Система одновременных уравнений спрос предложений

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Системы одновременных уравнений

Системы эконометрических уравнений включают множество зависимых или эндогенных переменных и множество предопределенных переменных (лаговые и текущие независимые переменные, а также лаговые эндогенные переменные). Как и эконометрические модели с одним уравнением, системы эконометрических уравнений направлены на объяснение текущих значений эндогенных переменных в зависимости от значений предопределенных переменных. В эконометрическом моделировании выделяют три вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений определяется тем, что каждая эндогенная переменная y является функцией только от одних и тех же переменных x:

(1)

2. Система рекурсивных уравнений определяется тем, что в каждом последующем уравнении эндогенная переменная выступает в качестве экзогенной переменной:

(2)

В таких системах каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и неизвестные коэффициенты таких уравнений можно найти с помощью классического метода наименьших квадратов.

3. Система взаимозависимых уравнений определяется тем, что эндогенные переменные в одних уравнениях входят в левую часть(т. е. являются результативными признаками), а в других уравнениях — в правую часть (т. е. являются факторными признаками):

(3)

В системе взаимозависимых уравнений значения результативных и факторных переменных формируются одновременно под влиянием внешних факторов. Эта система — система одновременных, или совместных, уравнений.

Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, вследствие чего применение традиционного метода наименьших квадратов для определения его параметров невозможно, так как нарушаются условия МНК:

1) одновременная зависимость между переменными модели, т. е. в первом уравнении y₁ — это функция от y₂, а во втором уравнении y₂ — это функция от y₁;

2) проблема мультиколлинеарности, т. е. во втором уравнении системы y₂ зависит от x₁, а в других уравнениях обе переменные выступают в качестве факторных;

3) случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

В результате применения обычного МНК к оцениванию одновременных уравнений оценки неизвестных параметров получаются смещенными и несостоятельными.

Часто приводимым примером системы взаимозависимых уравнений является моделирование одновременного формирования спроса Q d и предложения Q s товара в зависимости от его цены P в момент времени t:

где — предложение товара в момент времени t;

— спрос на товар в момент времени t;

P_t — цена товара в момент времени t;

P_t-1 — цена товара в предшествующий момент времени (t − 1);

I_t — доход потребителей в момент времени t.

Если рынок находится в состоянии равновесия, то имеет место следующее тождество равновесия:

1.1 Структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. Проблема идентификации модели.

Уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений, называются структурными уравнениями, а модель в данном случае имеет структурную форму. С помощью структурной формы модели непосредственно отражают реальный экономический процесс. Коэффициенты уравнений структурной формы называются структурными коэффициентами, или параметрами.

Структурные уравнения могут быть представлены либо поведенческими уравнениями, либо уравнениями — тождествами.

Поведенческие уравнения характеризуют все типы взаимодействия между эндогенными и экзогенными переменными.

Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Они обозначаются через y.

Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Они обозначаются через x.

В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию. Примером поведенческого уравнения является уравнения спроса или предложения:

= a₀ +a₁ ×P_t +a₂ ×P_t−1 или = b₀ +b₁ ×P_t +b₂ ×I_t .

Тождествами называют равенства, выполняющиеся во всех случаях. Для них характерно, что их вид и значения параметров известны и они не содержат случайной компоненты. Примером уравнения тождества является тождество равновесия в модели «спрос — предложение»: .

Для определения неизвестных структурных параметров системы одновременных уравнений переходят к приведенной форме модели.

Приведенной формой модели называется система независимых уравнений, в которой все эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные и случайные компоненты, например:

(5)

Коэффициенты приведенной формы называются приведенными коэффициентами, или параметрами, которые можно оценить традиционным методом наименьших квадратов. С помощью МНК оценок приведенных коэффициентов определяются оценки структурных коэффициентов.

При переходе от структурной формы модели к приведенной форме возникает проблема идентификации модели.

Проблема идентификации заключается в возможности численной оценки неизвестных коэффициентов структурных уравнений по МНК оценкам коэффициентов приведенных уравнений. Исходная система одновременных уравнений является идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы. Уравнение является точно идентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели можно однозначно найти оценки коэффициентов структурной модели. Признаком идентифицированности системы является равенство между количеством уравнений, определяющих структурные коэффициенты, и количеством этих коэффициентов, т. е. когда структурная система уравнений является квадратной.

Исходная система одновременных уравнений является сверх идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное. Уравнение является сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели можно получить более одного значения для коэффициентов структурной модели.

Исходная система одновременных уравнений является неидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное. Уравнение является неидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели невозможно рассчитать оценки коэффициентов структурной модели.

Необходимые и достаточные условия идентификации модели

Необходимые и достаточные условия идентификации применяются только к структурной форме модели.

1) N — количество предопределенных переменных в модели;

2) n — количество предопределенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;

3) M — количество эндогенных переменных в модели;

4) m — количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;

5) K — матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.

Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения модели.

Уравнение модели идентифицируемо в том случае, если оно исключает хотя бы N − 1 предопределенную переменную модели, т. е.:

Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения модели.

Уравнение модели идентифицируемо в случае, если количество предопределенных переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица, т. е.:

Достаточное условие идентифицируемости уравнения модели.

Уравнение модели идентифицируемо в случае, если ранг матрицы K равен N − 1.

Ранг матрицы — размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Исходя из перечисленных условий идентификации можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения модели:

1) если M − m > n − 1 и ранг матрицы K равен N − 1, то уравнение модели считается сверхидентифицированным;

2) если M − m = n − 1 и ранг матрицы K равен N − 1, то уравнение модели считается точно идентифицированным;

3) если M − m ≥ n − 1 и ранг матрицы K меньше N − 1, то уравнение модели считается неидентифицированным;

Система одновременных уравнений (модель спроса и предложения)

Линейная регрессионная модель

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных. Для того, чтобы найти объясненную часть, т. е. величину

Л/д-( У), требуется знание условных распределений случайной величины К. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно. В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных, подробно описанная.

