Система переменных больше чем уравнений

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
4. метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
3. удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Ответ: решение данной системы уравнений — .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

.

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

,

откуда находим «икс третье»:

.

Далее, подставляем значения и во второе уравнение системы:

,

.

Наконец, подстановка значений

в первое уравнение даёт

,

откуда находим «икс первое»:

.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

,

Из третьего уравнения —

.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

,

соответствующие уравнению вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

,

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на . Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Проведём теперь исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на .

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

и известны, а находим из первого уравнения:

.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: . Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения и . Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Системы линейных уравнений

Обозначим через $ \mathbb A_<> $ любое из множеств $ \mathbb Q_<>, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $.

Примеры систем уравнений над $ \mathbb R $.

Относительно числа $ m_<> $ уравнений не делается ни какого предположения: оно может быть меньше, больше или равно числу переменных $ n_<> $. Если $ m_<>>n $ то система называется переопределенной. Решением системы уравнений называется любой набор значений переменных $ x_1=\alpha_<1>,\dots, x_n = \alpha_n $, обращающий каждое из уравнений в истинное равенство. Система называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Можно доказать (см. результаты ☟ НИЖЕ ), что все возможности для произвольной системы ограничиваются следующими вариантами:

1. система совместна и имеет единственное решение;

2. cистема совместна и имеет бесконечное множество решений;

3. cистема несовместна.

При этом все решения будут находиться в том же множестве $ \mathbb A_<> $, что и коэффициенты системы.

Матричная форма записи

Для системы линейных уравнений относительно переменных $ x_1,x_2,\dots,x_n $ $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & & \dots \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_m. \end \right. $$ матрицей системы называется матрица $$ A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots &&& \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right)_ \ ; $$ cтолбец $$ <\mathcal B>= \left( \begin b_ <1>\\ b_ <2>\\ \vdots \\ b_ \end \right) $$ называется столбцом правых частей системы, а столбец $$ X= \left( \begin x_ <1>\\ x_ <2>\\ \vdots \\ x_ \end \right) $$ — столбцом неизвестных. Используя правило умножения матриц, систему можно записать в матричном виде: $$ AX= <\mathcal B>\ . $$ Любое решение $ x_1=\alpha_1,\dots,x_n=\alpha_n $ системы можно также записать в виде столбца: $$ X=\left( \begin \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end \right) \in \mathbb A^n \ . $$ Матрица, составленная из всех коэффициентов системы уравнений: $$ [A \mid \mathcal B ]= \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>& b_2 \\ \dots &&& & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ & b_m \end \right)_ \ , $$ т.е. конкатенацией матрицы $ A_<> $ и столбца правых частей $ <\mathcal B>_<> $ называется расширенной матрицей системы л.у.

Исключение переменных (метод Гаусса)

метода достаточно проста.

Пример. Решить систему уравнений $$ \left\< \begin 2x_1&-3x_2&-x_3&=3 \\ 4x_1&-3x_2&-5x_3&=6 \\ 3x_1&+5x_2&+9x_3&=-8 \end \right. $$

Решение. Выразим из первого уравнения $ x_ <1>$ $$ x_1=\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3> <2>$$ и подставим в оставшиеся уравнения $$ 4 \left(\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>\right) -3\,x_2-5\,x_3=6 \ <\color\iff > \ 3x_2-3x_3 = 0 $$ $$ \ <\color\iff > \ x_2-x_3=0 \ ; $$ $$ 3 \left(\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>\right) +5x_2+9x_3=-8 \ <\color\iff > \ \frac<19> <2>x_2 +\frac<21><2>x_3=-\frac<25> <2>$$ $$ <\color\iff > 19x_2 +21x_3=-25 \ . $$ Два получившихся уравнения не зависят от неизвестной $ x_ <1>$ — она оказалась исключенной из этих уравнений. Иными словами, мы получили новую подсистему уравнений $$ \left\< \begin x_2&-x_3&=0 \\ 19x_2&+21x_3&=-25, \end \right. $$ которой должны удовлетворять неизвестные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$. Продолжаем действовать по аналогии: выразим из первого уравнения $ x_ <2>$ через $ x_ <3>$: $$x_2=x_3 $$ и подставим во второе: $$ 40 x_3 =-25 \ \iff \ x_3=-\frac<5> <8>\ . $$ Итак, значение одной компоненты решения получено. Для нахождения оставшихся подставим значение $ x_ <3>$ в полученные по ходу решения соотношения: $$ x_2=x_3=-\frac<5> <8>\ \Rightarrow \ x_1=\frac<3> <2>x_2+\frac<1> <2>x_3 + \frac<3><2>=\frac<1> <4>\ . $$

Ответ. $ x_<1>=1/4, x_2=-5/8, x_3=-5/8 $.

Теперь осталось формализовать изложенную идею метода (сформулировав допустимые правила действия над уравнениями — те, что в принципе, очевидны из здравого смысла ), а также исследовать возможные последствия его применения к системам общего вида.

Исключение переменных

Элементарными преобразованиями системы л.у. называются преобразования следующих трех типов:

1. перестановка двух уравнений;

2. умножение обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число;

3. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на произвольное число: пара уравнений $$ \begin a_x_1 +a_x_2+ \ldots+a_x_n &=&b_j,\\ a_x_1 +a_x_2+ \ldots+a_x_n &=&b_k \end $$ заменяется парой $$ \begin (a_+ <\color\lambda > a_) x_1 &+ (a_+ <\color\lambda > a_) x_2 &+ \ldots &+ (a_+ <\color\lambda > a_) x_n &=&b_j + <\color\lambda > b_k\, , \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots &+a_x_n &=&b_k \, . \end $$

Теорема. Любое элементарное преобразование системы л.у. переводит эту систему в ей эквивалентную, т.е. имеющую то же множество решений, что и исходная.

Задача. С помощью элементарных преобразований привести систему л.у. к наиболее простому виду: такому, из которого легко было бы установить множество решений.

