические полиномы относительно $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $. Оказывается результат теоремы допускает следующее обобщение.
Теорема [Гаусс]. Значение любого симметрического полинома $ \Phi(x_1,\dots,x_n) $ на корнях $ \lambda_1,\dots,\lambda_n $ полинома $ x^n+a_1x^
Пример. Пусть $ \lambda_ <1>$ и $ \lambda_ <2>$ означают корни полинома $ x^2+a_1x+a_2 $. Выразить
$$\lambda_1^2+\lambda_2^2-3\,\lambda_1^2\lambda_2-3\,\lambda_1\lambda_2^2$$ через коэффициенты полинома.
Решение. Поскольку выражения для корней квадратного уравнения нам известны: $$ \lambda_1= \frac<-a_1+\sqrt
Пример. Пусть $ \lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3 $ означают корни полинома $ x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $. Выразить
$$\lambda_1^2\lambda_2+\lambda_1^2\lambda_3+\lambda_1\lambda_2^2+ \lambda_1\lambda_3^2+\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_2\lambda_3^2 -\lambda_1^2-\lambda_2^2-\lambda_3^2 $$ через коэффициенты полинома.
Решение. Выделим в требуемом выражении комбинации корней, стоящие в левых частях формул Виета. Первые $ 6_<> $ слагаемых можно представить в виде $$(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3) (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)-3\lambda_1\lambda_2\lambda_3 \ , $$ а $$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2= \left(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \right)^2-2\, (\lambda_1\lambda_2+ \lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3) \ .$$ Далее применяем формулы Виета.
Ответ. $ 3\,a_3-a_1a_2-a_1^2+2\, a_2 $.
Существуют общие алгоритмы нахождения полинома $ <\mathfrak F>$ по заданному полиному $ \Phi $: см. [3], [4]. Однако в своей практике я встречал необходимость в подобном представлении лишь для некоторых классов полиномов $ \Phi_<> $; сейчас их и рассмотрим.
Суммы Ньютона
Для полинома $ f(x)=a_<0>x^n+a_1x^
Теорема. Суммы Ньютона выражаются рационально через коэффициенты полинома $ f_<>(x) $ посредством следующих рекуррентных формул Ньютона:
Пример.
$$ s_2=(a_1^2-2\, a_0a_2) \big/ a_0^2 \ , $$ $$ s_3=-(a_1s_2+a_2s_1+3\,a_3)\big/ a_0= $$ $$ =-\left(a_1 (a_1^2-2\, a_0a_2) \big/ a_0^2 +a_2 (-a_1 \big/ a_0)+3\,a_3 \right) \big/ a_0= $$ $$ =\left(-a_1^3+3\,a_0a_1a_2-3\,a_0^2a_3 \right) \big/ a_0^3 \ . $$ ♦
Подробнее о суммах Ньютона ☞ ЗДЕСЬ.
Результант и дискриминант
Пусть $ g(x)=b_0x^m+\dots + b_
Способы вычисления результанта, его свойства и применения ☞ ЗДЕСЬ.
В частном случае, когда $ g_<>(x) $ совпадает с производной полинома $ f_<>(x) $ результант переходит в дискриминант — выражение отличающееся от $$ a_0^
Пример. Для $ f(x)=a_<0>x^2+a_1x+a_2 $ указанное произведение оказывается равным
$$ (2a_0\lambda_1 +a_1)(2a_0\lambda_2 +a_1)=(4a_0^2\lambda_1 \lambda_2+2a_0a_1(\lambda_1 +\lambda_2)+a_1^2)= $$ $$ =\left(4a_0^2 \frac
Способы вычисления дискриминанта, его свойства и применения ☞ ЗДЕСЬ.
Преобразования корней
Если $ \lambda_<1>,\dots,\lambda_n $ — корни полинома $ f(x)=a_0x^n+a_1x^
1. корнями полинома $$ f(-x)=(-1)^n\left(a_0x^n-a_1x^
2. корнями полинома $$f(x- <\color
3. при дополнительном условии, что $ a_
Преобразования 1-3 часто используются как при выводе теоретических результатов так и в практике вычислений.
Поясним идею этих применений. Корни исходного и корни преобразованного полинома остаются неизвестными. Допустим, мы получили какой-то результат, касающийся оценки положительных корней полинома $ f_<>(x) \in \mathbb R[x] $, и хотим распространить эту оценку и на отрицательные корни (см., к примеру, ☟ НИЖЕ ). Производится замена переменной $ x \rightarrow — x $, которая меняет знаки всех корней: отрицательные становятся положительными, и к новому полиному применяется полученный результат. В приложениях возникают и более сложные преобразования корней: когда, к примеру, все их надо «загнать» в ограниченную область комплексной плоскости — скажем, в круг $ |x|\le 1 $ (см. ☟ НИЖЕ ).
Пример. Построить полином $ F_<>(x) $, корни которого равны квадратам корней полинома $ f_<>(x) $.
Непрерывность корней
Теорема [5]. Корни полинома
$$ f(x)=x^n+a_1x^
К какому числу стремится желтый корень при $ <\color
Последний пример наводит на еще одну гипотезу: мы видим, что графики корней получились гладкими, за исключением, возможно, некоторых специфических точек.