Эта процедура состоит из двух этапов:

1) определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция Mx(Y) (рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X).

Это может быть множество линейных функций, показа­тельных функций и т.д.;

2) находятся оценки параметров этой функции с помощью одного из методов математической статистики. Формально никаких способов выбора параметрического семейства не существует. Однако в подавляющем большинстве случаев эконометрические модели выбираются линейными .

Кроме вполне очевидного преимущества линейной модели

ее относительной простоты, — для такого выбора имеются, по крайней мере, две существенные причины.

Первая причина: если случайная величина (X, Y) имеет совместное нормальное распределение, то, как известно, уравнения регрессии линейные. Предположение о нормальном распределении является вполне естественным и в ряде случаев может быть обосновано с помощью предельных теорем теории вероятностей.

В других случаях сами величины Y или X могут не иметь нормального распределения, но некоторые функции от них распределены нормально. Например, известно, что логарифм доходов населения — нормально распределенная случайная величина. Вполне естественно считать нормально распределенной случайной величиной пробег автомобиля. Часто гипотеза о нормальном распределении принимается во многих случаях, когда нет явного ей противоречия, и, как показывает практика, подобная предпосылка оказывается вполне разумной.

Вторая причина, по которой линейная регрессионная модель оказывается предпочтительнее других, — это меньший риск значительной ошибки прогноза.

Система одновременных уравнений (модель спроса и предложения)

Особенностью этих систем является то, что каждое из уравнений системы, кроме «своих» объясняющих переменных, может включать объясняемые переменные из других уравнений. Таким образом в отличие от регрессионных уравнений тождества не содержат подлежащих оценке параметров модели и не включают случайной составляющей.

Таким образом, мы имеем не одну зависимую переменную, а набор зависимых (объясняемых) переменных, связанных уравнениями системы. Такую систему называют также системой одновременных уравнений, подчеркивая тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других.

Системы одновременных уравнений наиболее полно описывают экономический объект, содержащий множество взаимосвязанных эндогенных (формирующихся внутри функционирования объекта) и экзогенных (задаваемых извне) переменных. При этом в качестве эндогенных и экзогенных могут выступать лаговые (взятые в предыдущий момент времени) переменные.

Классическим примером такой системы является модель спроса Q и предложения Q, когда спрос на товар определятся его ценой Р и доходом потребителя /, предложение

товара — его ценой Р и достигается равновесие между спросом и предложением:

в этой системе экзогенной переменной выступает доход потребителя, а эндогенными — спрос (предложение) товара Qd =Qs =Q и цена товара (цена равновесия) Р.

В другой модели спроса и предложения в качестве объясняющей предложение Qf переменной может быть не только цена товара Р в данный момент времени, т.е. Д но и цена товара в предыдущий момент времени — т.е. лаговая эндогенная переменная:

Обобщая изложенное, можно сказать, что эконометрическая модель позволяет объяснить поведение эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных (иначе — в зависимости от предопределенных, т.е. заранее определенных, переменных).

Завершая рассмотрение понятия эконометрической модели, следует отметить следующее. Не всякая экономико-математическая модель, представляющая математико-статистическое описание исследуемого экономического объекта, может считаться эконометрической. Она становится эконометрической только в том 20 случае, если будет отражать этот объект на основе характеризующих именно его эмпирических <статистических) данных.

1. Основные этапы эконометрического моделирования. Проблемы эконометрического
   моделирования.

Можно выделить шесть основных этапов эконометрического моделирования: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации модели.

1-й этап <постановочный). Формируется цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных. В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта (процесса); прогноз его экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях экзогенных переменных (отражая их случайный характер, изменение во времени), выработку управленческих решений.

При выборе экономических переменных необходимо теоретическое обоснование каждой переменной (при этом рекомендуется, чтобы число их было не очень большим и, как минимум, в несколько раз меньше числа наблюдений). Объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной или тесной корреляционной зависимостью, так как это может привести к невозможности оценки параметров модели или к получению неустойчивых, не имеющим реального смысла оценок, т.е. ктявлению мультиколлинеарности.

2-й этап <априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации.

3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей.

4’й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации — наблюдаемых значений экономических переменных. Здесь могут быть наблюдения, полученные как с участием исследователя, так и без его участия (в условиях активного или пассивного эксперимента),

5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров. Реализации этого этапа посвящена основная часть учебника. С проблемой идентификации модели не следует путать проблему ее идентифицируемости, т. е. проблему возможности получения однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений (точнее, параметров

структурной формы модели, раскрывающей механизм формирования значений эндогенных переменных, по параметрам приведенной формы модели, в которой эндогенные переменные непосредственно выражаются через предопределенные переменные).

6’й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации и идентифицируемости модели, какова точность расчетов по данной модели, в конечном счете, насколько соответствует построенная модель моделируемому реальному экономическому объекту или процессу.

Следует заметить, что если имеются статистические данные, характеризующие моделируемый экономический объект в данный и предшествующие моменты времени, то для верификации модели, построенной для прогноза, достаточно сравнить реальные значения переменных в последующие моменты времени с соответствующими их значениями, полученными на основе рассматриваемой модели по данным предшествующих моментов.

Приведенное выше разделение эконометрического моделирования на отдельные этапы носит в известной степени условный характер, так как эти этапы могут пересекаться, взаимно дополнять друг друга и т. п.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)