Предположим, что первое уравнение системы содержит явно неизвестную $ x_ <1>$, т.е. $ a_<11>^<> \ne 0 $. Исключим эту неизвестную из всех оставшихся уравнений. С этой целью вычтем из второго уравнения первое, домноженное на $ a_<21>/a_<11>^<> $. Получим $$\left(a_<22>— \frac>> a_ <12>\right)x_2 + \dots + \left(a_<2n>— \frac>> a_ <1n>\right)x_n = b_2 — \frac>> b_1 \ , $$ Аналогичное преобразование — вычитание из третьего уравнения системы первого, умноженного на $ a_<31>/a_<11>^<> $, позволяет исключить $ x_ <1>$ из этого уравнения, т.е. заменить его на $$\left(a_<32>— \frac>> a_ <12>\right)x_2 + \dots + \left(a_<3n>— \frac>> a_ <1n>\right)x_n = b_3 — \frac>> b_1 \ . $$ Продолжаем процесс далее. В конечном итоге исключаем $ x_ <1>$ из всех уравнений кроме первого: $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ &a_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_<2n>^<[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ &\dots & & & \dots \\ &a_^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_^<[1]>x_n &=b_m^<[1]>. \end \right. \ \ npu \ \ \begin a_^ <[1]>&= & \displaystyle a_ — \fraca_<1k>>> ,\\ b_j^ <[1]>&= & \displaystyle b_j — \fracb_1>> . \end $$ Полученная система эквивалентна исходной системе, однако она имеет более простой вид: в ней выделилась подсиcтема $$ \left\< \begin a_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_<2n>^<[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ \dots & & & \dots \\ a_^<[1]>x_2&+ \ldots&+a_^<[1]>x_n &=b_m^<[1]>, \end \right. $$ которая не зависит от переменной $ x_ <1>$. К этой новой подсистеме можно применить те же рассуждения, что и к исходной системе, поставив теперь целью исключение переменной $ x_ <2>$.

Понятно, что процесс исключения может быть продолжен и далее. Теперь посмотрим, где он может прерваться. Может так случиться, что очередная, $ \ell_<> $-я подсистема имеет коэффициент $ a_<\ell \ell>^ <[\ell-1]>$ равным нулю, что не позволит алгоритму идти дальше — т.е. исключить переменную $ x_<\ell>^<> $ из оставшихся уравнений (в принципе, такое могло случиться уже на первом шаге, если бы коэффициент $ a_<11>^<> $ был бы равен нулю). Возможные варианты дальнейших действий:

1. если хотя бы один коэффициент при $ x_<\ell>^<> $ в одном из оставшихся уравнений отличен от нуля: $ a_^<[\ell-1]>\ne 0^<> $, то это уравнение переставляется с $ \ell_<> $-м;

2. если при всех $ j\ge \ell^<> $ коэффициенты $ a_^ <[\ell-1]>$ равны нулю, то переменная $ x_<\ell>^<> $ не входит ни в одно оставшееся уравнение, и можно перейти к исключению переменной $ x_<\ell+1>^<> $.

Поскольку число переменных конечно, то алгоритм исключения должен завершиться за конечное число шагов. Чем он может завершиться? Окончательная система должна иметь вид: $$ \left\< \begin a_<11>x_1 +&a_<12>x_2&+ \ldots& +a_<1 <\mathfrak r>>x_<\mathfrak r>& +a_ <1 ,<\mathfrak r>+1>x_<<\mathfrak r>+1>&+ \ldots + & a_<1n>x_n &=b_1,\\ &a_<22>^<[1]>x_2&+ \ldots& +a_<2 <\mathfrak r>>^ <[1]>x_<\mathfrak r>& +a_<2 ,<\mathfrak r>+1>^ <[1]>x_<<\mathfrak r>+1>&+ \ldots + & a_<2n>^ <[1]>x_n &=b_2^<[1]>,\\ & & \ddots & & & & & \dots \\ & & & a_ <<\mathfrak r><\mathfrak r>>^<[<\mathfrak r>-1]>x_ <\mathfrak r>& + a_ <<\mathfrak r>, <\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>x_<<\mathfrak r>+1>& + \ldots + & a_ <<\mathfrak r>,n>^<[<\mathfrak r>-1]>x_n &=b_<\mathfrak r>^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ & & & & & & 0 &=b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ & & & & & & \dots & \\ & & & & & & 0 &=b_^<[<\mathfrak r>-1]>, \\ \end \right. $$ при $ <\mathfrak r>\le n_<> $. Заметим, что все коэффициенты этой системы будут принадлежать тому же множеству, что и коэффициенты исходной системы.

Предположение . Мы будем считать, что каждое из первых $ <\mathfrak r>_<> $ уравнений системы содержит в своей левой части хотя бы одну переменную с ненулевым коэффициентом.

Процесс получения системы такого вида из исходной системы уравнений называется прямым ходом метода Гаусса.

Исторический комментарий о Гауссе ☞ ЗДЕСЬ.

Установление множества решений

Теорема. Если хотя бы одно из чисел $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>,\dots , b_^<[<\mathfrak r>-1]> $ отлично от нуля, то исходная система линейных уравнений будет несовместной.

Для простоты мы будем иллюстрировать наши рассуждения на системах л.у. над $ \mathbb R_<> $, в этом же множестве искать решения. Каждое из преобразований метода Гаусса будем обозначать $ \to_<> $.

Пример. Решить систему л.у.

$$ \left\< \begin x_1&+x_2&-3\, x_3 =& -1 \\ 2\,x_1&+x_2&-2\, x_3 =& 1 \\ x_1&+x_2&+ x_3 =& 3 \\ x_1&+2\,x_2&-3\, x_3 =& 1. \end \right. $$

Решение. $$ \ \to \ \left\< \begin x_1&+x_2&-3\, x_3 =& -1 \\ &-x_2&+4\, x_3 =& 3 \\ &&4\, x_3 =& 4 \\ &x_2&=& 2 \end \right. \ \to \ \left\< \begin x_1&+x_2&-3\, x_3 =& -1 \\ &-x_2&+4\, x_3 =& 3 \\ &&4\, x_3 =& 4 \\ &&4\, x_3=& 5 \end \right. \ \to \ $$ $$ \to \ \left\< \begin x_1&+x_2&-3\, x_3 =& -1 \\ &-x_2&+4\, x_3 =& 3 \\ &&4\, x_3 =& 4 \\ &&0=& 1 \end \right. $$ Последнее равенство абсолютно противоречиво.