Теорема. Корни полинома
$$ f(x)=x^n+a_1x^
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Условие наличия кратного корня у полинома $ f_<>(x) $ может быть получено в виде явного условия на его коэффициенты. См. ☞ ДИСКРИМИНАНТ.
Поиск корней алгебраических уравнений: решение в радикалах
Можно ли выразить корни полинома $ f(x)\in \mathbb C[x] $ в виде «хороших» функций от его коэффициентов? Вспомним, что для квадратного уравнения существует общая формула вычисления корней: $$x^2+ax+b=0 \ \Rightarrow \ \lambda_<1,2>=\frac<-a\pm \sqrt> <2>\ . $$ Эта формула включает в себя элементарные алгебраические операции $ +,- ,\times, \div $ и операцию извлечения квадратного корня. По аналогии можно сформулировать и общую задачу.
Задача. Найти выражения корней полинома степени $ n_<>>2 $ в виде функций его коэффициентов; при этом функции должны представлять конечную комбинацию элементарных алгебраических операций и операций извлечения корней произвольных (целых) степеней.
Поставленная задача называется задачей о разрешимости уравнения в радикалах 6) .
Оказывается, что любое уравнение третьей или четвертой степени разрешимо в радикалах. Перед тем, как изложить способы их решения, сделаем два упрощения. Первое из них заключается в том, что уравнение $ f_<>(x)=0 $ делится на старший коэффициент полинома $ f_<>(x) $.
Полином называется нормализованным 7) , если его старший коэффициент равен $ 1_<> $. Операция деления полинома на его старший коэффициент называется нормализацией полинома.
Очевидно, что нормализованный полином имеет те же корни, и в тех же кратностях, что и исходный. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже нормализован: $$ f(x)=x^n+a_1x^
Второе упрощение заключается в замене переменной (подстановке): $ x=y+ <\color
Уравнение третьей степени
Рассмотрим уравнение третьей степени: $$ x^3+p\,x+q=0 $$ Сделаем в этом уравнении замену переменной: $ x=u+v $, введя две неизвестные $ u_<> $ и $ v_<> $; получим: $$ u^3+v^3+3\,uv(u+v)+p(u+v)+q=0 \ . $$ Сгруппируем: $$ u^3+v^3+(3\,uv+p)(u+v)+q=0 \ . $$ Подчиним теперь неизвестные $ u_<> $ и $ v_<> $ условию $$ 3\,uv+p=0 \ \iff \ uv=-\frac
<3>\ . $$ Тогда предыдущее уравнение приведется к виду $$u^3+v^3=-q \ . $$ Итак, для определения неизвестных величин $ u_<> $ и $ v_<> $ мы получили систему уравнений $$ u^3+v^3=-q,\ uv=-\frac
<3>. $$ Возведя последнее уравнение в куб, получим $$ u^3v^3=-\frac
<27>\ . $$ Два полученных равенства, связывающие $ u^3 $ и $ v^3 $, позволяет утверждать, что эти величины являются решениями квадратного уравнения: $$t^2+q\,t- \frac
<27>=0 \ .$$
Выражение $$ \Delta = \frac <27>$$ называется дискриминантом кубического уравнения. Решив квадратное уравнение, получим: $$ u^3=-\frac <27>>>+ \sqrt[3]<-\frac <27>>> \ ; $$ она называется формулой Кардано. Формула Кардано не очень удобна для практических вычислений. Вспомним, что корень кубический из комплексного числа может принимать три различных значения. Решение же, представленное формулой Кардано, имеет в правой части комбинацию из двух кубических корней. Таким образом, получаем 9 всевозможных комбинаций из значений корней кубических. С другой стороны, основная теорема высшей алгебры утверждает, что кубическое уравнение должно иметь только три решения. Для того, чтобы установить соответствие между значениями $ u_<> $ и $ v_<> $, обратимся к условию $ uv=-p/3 $ . Согласно этому условию, задание значений для $ u_<> $ позволит однозначно восстановить $ v_<> $. Пусть $$ u_1=\sqrt[3]<-\frac <27>>> $$ какое-то одно из трех возможных значений корня кубического. Два оставшихся значения корня кубического получаются домножением $ u_1 $ на корни кубические из единицы: $$u_2=u_1\varepsilon_1, \ u_3=u_1\varepsilon_2 $$ при $$\varepsilon_1=\cos \frac<2\pi> <3>+ <\mathbf i>\sin \frac<2\pi><3>= \frac<-1><2>+ <\mathbf i>\frac<\sqrt<3>> <2>\ u \ \varepsilon_2=\cos \frac<4\pi> <3>+ <\mathbf i>\sin \frac<4\pi><3>= \frac<-1><2>— <\mathbf i>\frac< \sqrt<3>> < 2>\ . $$ Если теперь взять $$ v_1=-\frac <3u_1>\ , $$ то решения кубического уравнения можно выразить в виде комбинаций $ u_1 $ и $ v_1 $: $$ \begin Пример [2]. Решить уравнение $ x^3-6<\mathbf i>\,x^2-10\,x+8 <\mathbf i>=0 $. Решение. Подстановка $ x=y+2 <\mathbf i>$ приводит уравнение к виду $$y^3+2\,y+4 <\mathbf i>=0 \ , $$ т.е. $ p=2,\,q=4 <\mathbf i>$. Далее $$\Delta=-\frac<100> <27>\ \Rightarrow \ \sqrt <\Delta>= \pm \frac<10 <\mathbf i>><3\sqrt<3>> \ \Rightarrow \ u_1=\sqrt[3]<\left(-2 + \frac<10><3\sqrt<3>> \right)<\mathbf i>> \ . $$ Одно из значений последнего корня: $$u_1=-<\mathbf i>\, \sqrt[3]<-2 + \frac<10><3\sqrt<3>>> \ , $$ это выражение можно упростить, если повезет заметить, что подкоренное выражение равно $ \left(-1+1/<\sqrt<3>>\right)^3 $: $$u_1=<\mathbf i>\left(1-\frac<1><\sqrt<3>>\right)\ \Rightarrow \ v_1=-\frac <3u_1>= <\mathbf i>\left(1+\frac<1><\sqrt<3>>\right) \ . $$ Получаем: $$\mu_1=2\, <\mathbf i>,\ \mu_2=1- <\mathbf i>,\ \mu_3=-1- <\mathbf i>\ .$$ Значения корней исходного уравнения получатся «сдвигом» на $ 2 <\mathbf i>$. Дальнейший анализ формулы Кардано ☞ ЗДЕСЬ $ x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 = 0 $ также может быть решено в радикалах. Идея решения заключается в сведении задачи к решению некоторого кубического уравнения. Ее реализация ☞ ЗДЕСЬ. Успех в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода была очевидна: свести решение уравнения $ n $-й степени к решению уравнения $ (n-1) $-й степени. Однако, несмотря на почти трехвековые усилия лучших математиков, решить уравнение пятой степени не удавалось. Наконец, в начале XIX века был получен отрицательный результат. Теорема [Руффини, Абель]. Уравнение степени выше четвертой в общем случае неразрешимо в радикалах. Пример. Уравнение $ x^5-4\, x -2=0 $ не разрешимо в радикалах. Установить разрешимо или нет данное конкретное уравнение в радикалах возможно с помощью теории, развитой французским математиком Галуа. Пример. Уравнение $ x^5+x+1=0 $ разрешимо в радикалах, поскольку Отрицательный характер результата теоремы Руффини-Абеля не должен слишком уж разочаровывать. Он означает только лишь то, что корни полинома нельзя представить в виде формулы, состоящей из конечного набора сравнительно простых функций. Тем не менее, если расширить класс допустимых в формуле функций (или допустить бесконечность числа операций), представление для корня можно найти (см., к примеру, ☞ ЗДЕСЬ ). Наконец, для практических задач часто более важна не столько «красивая» аналитическая формула для корня, сколько приближенное его значение с требуемой точностью. Для некоторых классов уравнений удается упростить задачу: свести решение исходного уравнения к решению уравнения меньшей степени 8) . Так называется уравнение вида $ a_0z^n+a_1z^ Пример. Уравнения $$ z^2-3\,z+1=0,\quad -\sqrt<2>z^5+2\,z^4+\mathbf i z^3+2\,z-\sqrt<2>,\quad z^n+1=0 , $$ $$ z^n+z^ Методы упрощения подобных уравнений ☞ ЗДЕСЬ. Здесь $ \mathbb A_<> $ означает какое-то из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_<> $. Теорема. Для полиномов $ f_<>(x) $ и $ g(x)\not \equiv 0 $ из $ \mathbb A[x] $ существует единственная пара полиномов $ q_<>(x) $ и $ r_<>(x) $ из $ \mathbb A[x] $ таких, что $$ f(x) \equiv g(x) q(x) + r(x) \quad \mbox < и >\quad \deg r ☞ ЗДЕСЬ. В этом представлении полином $ f_<>(x) $ называется делимым, $ g_<>(x) $ — делителем, $ r_<>(x) $ — остатком от деления $ f_<>(x) $ на $ g_<>(x) $, а $ q_<>(x) $ — частным 9) . При $ r(x) \equiv 0 $, говорят, что полином $ f_<>(x) $ делится (нацело) на $ g_<>(x) $, а полином $ g_<>(x) $ называется делителем $ f_<>(x) $. Тривиальными делителями полинома $ f_<>(x) $ называют сам полином $ f_<>(x) $ и полином тождественно равный $ 1_<> $ (оба — с точностью до домножения на ненулевую константу). Любой другой делитель полинома (если существует) называется нетривиальным. Пример [1]. Найти частное и остаток от деления $$f(x)=2\, x^5 +x^4 -x^2 +2\, x +1 \quad \mbox < на >\quad g(x)=x^3+2\, x^2 — x -1 \ .$$ Ответ. $ q(x)=2\, x^2 -3\, x + 8,\ r(x)=-18\, x^2 + 7\, x +9 $. Фактическое выполнение операции деления полиномов можно производить, действуя лишь над наборами их коэффициентов — подобно тому, как мы производили их умножение. Пример. Найти частное и остаток от деления $$f(x)=x^8+x^7+3\,x^4-1 \quad \mbox < на >\quad g(x)=x^4-3\, x^3 +4\, x +1 \ .$$ Решение. $$ \begin Ответ. $ q(x)=x^4+4\,x^3+12\,x^2+32\, x+82,\, r(x)=194\, x^3-140\, x^2-360\, x -83 $. Свойства. 