Ответ. Система несовместна.

Пусть теперь $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_^<[<\mathfrak r>-1]>=0 $. Возможны два случая: $ <\mathfrak r>=n_<> $ и $ <\mathfrak r>предположения , имеем $ a_^ <[n-1]>\ne 0 $. Но тогда, поскольку система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то и все коэффициенты $ a_^<[n-2]>, \dots, a_<22>^<[1]>, a_ <11>$ должны быть отличны от нуля — в противном случае метод Гаусса не остановился бы на системе такого вида; он называется треугольным: Из последнего уравнения системы можно однозначно установить значение $ x_ $: $$x_n=b_n^ <[n-1]>\big/ a_^ <[n-1]>\ .$$ Далее, подставляя это значение в $ (n-1) $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $: $$ x_= \frac^ <[n-2]>— a_^<[n-2]>x_>< a_^<[n-2]>>= \frac< b_^ <[n-2]>— a_^ <[n-2]>b_n^ <[n-1]>\Big/ a_^<[n-1]>>< a_^<[n-2]>> . $$ Подставляем полученные значения для $ x_ $ и $ x_ $ в $ (n-2)_<> $-е уравнение системы, выражаем $ x_ $, и т.д., в конце концов приходим к первому уравнению, из которого выражаем $ x_ <1>$ если ранее уже получены выражения для $ x_2,\dots,x_ $.

Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается треугольной системой, т.е. $ \mathfrak r = n_<> $ и $ b_<<\mathfrak r>+1>^<[<\mathfrak r>-1]>=0,<>\dots, b_^<[<\mathfrak r>-1]>=0 $, то исходная система линейных уравнений имеет единственное решение.

Пример. Решить систему л.у.

$$ \left\< \begin x_1&+3\,x_2&+ x_3 =&5 \\ 2\,x_1&+x_2&+ x_3 =& 2 \\ x_1&+x_2&+ 5\,x_3 =& -7 \\ 2\,x_1&+3\,x_2&-3\, x_3 =& 14. \end \right. $$

Ответ. $ x_1=1,\, x_<2>=2,\, x_3=-2 $ .

Исследуем теперь случай $ <\mathfrak r>1) : На основании предположения , в $ <\mathfrak r>$-м уравнении этой системы имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части, пусть $ a_ <<\mathfrak r><\mathfrak s>>^<[<\mathfrak r>-1]>\ne 0 $ — первый из них. Если $ <\mathfrak s>=n $, то из этого уравнения однозначно определится $ x_ $ $$ x_n=\alpha_n = b_<\mathfrak r>^<[<\mathfrak r>-1]> \big/ a_ <<\mathfrak r>n>^<[<\mathfrak r>-1]> \ . $$ Если же $ <\mathfrak s>предположения , в этом уравнении имеется хотя бы один ненулевой коэффициент в левой части; пусть $ a_<<\mathfrak r>-1, <\mathfrak k>>^<[<\mathfrak r>-2]>\ne 0_<> $ — первый из них. Поскольку мы преположили, что система является конечной стадией прямого хода метода Гаусса, то $ <\mathfrak k>по крайней мере две переменные, значения которых еще не были зафиксированы на предыдущих шагах. Это следует из предположения, что число уравнений $ <\mathfrak r>_<> $ меньше числа неизвестных $ n_<> $. Такое уравнение допускает бесконечное число решений, любое из которых в ходе дальнейших шагов может быть «доделано» до решения системы.

Теорема. Если прямой ход метода Гаусса заканчивается трапециевидной системой, т.е. $ \mathfrak r 2) матрицы $ A_<> $ (третьего порядка). Понятие определителя распространяется и на квадратные матрицы бóльших порядков; образно говоря, определитель — это функция элементов матрицы, отвечающая за единственность решения системы уравнений.

Дальнейший матричный анализ метода Гаусса ☞ ЗДЕСЬ.

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Теорема. Cистема

$$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&b_1\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_n \end\right. $$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots &&& \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ \end \right| \ne 0 \ . $$ В этом случае решение можно вычислить по формулами Крамера 3) : $$ x_k =\frac<\det \left[ A_<[1]>|\dots|A_<[k-1]>|<\mathcal B>|A_<[k+1]>|\dots|A_ <[n]>\right]> <\det A>\quad npu \quad k\in \ < 1,\dots,n \>\ . $$ Для получения значения $ x_ $ в числитель ставится определитель, получающийся из $ \det A_<> $ заменой его $ k_<> $-го столбца на столбец правых частей ( здесь $ <> | $ означает конкатенацию).

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Пример. Решить систему уравнений

$$ \left\<\begin 2x_1& +3x_2&+11x_3&+5x_4 &=& \color2,\\ x_1& +x_2&+5x_3&+2x_4 &=& \color1 ,\\ 2x_1& +x_2&+3x_3&+2x_4 &=&\color<-3>,\\ x_1& +x_2&+3x_3&+4x_4 &=&\color<-3>. \end\right. $$

Решение. $$ x_1=\frac<\left|\begin \color2 & 3&11&5 \\ \color1 & 1&5&2 \\ \color<-3>& 1&3&2 \\ \color <-3>& 1&3&4 \end\right|> <\left|\begin 2& 3&11&5 \\ 1& 1&5&2 \\ 2& 1&3&2 \\ 1& 1&3&4 \end\right|>=\frac<-28><14>=-2, x_2=\frac<\left|\begin 2& \color2&11&5 \\ 1& \color1&5&2 \\ 2& \color<-3>&3&2 \\ 1& \color<-3>&3&4 \end\right|> <\left|\begin 2& 3&11&5 \\ 1& 1&5&2 \\ 2& 1&3&2 \\ 1& 1&3&4 \end\right|>=\frac<0><14>=0, \dots $$ Найдите оставшиеся компоненты решения. ♦

Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ \det A_<> \ne 0 $.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Еще один способ решения системы основан на построении обратной матрицы: $$ AX= <\mathcal B>\quad \Rightarrow \quad X=A^<-1> <\mathcal B>\ . $$ Этот способ малоэффективен при фиксированных числовых $ A_<> $ и $ <\mathcal B>_<> $.