1. Если $ m \le n $ при $ a_0\ne 0, b_0 \ne 0 $, то $ \deg q(x) =n-m $ и ведущий член $ q_<>(x) $ равен $ 2. Если $ g(x)\equiv x-c $, то коэффициенты частного $ q_<>(x) $ найдутся из схемы Хорнера. Рассмотрим множество всех общих делителей полиномов $ f_<>(x) $ и $ g_<>(x) $: $$ \mathbb D=\ Пусть $ f(x) \not \equiv 0 $ и $ g(x) \not \equiv 0 $ — полиномы из $ \mathbb A_<>[x] $ . Поделим $ f_<>(x) $ на $ g_<>(x) $: $ f(x)=g(x)q_<1>(x)+r_1(x) $, пусть остаток $ r_<1>(x) \not \equiv 0 $, тогда $ 0 \le \deg r_<1>(x) Теорема. Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида совпадает с $ \operatorname Доказательство полностью аналогично доказательству соответствующего результата из теории целых чисел. ♦ Пример. Вычислить $$ \operatorname Решение. $$ \begin Ответ. $ 9(x+3)_<> $. Еще один способ нахождения $ \operatorname Теорема. Пусть множество $ \< (x-\lambda_1),\dots,(x-\lambda_<\mathfrak r>) \> $ представляет собой объединение множеств линейных сомножителей полиномов $ f_1(x),\dots,f_k(x) $. Выпишем «универсальное» разложение каждого $ f_j $ на линейные сомножители: Пример. Вычислить $ \operatorname Решение. Выписываем разложения полиномов на линейные сомножители: $$x^2-1\equiv (x-1)(x+1), \quad x^3+1 \equiv(x+1) \left(x-\left( 1/2 — \sqrt<3>/2 \mathbf \right) \right) \left(x- \left( 1/2 + \sqrt<3>/2 \mathbf \right) \right) \ .$$ Ответ. $ x+1 $. Теорема. Существуют полиномы $ u(x)_<> $ и $ v(x)_<> $ из $ \mathbb A[x] $, удовлетворяющие уравнению линейного представления $ \operatorname Доказательство этого результата и практический способ построения полиномов $ u(x)_<> $ и $ v(x)_<> $ можно скопировать из соответствующего раздела теории чисел. Явное представление $ \operatorname — это полиномы, у которых нормализованный $ \operatorname Для случая произвольной функции $ F(x): \mathbb R \mapsto \mathbb R $ это определение строится на предельном переходе: $$ \frac Для полинома $ f(x)_<> $ степени $ n_<> $ имеем: $$f^<(k)>(x)=n(n-1)\times \dots \times (n-k+1)a_0x^ Теорема. Простой корень полинома не является корнем его производной. Кратный корень полинома кратности $ \mathfrak m $ является корнем его производной кратности $ (<\mathfrak m>-1) $. Доказательство. Если $ x=\lambda_<> \in \mathbb C $ — простой корень для $ f_<>(x) $, то $ f(x)\equiv (x-\lambda)\tilde Если $ x=\lambda_<> $ — кратный корень кратности $ \mathfrak m $ для $ f_<>(x) $, то $ f(x)\equiv (x-\lambda)^<\mathfrak m>\widehat Полином $ f(x)_<> $ имеет кратный корень тогда и только тогда, когда он имеет нетривиальный наибольший общий делитель со своей производной $$ \operatorname Пример. При каком условии на коэффициенты $ p_<> $ и $ q_<> $ полином $$ x^3+p\,x+q $$ имеет кратный корень? Решение. На основании теоремы на этом корне $ x=\lambda_<> $ должно быть выполнено $$\lambda^3+p\,\lambda+q=0 \ , \quad 3\, \lambda^2 + p=0 \ .$$ Из второго равенства выражаем $ \lambda^2 $ и подставляем в первое: $$\lambda^2=-\frac <3>\ \Rightarrow \ \lambda \left(-\frac <3>\right) +p\,\lambda+q=0 \ \Rightarrow \ \lambda=-\frac<3\,q> <2\,p>$$ при $ p\ne 0 $. Подставляя это значение в любое из исходных равенств, получаем: $$ \frac<27\,q^2+4\,p^3> <4\, p^2>=0 \ \Rightarrow \ \left(\frac <3>\right)^3 =0 \ . $$ Это условие уже встречалось нам ВЫШЕ при анализе формулы решения уравнения третьей степени. При $ p=0 $ кратный корень может встретиться лишь при $ q=0 $, т.е. опять же при обращении в нуль дискриминанта кубического уравнения. Ответ. $ \left( p/3 \right)^3 + \left( q/2 \right)^2=0 $. При каком условии на коэффициенты $ p_<> $ и $ q_<> $ полином а) $ x^4+p\,x+q $ ; б) $ x^5+p\,x+q $ имеет кратный корень? Пример. Найти все значения параметра $ <\color $$ x^4-5\,x^2+ <\color Решение. На основании следствия к теореме для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы был нетривиален $ \operatorname При $ 3\, <\color Число $ \lambda_<> $ является корнем кратности $ \mathfrak m_<> $ для $ f(x)_<> $ тогда и только тогда, когда выполнены условия: Доказательство необходимости следует из теоремы. Достаточность вытекает из результатов следующего пункта (формализация способа проверки приводится ☞ ЗДЕСЬ). Представление полинома $ f(x)_<>\in \mathbb A[x] $ в канонической форме $ a_<0>x^n+a_1x^ Задача. Найти коэффициенты $ A_<0>,\dots,A_n $ в этом разложении. Для решения этой задачи продифференцируем несколько раз последнее тождество: $$ \begin Теорема. Разложение полинома $ f_<>(x) $ по степеням $ x-c_<> $ имеет вид $$ f(x) \equiv f(c)+ \frac Доказательство и алгоритм эффективного вычисления коэффициентов формулы Тейлора (схема Хорнера) ☞ ЗДЕСЬ. На основании этих серий мы должны предсказать величину $ F(x)_<> $. Самой простой функцией, решающей задачи в таких постановках, является полином. Если этот полином $ f(x)_<> $ удается построить, то именно его мы и будем считать приближением неизвестной нам функции $ F(x)_<> $. Задача построения такого полинома для серии экспериментов первого типа обсуждается ☞ ЗДЕСЬ. А формула Тейлора позволяет найти полином $ f(x)_<> $ для серии экспериментов второго типа. Геометрически: неизвестный нам заранее график функции $ y=F(x)_<> $ (красный) приближается (аппроксимируется) либо прямой (зеленый), либо параболой (серый), либо кубикой (фиолетовый) — и все кривые приближения строятся только на основании информации о функции $ F(x)_<> $ в одной-единственной точке $ c_<> $. Пример. Найти приближенное значение $ F(1)_<> $, если известно, что Решение. По формуле Тейлора получаем полином $$f(x)=0.367+0.367(x+1) + \frac<0.367> <2>(x+1)^2+\frac<0.367> <6>(x+1)^3 $$ и $ f(1)=2.324(3) $. Ответ. $ F(1)\approx 2.324 $. Рассмотрим теперь случай полинома с вещественными коэффициентами $ f(x)=a_0x^n+a_1x^ Теорема. Значения полинома $ f(x) \in \mathbb R [x] $ от комплексно-сопряженных значений переменной будут также комплексно-сопряженными: $$ \mbox <если>\ f(c)=A+\mathbf i B \ \mbox <при>\ \ \subset \mathbb R,\ \mbox <то>\ f(\overline Доказательство. Действительно, поскольку $ a_j\in \mathbb R $, то $ \overline Если мнимое число $ c=\alpha + \mathbf i \beta ,\ \beta \ne 0 $ является корнем $ f_<>(x) $, то и ему комплексно-сопряженное $ \overline c = \alpha — \mathbf i \beta $ также является корнем $ f_<>(x) $. Иными словами, мнимые корни полинома $ f_<>(x) $ с вещественными коэффициентами «ходят пáрами»: $ \alpha \pm \mathbf i \beta $. Геометрический смысл: на комплексной плоскости точки, изображающие корни $ f_<>(x) $, расположены симметрично относительно вещественной оси. Как следствие предыдущей теоремы и основной теоремы высшей алгебры, получим Теорема. Любой полином $ f_<>(x)\in \mathbb R [x] $ может быть представлен в виде произведения вещественных полиномов степеней не выше второй: $$ \begin Полином $ f_<>(x) $ с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень, а, в общем случае, нечетное число вещественных корней (с учетом их кратностей ). Полиномы с вещественными коэффициентами удобны тем, что теоретические результаты, полученные в предыдущих пунктах, получают геометрическую интерпретацию. Прежде всего, следует отметить, что полином является частным случаем непрерывной функции и на него распространяются все результаты математического анализа, разработанные для подобных функций. Итак, полином $ f_<>(x) $ — непрерывная функция при любых $ x \in \mathbb R $. Более того, поскольку производные полинома снова оказываются полиномами, то свойство непрерывности наследуется при дифференцировании: полином является непрерывно-дифференцируемой функцией. Из этого следует, что на плоскости $ (x_<>,y) $ график полинома $ y=f_<>(x) $ представляет из себя непрерывную и гладкую кривую (ни разрывов, ни углов!) — касательная к графику существует в любой его точке. Далее, вещественному корню $ x=\lambda_<> $ полинома $ f_<>(x) $ на плоскости $ (x_<>,y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f_<>(x) $ с осью абсцисс. По основной теореме высшей алгебры, таких точек может быть только конечное число: их — не более степени полинома $ \deg f (x) $. Далее, между каждой парой $ \lambda_j, \lambda_k $ вещественных корней полинома $ f_<>(x) $, его график обязан иметь «впадину» или «горб». Обращаясь к языку математического анализа, можно сказать (и доказать), что между двумя вещественными корнями полинома находится точка его локального минимума или локального максимума. В этой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс и, следовательно, тангенс угла наклона касательной должен быть равен нулю. Иными словами, точки $ \mu_1,\mu_2,\dots $, в которых полином имеет локальный минимум или максимум, должны быть корнями его производной. См. следующий ПУНКТ. К сожалению, не имеется наглядной интерпретации мнимых корней полинома . Дальнейшие геометрические свойства полинома с вещественными коэффициентами см. ☞ ЗДЕСЬ. Говорят, что полином $ f(x)\in \mathbb R[x] $ имеет в точке $ c_<> $ (локальный) минимум если существует некоторое $ \delta>0 $, что при всех значениях аргументов из $ \delta_<> $-окрестности точки $ c_<> $, т.