Найти достаточное условие существования общего решения систем уравнений:

$$ A_1 X = <\mathcal B>_1 \quad u \quad A_2 Y = <\mathcal B>_2 \ , $$ при квадратных матрицах $ A_1 $ и $ A_2 $ одинакового порядка.

Теорема Кронекера-Капелли

Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы $ A_<> $ и столбца правых частей $ <\mathcal B>_<> $ $$ [ A| <\mathcal B>] = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>& b_2 \\ \dots &&& & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ & b_m \end \right)_ $$ называется расширенной матрицей системы линейных уравнений $ AX= <\mathcal B>$.

Теорема [Кронекер, Капелли]. Система $ AX= <\mathcal B>$ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:

$$ \operatorname\, A = \operatorname\, [ A| <\mathcal B>] \ . $$ При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных $ n_<> $ совпадает с общим значением ранга $ \mathfrak r_<> $, и бесконечное множество решений, если $ n_<> $ больше этого значения.

Доказательство необходимости. Пусть существует решение $ x_1=\alpha_1,\dots,x_n=\alpha_n $ системы, тогда $$\alpha_1 A_<[1]>+\dots+\alpha_n A_<[n]>= <\mathcal B>\ ,$$ т.е. столбец $ <\mathcal B>$ линейно выражается через столбцы $ A_<[1]>,\dots,A_ <[n]>$. Но тогда $$ \operatorname \,\dots,A_<[n]>\>=\operatorname \,\dots,A_<[n]>,<\mathcal B>\> .$$ Следовательно $ \operatorname\, A = \operatorname\, [ A| <\mathcal B>] $.

Доказательство достаточности проводится в следующем пункте. ♦

Пример. Исследовать совместность системы уравнений

Решение. В этом примере число уравнений совпадает с числом неизвестных. Это обстоятельство несколько облегчает рассуждения. Обратимся к замечанию из предыдущего пункта: система л.у. с числом уравнений, совпадающем с числом неизвестных, как правило, совместна. Тогда попробуем установить условия, обеспечивающие противоположное свойство — несовместность. Оно, фактически, единственно: за все отвечает определитель системы $ \det A_<> $. Если он отличен от нуля — система совместна. $$\det A = \left| \begin<\color<\lambda>> &1&1&1 \\ 1&<\color<\lambda>>&1&1 \\ 1&1&<\color<\lambda>>&1 \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right|= \left| \begin (<\color<\lambda>>-1) &(1-<\color<\lambda>>)&0&0 \\ 0&(<\color<\lambda>>-1)&(1-<\color<\lambda>>)&0 \\ 0&0&(<\color<\lambda>>-1)&(1-<\color<\lambda>>) \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right| =(<\color<\lambda>>-1)^3 \left| \begin 1 &-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 1&1&1&<\color<\lambda>> \end \right|= $$ $ =(<\color<\lambda>>-1)^3(<\color<\lambda>>+3) $. По теореме Крамера при $ <\color<\lambda>>\ne 1 $ и при $ <\color<\lambda>>\ne -3 $ решение системы единственно: $$x_1=x_2=x_3=x_4=1/(<\color<\lambda>>+3) \ .$$

Осталось исследовать критические случаи: $ <\color<\lambda>>=1_<> $ и $ <\color<\lambda>>= -3 $: определитель системы обращается в нуль, но система может оказаться совместной. Придется вычислять ранги, но, к счастью, уже числовых матриц (а не зависящих от параметра, как исходная!). При $ <\color<\lambda>>= 1_<> $ имеем $$ \operatorname \left( \begin 1 &1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end \right)= \operatorname \left( \begin 1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&1 \end \right)=1 \ , $$ и система совместна. Она эквивалентна единственному уравнению $$x_1+x_2+x_3+x_4=1 \ ,$$ которое имеет бесконечно много решений.

При $ <\color<\lambda>>= -3 $: $$ \operatorname \left( \begin -3 &1&1&1 \\ 1&-3&1&1 \\ 1&1&-3&1 \\ 1&1&1&-3 \end \right)=3,\quad \operatorname \left( \begin -3 &1&1&1&1 \\ 1&-3&1&1&1 \\ 1&1&-3&1&1 \\ 1&1&1&-3&1 \end \right)=4 $$ и система несовместна.

Ответ. Система несовместна при $ <\color<\lambda>> = -3 $; она имеет бесконечное множество решений при $ <\color<\lambda>> = 1_<> $ и единственное решение при $ <\color<\lambda>> \not\in \ <-3,1\>$.

Система однородных уравнений

$$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=0,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=0,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=0 \end \right. $$ всегда совместна: она имеет тривиальное решение $ x_1=0,\dots,x_n=0 $. Для того, чтобы у нее существовало еще и нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы был равен нулю.

Пример. Найти условие, при котором три точки плоскости с координатами $ (x_1,y_1), (x_2,y_2) $ и $ (x_3,y_<3>) $ лежат на одной прямой.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде $ ax+by+c=0 $ при неопределенных коэффициентах $ a,b,c_<> $. Если точки лежат на прямой, то получаем для определения этих коэффициентов систему линейных уравнений: $$ \left\< \begin ax_1+by_1+c & =0\\ ax_2+by_2+c & =0\\ ax_3+by_3+c & =0 \end \right. $$ Получившаяся система является однородной, условие существования у нее нетривиального решения (т.е. набора $ (a,b,c)_<> $ при хотя бы одном из чисел отличном от нуля): $$ \left|\begin x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end \right|=0 . $$ ♦

Доказать, что для совместности системы

$$ \left\< \begin a_<11>x_1+a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=& b_1 \\ a_<21>x_1+a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=& b_2 \\ a_<31>x_1+a_<32>x_2+a_<33>x_3 &=& b_3 \\ a_<41>x_1+a_<42>x_2+a_<43>x_3 &=& b_4 \end \right. $$ необходимо, чтобы было выполнено условие $$ \left| \begin a_<11>&a_<12>& a_ <13>& b_1 \\ a_<21>&a_<22>& a_ <23>& b_2 \\ a_<31>&a_<32>& a_ <33>& b_3 \\ a_<41>&a_<42>& a_ <43>& b_4 \end \right|=0 \quad . $$ Является ли это условие достаточным для совместности?