е. при всех $ x_<> $, удовлетворяющих неравенству $ |x-c| f(c) $. Если последнее неравенство изменить на противоположное, то получим определение (локального) максимума. Говорят, что полином имеет в точке $ c_<> $ (локальный) экстремум 10) если он имеет в этой точке либо максимум либо минимум. Теорема [Ферма для полиномов]. Если полином $ f_<>(x) $ имеет в точке $ c_<> $ экстремум, то в этой точке его производная обращается в нуль: $$ f'(c)=0 \ . $$ Геометрический смысл этого результата пояснен в предыдущем пункте. Обращение производной полинома в нуль в точке $ c_<> $ является условием необходимым для существования в ней экстремума. Для выяснения будет ли в этой точке минимум, максимум или же экстремум отсутствует, следует обратиться к формуле Тейлора. Рассмотрим эту формулу в точке $ c_<> $ «подозрительной на экстремум», т.е. в такой, где $ f'(c)=0 $: $$ f(x)-f(c)=\frac<1><2>f»(c)(x-c)^2+\frac<1><6>f»'(c)(x-c)^3+\dots+\frac<1> \ . $$ Полином $ P(x) $ в точке $ c_<> $ имеет значение $ \frac<1><2>f»(c) $, и его знак в некоторой окрестности точки $ c_<> $ полностью определяется знаком этого числа. Таким образом, в той же окрестности имеем: $$ \operatorname Если в точке $ c_<> $ выполнены условия $ f'(c)=0, f»(c)> 0 $ то в этой точке полином имеет локальный минимум; если же в ней выполнены условия $ f'(c)=0, f»(c) c \\ — \operatorname Пример. Найти $ \displaystyle \max_ Решение. Если идти по традиционной схеме математического анализа, то мы должны сначала найти корни производной полинома $ f(x)=-x^6+12\,x^2+12\,x+2 $, т.е. решить уравнение $ x^5-4\,x-2=0 $. В радикалах это уравнение не решается, так что приходится применять приближенные методы поиска вещественных корней: $ \mu_1\approx -1.24359, \mu_2 \approx — 0.50849, \mu_3 \approx 1.51851 $. Наконец, требуется сравнить по величине $ f(\mu_1), f(\mu_2), f(\mu_3) $. В альтернативу этому подходу, можно избежать нахождения корней производной и построить (хоть и кропотливо, но зато безошибочно) полином $$ \mathcal F(z)= -z^5+10\,z^4+472\,z^3+16208\,z^2-16272\,z-32800 , $$ найти один его (максимальный вещественный) корень $ \approx 35.6321 $ — он и будет искомым максимумом. Проверка: $ \max f = f(\mu_3) \approx 35.6321 $. Подчеркнем, что указанная возможность гарантирована только полиномиальностью рассматриваемой экстремальной задачи и на произвольные (неполиномиальные) функции предлагаемый метод не распространяется. Полином $ \Phi(x) \in \mathbb A[x] $, отличный от константы, называется неприводимым в (или неприводимым над) $ \mathbb A_<> $ если у $ \Phi(x) $ нет нетривиального делителя в $ \mathbb A[x] $. В противном случае $ \Phi(x) $ называется приводимым в (или приводимым над) $ \mathbb A_<> $. Полином $ \Phi(x) \in \mathbb A[x] $ неприводим над $ \mathbb A_<> $ тогда и только тогда, когда $ \operatorname Теорема. Любой полином $ f(x)\in \mathbb R [x] $ степени большей $ 2_<> $ приводим в $ \mathbb R_<> $. Неприводимыми в $ \mathbb R_<> $ являются полиномы вида $$ x+a \quad \mbox <и>\quad x^2+p\, x +q_<> \quad \mbox <при>\quad \ \subset \mathbb R,\ p^2 — 4q ☞ ЗДЕСЬ . Рассмотрим теперь полином с рациональными коэффициентами: $$f(x)=a_0x^n+a_1x^ Теорема. Полином $ f(x)\in \mathbb Z[x] $ неприводимый в $ \mathbb Z_<> $ будет неприводимым и в $ \mathbb Q_<> $. Приводимость полинома с целыми коэффициентами $ f(x)\in \mathbb Z[x] $ в $ \mathbb Z_<> $ означает, что он раскладывается на два множителя с целыми коэффициентами: $$ a_0x^n+a_1x^ Итак, для поиска рациональных корней полинома $ f_<>(x) $ надо выписать множество всех натуральных делителей $ \<<\mathfrak p>_1=1,\dots,<\mathfrak p>_ Если нормализованный полином $ f(x) \in \mathbb Z[x] $ имеет рациональные корни, то они — только целые и находятся среди делителей свободного члена. Пример. Найти рациональные корни полинома Подробнее о приводимости и неприводимости полиномов в $ \mathbb Z_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. Теорема [Маклорен]. 11) Все корни полинома $$f(x)=a_0x^n+a_1x^ А как получить нижнюю оценку возможных отрицательных корней? Это можно сделать с помощью преобразования 1 полинома, рассмотренного ☞ ЗДЕСЬ. В самом деле, отрицательные корни полинома $ f(x) $ являются положительными корнями полинома $ f(-x) $. Найдя верхнюю границу последних с помощью любого из приведенных выше критериев, мы меняем у нее знак и в результате получаем нижнюю оценку отрицательных корней $ f(x) $. Преобразование 3 , рассмотренное в том же пункте, позволяет получить отдельные интервалы для возможных положительных и отрицательных корней. Пример. Найти оценки положительных и отрицательных корней полинома $$ f(x)=x^8+2\, x^7-2\, x^6 +6\, x^5 -80\, x^4 + 100\, x^3 -400\, x^2 + 15\, x +30 . $$ Решение. Сначала ограничим положительные корни сверху. В теореме Лагранжа имеем $ r=2,\, A=400 $, следовательно $ \lambda_j -401 $. Формируем полином $$ f^<\ast>(x) = x^8f(1/x)= 1+2\, x-2\, x^2 +6\, x^3 -80\, x^4 + 100\, x^5 -400\, x^6 + 15\, x^7 +30\,x^8 $$ для оценки нижней границы положительных корней: $$1/\lambda_j \frac<1><1 +\sqrt<40/3>> . $$ Наконец, оценка Лагранжа для полинома $ f^<\ast>(-x) $: $$-1/\lambda_j 12) . Теорема [Декарт]. Число положительных корней полинома $$f(x)=a_0x^n+a_1x^ Доказательство ☞ ЗДЕСЬ. С помощью преобразования корней полинома (см. пункт 1 ☞ ЗДЕСЬ ) можно доказать следствие: Число отрицательных корней полинома $$f(x)=a_0x^n+a_1x^ Если каким-то образом заранее известно, что все корни полинома вещественны, то число положительных из них определяется по правилу знаков Декарта однозначно: Пример. Характеристический полином вещественной симметричной матрицы удовлетворяет условию следствия. См. ☞ ЗДЕСЬ. Задача. Для полинома 14) $ f(z) $ получить точную информацию о числе его корней в заданной области $ \mathbb S $ комплексной плоскости $ \mathbb C $. Оказывается, для достаточно широкого класса областей $ \mathbb S $ эту информацию можно получить без применения численных, т.е. приближенных методов. Существуют алгоритмы, позволяющие за конечное число элементарных алгебраических операций ($ +,-,\times, \div $) над коэффициентами $ f(z) $ установить количество корней этого полинома в таких областях, как, к примеру, $$ \begin Число знакоперемен $$ <\mathcal V>_x= <\mathcal V>(f_0(x), f_1(x),\dots, f_K(x)) $$ при $ x_<> $ возрастающем от $ a_<> $ к $ b_<> $, будет меняться когда $ x_<> $ проходит через корень какого-либо полинома системы. Доказывается, что это число может разве лишь уменьшаться, и уменьшается на единицу тогда и только тогда, когда $ x_<> $ проходит через корень начального полинома системы, т.е. через корень $ f(x)_<> $. Теорема [Штурм]. Если $ f(a)\ne 0, \ f(b)\ne 0 $, и система $ f_0(x), f_1(x),\dots, f_K(x) $ является системой полиномов Штурма для $ f(x_<>) $, то $$ \operatorname Полином $ f(z) $ с комплексными коэффициентами называется устойчивым, если все его корни удовлетворяют условию $ <\mathfrak Re>(z) 0 $ необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства $$ a_1>0, \left| \begin Единичным кругом на комплексной плоскости назовем круг $ |z|\le 1 $. Задача. Найти необходимые и достаточные условия на коэффициенты полинома $ f(z)=a_0z^n+\dots+ a_n $, при которых все его корни $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ находятся внутри единичного круга, т.е. удовлетворяют условию $ |z| 0, \ A_1>0,\ A_2>0,\ A_3>0,\ A_1A_2-A_0A_3>0 \ ; $$ и $$A_0 0 \ .$$ Подставляя сюда выражения для коэффициентов, получим, что первая система ограничений имеет решение $ -1 |\mbox < свободный член >f(z)| \ , $$ т.е. $ |a_0| > |a_n| $, и полином $$ f_1(z) = \frac На первый взгляд, конструктивность этого результата не очень очевидна: исходная задача для полинома $ f(z) $ сводится к аналогичной задаче для полинома $ f_1(z) $. Обратим, однако, внимание на то, что полином $$ \begin Пример на применение этой теоремы ☞ ЗДЕСЬ. Как упоминалось ☝ ВЫШЕ, корни полинома $ f_<>(z) $, как правило, не выражаются в радикалах уже при $ \deg f=5 $ . Но даже в тех случаях, когда выражаются, как, например, $$\lambda=\frac<\sqrt<5>-1 + \sqrt<10- \sqrt<20>>> <2>\quad \mbox < для >\ f(x)=x^4+2x^3-6x^2-2x+1 \ , $$ толку от такого представления мало: на каком интервале вещественной оси лежит $ \lambda $? Поэтому наряду с поиском аналитических формул для корней полиномов практический интерес представляет нахождение их приближенных значений. Эту задачу будем решать, в основном, для полиномов над $ \mathbb R_<> $ (т.