An elementary treatise on determinants

в следующей формулировке.

Теорема. Для того чтобы система $ n_<> $ неоднородных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы порядок наибольшего отличного от нуля минора был одинаков в расширенной и нерасширенной матрице системы.

Додсон — один из самых знаменитых математиков мира. Назовите его псевдоним.

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Общее решение

Пусть выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли: $ \operatorname (A)=\operatorname[A\mid \mathcal B ] =\mathfrak $. По определению ранга матрицы, в матрице $ A $ существует минор порядка $ \mathfrak $, отличный от нуля; этот же минор останется и минором расширенной матрицы $ [ A\mid \mathcal B ] $. Пусть, для определенности, ненулевой минор находится в левом верхнем углу матрицы 4) : $$ \Delta = A\left( \begin 1 & 2 & \dots & \mathfrak \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak \end \right) = \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_<1\mathfrak> \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_<2\mathfrak> \\ \dots &&& \dots \\ a_<\mathfrak1> & a_<\mathfrak2> & \dots & a_ <\mathfrak\mathfrak> \end \right| \ne 0 \ . $$ Тогда первые $ \mathfrak $ строк матрицы $ A $ линейно независимы, а остальные будут линейно выражаться через них. Это же утверждение будет справедливо и для строк матрицы $ [A\mid \mathcal B] $. Умножая первые $ \mathfrak $ уравнений системы на соответствующие числа и складывая их, получим любое оставшееся уравнение. Таким образом, система уравнений может быть заменена эквивалентной ей системой из первых $ \mathfrak $ уравнений: $$ \left\< \begin a_<11>x_1+\dots+a_<1\mathfrak>x_<\mathfrak>&+a_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+ \dots +a_<1n>x_n&=&b_1, \\ \dots & & & \dots \\ a_<\mathfrak1>x_1+\dots+a_<\mathfrak\mathfrak>x_<\mathfrak>& +a_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<\mathfrakn>x_n&=&b_\mathfrak \end \right. \quad \iff \quad A^ <\prime>X=<\mathcal B>^ <\prime>$$ Если $ \mathfrak=n $, то матрица $ A^ <\prime>$ квадратная. По предположению $ \det A^ <\prime>\ne 0 $. По теореме Крамера решение такой системы единственно.

Пусть теперь $ \mathfrak произвольных фиксированных значениях $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_n $: $$ x_j=\frac< \left| \begin a_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>&\left[ b_1-(a_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<1n>x_n) \right] &a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & \left[ b_<\mathfrak>- (a_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots +a_<\mathfrakn>x_n) \right] &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right| > <\Delta>$$ $$ \mbox <при>\ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> . $$ Таким образом, в этом случае система имеет бесконечное множество решений. Используя свойство линейности определителя по столбцу (см. свойство 5 ☞ ЗДЕСЬ ), формулы можно переписать в виде $$ x_j=\beta_j + \gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \ <1,\dots, \mathfrak\> \ . $$ Здесь $$ \beta_j =\frac<1> <\Delta>\left| \begin a_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>& b_1 &a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \vdots &&&\vdots&&& \vdots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & b_<\mathfrak> &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right|\, , $$ $$ \gamma_ = -\frac<1> <\Delta>\left| \begin a_ <11>& \dots &a_ <1,j-1>& a_ <1k>&a_<1,j+1>& \dots &a_<1\mathfrak> \\ \vdots &&&\vdots&&& \vdots \\ a_<\mathfrak1> & \dots &a_<\mathfrak,j-1> & a_<\mathfrakk> &a_<\mathfrak,j+1>& \dots &a_<\mathfrak\mathfrak> \end \right| \ . $$ Эти формулы называются общим решением системы $ A X=\mathcal B $. Участвующие в них переменные $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_n $ называются основными (или свободными), а $ x_1,\dots,x_<\mathfrak> $ — зависимыми. Решение, получающееся из общего решения фиксированием значений основных переменных, называется частным решением системы уравнений.

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы уравнений:

Решение проведем двумя способами, соответствующими двум способам вычисления ранга матрицы. Вычисляем сначала ранг матрицы $ A $ по методу окаймляющих миноров: $$ |2| \ne 0,\quad \left| \begin 2 & 1 \\ 6 & 2 \end \right| \ne 0, \quad \left| \begin 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|=2 \ne 0 \ , $$ а все миноры, окаймляющие последний, равны нулю. Итак, $ \operatorname (A) =3 $. Для нахождения ранга расширенной матрицы $ [A\mid \mathcal B] $ достаточно проверить окаймление найденного ненулевого минора третьего порядка с помощью элементов взятых из столбца правых частей. Имеется всего один такой минор, и он равен нулю. Следовательно $ \operatorname[ A\mid \mathcal B ] =3 $, система совместна, и имеет бесконечное множество решений.