е. полиномов с вещественными коэффициентами), с которыми чаще всего и приходится иметь дело на практике. Нас, прежде всего, будут интересовать именно вещественные корни полиномов. В дальнейшем переменную этих полиномов будем обозначать через $ x_<> $ и считать ее вещественной. Для поиска вещественных корней полинома, как правило, требуется их предварительно отделить, т.е. найти интервалы $ ]a,b_<>[ $, каждый из которых содержит только один корень $ f_<>(x) $. Поиск такого интервала можно производить разными способами, самый общий из которых изложен ☝ ВЫШЕ. Однако, для предварительного понимания изложенных ниже методов, достаточно будет ориентироваться на теорему Больцано: полином имеет корень на $ ]a,b_<>[ $, если на концах интервала он принимает значения разных знаков. Этот корень будет единственным, если дополнительно предположить, что функция $ f_<>(x) $ монотонна на $ ]a,b_<>[ $. Последнее условие будет очевидно выполнено, если производная $ f^<\prime>(x) $ не меняет знака на $ ]a,b_<>[ $, т.е. полином $ f^<\prime>(x) $ не имеет корней на рассматриваемом интервале. Действительно, если предположить существование двух корней у $ f_<>(x) $ на $ ]a,b_<>[ $, то, по соображениям, упомянутым ☞ ЗДЕСЬ 16) , должна существовать точка этого интервала, в которой $ f^<\prime>(x) $ обращается в нуль. Анализ знака $ f^<\prime>(x) $ на $ ]a,b_<>[ $ часто удается произвести элементарными рассуждениями. Назначение сервиса . Сервис позволит прямо на сайте в онлайн-режиме провести аналитическое выравнивание ряда yt, проверить наличие гетероскедастичности и автокорреляции остатков тестом Дарбина-Уотсона (см. пример аналитического выравнивания по прямой). Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют метод выравнивания (линеаризацию). В общем случае при аналитическом выравнивании используется метод наименьших квадратов: Типичное задание. Произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию развития розничного товарооборота торгового дома соответствующим аналитическим уравнением. Вычислите аналитические (выровненные) уровни ряда динамики и нанесите их на график вместе с фактическими данными. Пример . По УР имеются данные о вводе в действие жилых домов и общежитий, тыс. м 2 . Для анализа динамики показателя ввода в действие жилых домов и общежитий вычислите: Постройте график динамики уровня ряда за период 1998 -2006 гг., проведите аналитическое выравнивание ряда (постройте математическую модель и график), сделайте прогноз на 2007 год. http://vmath.ru/vf5/polynomial http://math.semestr.ru/trend/analis.php<4>+\frac
<2>+ \sqrt<\Delta>,\ v^3=-\frac
<2>— \sqrt <\Delta>\ . $$ В итоге имеем формулу для решений уравнения: $$ x=u+v=\sqrt[3]<-\frac
<2>+\sqrt<\frac
<4>+\frac
<2>-\sqrt<\frac
<4>+\frac
<2>+\sqrt<\frac
<4>+\frac
Уравнение четвертой степени
Уравнения высших степеней
Поиск корней алгебраических уравнений: возможность упрощений
Возвратное уравнение
Делимость полиномов
Наибольший общий делитель
Взаимно простые полиномы
Производные от полинома
<2>\right)^2 + \left(\frac
Формула Тейлора
Полиномы с вещественными коэффициентами
Геометрия
Экстремумы
Приводимость
\> $ числа $ |a_n| $, и множество всех натуральных делителей $ \<<\mathfrak q>_1=1,\dots,<\mathfrak q>_Локализация корней
Границы расположения корней
Корни полинома в областях комплексной плоскости
1. cоседние полиномы $ f_j(x) $ и $ f_
2. $ f_K(x)\ne 0 $;
3. если $ f_j(x_0)=0 $ при $ x_0 \in ]a,b[ $ и $ j\in \ <1,\dots,k-1\>$, то числа $ f_Левая полуплоскость: устойчивость
Единичный круг
Численные методы поиска корней полинома
Метод аналитического выравнивания
y = f(x) Преобразование Метод линеаризации y = b x a Y = ln(y); X = ln(x) Логарифмирование y = b e ax Y = ln(y); X = x Комбинированный y = 1/(ax+b) Y = 1/y; X = x Замена переменных y = x/(ax+b) Y = x/y; X = x Замена переменных. Пример y = aln(x)+b Y = y; X = ln(x) Комбинированный y = a + bx + cx 2 x1 = x; x2 = x 2 Замена переменных y = a + bx + cx 2 + dx 3 x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3 Замена переменных y = a + b/x x1 = 1/x Замена переменных y = a + sqrt(x)b x1 = sqrt(x) Замена переменных