Ненулевой минор третьего порядка (базисный минор) находится в первой, второй и четвертых строках, что означает линейную независимость соответствующих уравнений. Третье уравнение линейно зависит от остальных, и может быть отброшено. Далее, указанный базисный минор образован коэффициентами при $ x_1,x_3 $ и $ x_4 $. Следовательно оставшиеся уравнения могут быть разрешены относительно этих переменных, т.е. они — зависимые, а $ x_2 $ и $ x_5 $ — основные. Использование формулы дает общее решение $$ \begin x_1&=&\frac<\left| \begin 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin -1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin 3 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>=-\frac<1><2>+\frac<1><2>x_2+\frac<1><2>x_5, \\ & & \\ x_3&=&\frac<\left| \begin 2 & 2 & 2 \\ 6 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin 2 & -1 & 2 \\ 6 & -3 & 4 \\ 4 & -2 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin 2 & 3 & 2 \\ 6 & 5 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \end \right|><\displaystyle 2>=3-4x_5, \\ & & \\ x_4 &=&\frac<\left| \begin 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_2\frac<\left| \begin 2 & 1 & -1 \\ 6 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end \right|> <\displaystyle 2>-x_5\frac<\left| \begin 2 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 2 \end \right|> <\displaystyle 2>= 0. \end $$ Решим теперь ту же задачу, воспользовавшись методом Гаусса исключения переменных в системе линейных уравнений: $$ \left\< \begin 2x_1&-x_2&+x_3&+2x_4&+3x_5&=&2, \\ &&x_3&+2x_4&+4x_5&=&3, \\ &&&x_4&&=&0 \end \right. $$ Используя обратный ход метода Гаусса, снова приходим к полученным формулам.

Ответ. Общее решение системы: $ x_1=1/2 (x_2+x_5-1),\ x_3=3-4\,x_5,\ x_4=0 $.

Проанализируем теперь полученные общие формулы для общего решения. В этих формулах $ \beta_j $ представляет решение системы, получаемое при $ x_<\mathfrak+1>=0,\dots,x_n=0 $. Величины же коэффициентов $ \gamma_ $ вовсе не зависят от правых частей системы и будут одинаковыми при любых значениях $ b_1,\dots,b_m $. В частности, если $ b_1=0,\dots,b_m=0 $, то в формулах величины $ \beta_j $ обращаются в нуль и эти формулы превращаются в $$ x_j=\gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> \ . $$

Вывод. Формула общего решения системы $ A X=\mathcal B $: $$ x_j=\beta_j + \gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \ <1,\dots, \mathfrak\> $$ состоит из двух частей: слагаемые, не содержащие свободных переменных, определяют частное решение неоднородной системы: $$ x_1= \beta_1,\dots, x_<\mathfrak>= \beta_<\mathfrak>,x_<\mathfrak+1>=0,\dots,x_n=0 \ ; $$ оставшиеся после их отбрасывания формулы задают общее решение системы $ AX=\mathbb O $. Этот результат обобщается в следующей теореме.

Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.

Доказательство тривиально если система $ A X=\mathcal B $ имеет единственное решение. Если же решений бесконечно много, то выбрав какое-то одно частное $ X=X_1 $ мы получаем, что любое другое частное решение $ X=X_2 $ должно быть связано с первым соотношением $$ A(X_2-X_1)=\mathbb O , $$ т.е. разность частных решений неоднородной системы обязательно является решением однородной системы уравнений $ AX=\mathbb O $. ♦

Теперь посмотрим как можно описать общее решение однородной системы.

Система однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все коэффициенты правых частей равны нулю: $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=0,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=0,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=0. \end \right. $$ или, в матричном виде: $$ A_X=<\mathbb O>_ $$

Задача ставится о поиске нетривиального решения. Оно не всегда существует. Так, к примеру, если матрица $ A_<> $ системы — квадратная и имеет ненулевой определитель, то, согласно теореме Крамера, нетривиальных решений у однородной системы нет. Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что условие $ \det (A_<>) = 0 $ является и достаточным для существования нетривиального решения.

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений с квадратной матрицей $ A_<> $ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $ \det (A_<>) = 0 $.

Для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_<> $ имеет место следующий общий результат.

Теорема 2. Если $ \operatorname (A)=\mathfrak r 5) $ A_^<> $.

Теорема 3. Множество решений системы однородных уравнений образует линейное подпространство пространства $ \mathbb A^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-\mathfrak r $, а фундаментальная система решений образует его базис.

Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и

$$ \operatorname (A) =n_<>-1 \, .$$ Доказать, что если ненулевой минор матрицы порядка $ n_<>-1 $ соответствует какому-нибудь элементу $ j_<> $-й строки, то система алгебраических дополнений к элементам $ a_,\dots,a_^<> $ этой строки составляет ФСР для $ AX=\mathbb O_<> $. Например, для системы $$ \left\< \begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3&=0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3&=0 \end \right. $$ ФСР состоит из решения $$ x_1=\left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| , \ x_2=-\left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right| , \ x_3=\left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \ , $$ если только хотя бы один из миноров отличен от нуля.

Теперь обсудим способы нахождения ФСР.

1. Первый из них получается из общего метода решения системы линейных уравнений, рассмотренного в предыдущем пункте. Так же, как и в том пункте, сделаем упрощающее обозначения предположение, что зависимыми переменными являются первые $ x_<1>,\dots,x_ <\mathfrak r>$, т.е. общее решение задается формулами $$ x_j=\gamma_+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_x_n \ npu \ j\in \<1,\dots, \mathfrak\> \ . $$ Иными словами, вектор столбец $$ X=\left(\begin \gamma_<1,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<1n>x_n \\ \gamma_<2,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<2n>x_n \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+1>x_<\mathfrak+1>+\dots+\gamma_<\mathfrakn>x_n \\ x_<\mathfrak+1> \\ x_<\mathfrak+2> \\ \vdots \\ x_ \end\right) $$ будет решением однородной системы при любых наборах значений основных переменных $ x_<\mathfrak+1>,\dots,x_ $. Представим этот вектор в виде суммы векторов: $$ =x_<\mathfrak+1> \underbrace< \left(\begin \gamma_<1,\mathfrak+1> \\ \gamma_<2,\mathfrak+1> \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+1> \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end\right)>_ + x_<\mathfrak+2> \underbrace<\left(\begin \gamma_<1,\mathfrak+2> \\ \gamma_<2,\mathfrak+2> \\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrak,\mathfrak+2> \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end\right)>_+\dots+ x_ \underbrace<\left(\begin \gamma_ <1n>\\ \gamma_ <2n>\\ \vdots \\ \gamma_<\mathfrakn> \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end\right)>_> \ . $$ Таким образом, любое решение однородной системы представимо в виде линейной комбинации $ n_<>— \mathfrak r $ фиксированных решений. Именно эти решения и можно взять в качестве ФСР — их линейная независимость очевидна (единицы в нижних частях каждого вектора $ X_ $ расположены на разных местах, и ни какая линейная комбинация столбцов $ \ < X_1,\dots,X_\> $ не сможет обратить их одновременно в нуль).

Оформим этот способ построения ФСР в теорему:

Теорема 4. Если система уравнений $ AX=\mathbb O $ имеет структуру матрицы $ A_<> $ вида:

$$ A = \left[ E_ <\mathfrak r>\mid P_ <\mathfrak r \times (n-\mathfrak r)>\right] \ , $$ то ее ФСР состоит из столбцов матрицы $$ \left[ \begin — P^ <\top>\\ \hline E_ \end \right] \ . $$

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

Решение. Приводим систему к трапециевидному виду: $$ \left\< \begin x_1-&x_2+&x_3-&x_4=&0, \\ &&x_3+&4x_4=&0 \end \right. $$ В качестве зависимых переменных можно взять, например, $ x_ <1>$ и $ x_ <3>$. $$ \begin x_1 & x_3 & x_2 & x_4 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 1 \end $$

2. Этот способ напоминает вычисление обратной матрицы методом приписывания единичной матрицы. Транспонируем матрицу $ A_<> $ системы и припишем к ней справа единичную матрицу порядка $ n_<> $: $$ \left[ A^ <\top>| E_n \right] = \left(\begin a_ <11>& a_ <21>& \dots & a_ & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_ <12>& a_ <22>& \dots & a_ & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_ <13>& a_ <23>& \dots & a_ & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \vdots & \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_ <1n>& a_ <2n>& \dots & a_ & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end \right) \ ; $$ здесь $ <> |_<> <> $ означает конкатенацию. Получившуюся матрицу элементарными преобразованиями строк приводим к форме: $$ \left( \begin \hat A & K \\ \mathbb O & L \end \right) = \left(\begin \color <\star>& * & * & \dots & * & * & * & * & * & * & * & \dots & * \\ 0 & \color <\star>& * & \dots & * & * & * & * & * & * & * & \dots & * \\ 0 & 0 & \color <\star>& \dots & * & * & * & * & * & * & * & \dots & * \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots & & & \vdots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & & 0 & \color <\star>& * & * & * & * & * & \dots & * \\ \hline 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \Box & \Box & \Box & \dots & \Box \\ \vdots & & & & & \vdots & & & \vdots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \Box & \Box & \Box & \dots & \Box \end \right) \begin \left.\begin \\ \\ \\ \\ \\ \end\right\> \mathfrak r \\ \left. \begin \\ \\ \\ \end\right\> n — \mathfrak r \end \ . $$ Элементы трапециевидной матрицы $ \hat A $, обозначенные $ \color <\star>$, могут быть равны нулю, но $ \operatorname(\hat A)= \mathfrak r_<> $. В этом случае строки матрицы $ L_<> $, образовавшейся в правом нижнем углу (ее элементы обозначены $ \Box $), составляют ФСР для системы $ AX=\mathbb O $.

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

$$ \left\< \begin x_1 &+2\,x_2&+ x_3&+3\,x_4&-x_5&+2\,x_6=&0,\\ -3x_1 &-x_2&+ 2\,x_3&-4\,x_4&+x_5&-x_6=&0,\\ x_1 &+x_2&+ 3\,x_3&+2\,x_4&+x_5&+3\,x_6=&0,\\ -8\,x_1 &-7\,x_2&+ 4\,x_3&-15\,x_4&+6\,x_5&-5\,x_6=&0,\\ 6x_1 &+5\,x_2& +5\,x_3&+11\,x_4 &&+9\,x_6=&0. \end \right. $$ Решение. Преобразуем матрицу $ \left[ A^ <\top>| E_6 \right] $

$$ \left(\begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -7 & 5 & & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & & & 1 \\ 3 & -4 & 2 & -15 & 11 &&&& 1 \\ -1 & 1 & 1 & 6 & 0 &&&&& 1 \\ 2 & -1 & 3 & -5 & 9 &&&&&& 1 \end \right)_ <6\times 11>$$ к трапециевидной форме с помощью элементарных преобразований строк: $$ \rightarrow \left(\begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 12 & -1 &-1 &0 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-3&0&0& 1 \\ 0 & -2 & 2 & -2 & 6 &1&0&0&0& 1 \\ 0 & 5 & 1 & 11 & -3 &-2&0&0&0&0& 1 \end \right)\rightarrow $$ $$ \rightarrow \left(\begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 &1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1&-1&0& 1 \\ 0 & 0 & 8/5 & 8/5 & 16/5 &1/5&2/5&0&0& 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 4 &0&-1&0&0&0& 1 \end \right)\rightarrow $$ $$ \rightarrow \left(\begin 1 & -3 & 1 & -8 & 6 & 1 \\ 0 & 5 & -1 & 9 & -7 &-2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 &1 &-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1&-1&0& 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1/3&14/15&-8/15&0& 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-2/3&-1/3&-2/3&0& 0 & 1 \end \right) $$

3. Еще один способ построения ФСР основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Теорема. Пусть матрица системы $ AX=\mathbb O $ квадратная и $ \operatorname (A) = <\mathfrak r>$. Тогда характеристический полином матрицы $ A_<> $ имеет вид:

Пример. Найти ФСР для системы уравнений

Решение. Здесь $$ A= \left( \begin 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right), \quad \det (A-\lambda E) = \lambda^2(\lambda^2-4\lambda+1), $$ $$ A^2-4A+E= \left( \begin 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end \right) $$

Блок-схемы зависимости множества решений системы уравнений $ AX= \mathcal B $ от комбинации чисел $ n, \mathfrak r $ ☞ ЗДЕСЬ.

Геометрическая интерпретация

Геометрический смысл введенных определений поясним на примере $ \mathbb R^ <3>$. Уравнение $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b $$ — при фиксированных вещественных коэффициентах $ a_1,a_2,a_3 $ (хотя бы один из них считаем отличным от нуля) и $ b_<> $ — задает плоскость. Если, к примеру, $ a_1\ne 0 $, то из уравнения получаем выражение для $ x_ <1>$ как функции $ x_2,x_3 $: $$ x_1=\frac-\fracx_2-\fracx_3 \ . $$ В этом представлении переменные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$ могут принимать любые вещественные значения независимо друг от друга, а вот переменная $ x_ <1>$ полностью определяется заданием $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$. С одной стороны, последняя формула определяет общее решения системы линейных уравнений (которая в нашем частном случае состоит из одного-единственного уравнения); переменные $ x_ <2>$ и $ x_ <3>$ выбраны основными, а $ x_ <1>$ оказывается зависимой. Строго говоря, координаты любой точки плоскости можно представить формулами $$x_1=\frac-\fract-\fracu,\ x_2=t,\ x_3=u \quad npu \quad \\subset \mathbb R \ , $$ которые называются параметрическим представлением плоскости. Таким образом, получили геометрическую интерпретацию общего решения системы уравнений. Идем далее: представим последние формулы в векторной форме: $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)= \left( \begin b/a_1- t\, a_2/a_1- u\, a_3/a_1 \\ t \\ u \end \right)= \left( \begin b/a_1\\ 0 \\ 0 \end \right)+ t \left( \begin -a_2/a_1\\ 1 \\ 0 \end \right) + u \left( \begin -a_3/a_1\\ 0 \\ 1 \end \right) \ . $$ Какой геометрический смысл имеет каждое из слагаемых? Первое слагаемое $$ X_0=\left( \begin b/a_1\\ 0 \\ 0 \end \right) $$ получается при задании $ t=0,u=0_<> $ в общем решении. Это — частное решение нашего уравнения и определяет точку, через которую проходит плоскость. Два оставшихся столбца $$ X_1=\left( \begin -a_2/a_1\\ 1 \\ 0 \end \right) \quad u \quad X_2=\left( \begin -a_3/a_1\\ 0 \\ 1 \end \right) $$ не задают решения нашего уравнения — если только $ b\ne 0_<> $. Но оба удовлетворяют однородному уравнению $$ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 , $$ Последнее также определяет плоскость — параллельную исходной и проходящую через начало координат. Первая плоскость получается из второй сдвигом (параллельным переносом) на вектор $ \vec $: и этот факт составляет геометрическую интерпретацию теоремы, сформулированной в конце ☞ ПУНКТА:

Теорема. Общее решение системы уравнений $ A X=\mathcal B $ представимо в виде суммы какого-то частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы $ A X=\mathbb O $.

Координаты произвольной точки плоскости $ a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0 $ задаются соотношениями $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)=tX_1+uX_2 \ . $$ Векторы пространства $ \vec $ и $ \vec $ являются базисными векторами плоскости — любой вектор $ \vec $, лежащий в плоскости, через них выражается и они линейно независимы. Но $ X_ <1>$ и $ X_ <2>$ определяют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Таким образом, мы получили геометрическую интерпретацию для ФСР: она задает базисные векторы плоскости, проходящей через начало координат.

Теперь рассмотрим систему из двух уравнений: $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&b_1,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&b_2. \end\right. $$ Ее можно интерпретировать как пересечение двух плоскостей в $ \mathbb R^ <3>$. Здесь уже возможны варианты: пересечение может оказаться как пустым так и непустым. От чего это зависит? — В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, надо сравнить два числа $$ \operatorname \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\end \right) \quad u \quad \operatorname \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& b_2 \end \right) \ . $$ Очевидно, ни одно из них не может быть большим $ 2_<> $. Если оба равны $ 2_<> $ и этот факт обеспечен, например, условием $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \ne 0, $$ то решения системы определяют прямую в пространстве. Действительно, при таком условии систему можно разрешить относительно неизвестных $ x_ <1>$ и $ x_ <2>$ и представить общее решение в виде: $$ x_1= \frac<\left|\begin b_1 & a_ <12>\\ b_2 & a_ <22>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>+ \frac<\left|\begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>x_3 \ , \quad x_2= \frac<\left|\begin a_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>- \frac<\left|\begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>x_3 \ . $$ В этих формулах переменная $ x_ <3>$ принимает любое значение, а значения переменных $ x_ <1>$ и $ x_ <2>$ линейно выражаются через $ x_ <3>$. Общее решение фактически задает прямую в параметрическом виде: координаты произвольной ее точки определяются формулами $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)=X_0+tX_1 \ , $$ где вектор $$ \quad X_0 = \left(\frac<\left|\begin a_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|> , \ \frac<\left|\begin a_ <11>& b_ <1>\\ a_ <12>& b_ <2>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>,\ 0\right)^ <\top>$$ задает координаты точки, лежащей на прямой (т.е. принадлежащей пересечению плоскостей), а вектор $$ X_1= \left(\frac<\left|\begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>,\ — \frac<\left|\begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|><\left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|>, \ 1 \right)^ <\top>$$ является направляющим для прямой. С тем же успехом мы могли бы взять в качестве направляющего вектор, получающийся растяжением $ X_ <1>$: $$ \tilde X_1 = \left(\left|\begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|,\ — \left|\begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|, \ \left|\begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right| \right)^ <\top>\ . $$ Очевидно, что любой из векторов $ X_ <1>$ или $ \tilde X_1 $ задает фундаментальную систему решений однородной системы уравнений 10) $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&0. \end\right. $$ Последняя определяет прямую в $ \mathbb R^3 $, проходящую через начало координат. Мы снова получаем интерпретацию теоремы: общее решение неоднородной системы получается сдвигом (параллельным переносом) общего решения однородной системы на вектор $ \vec $.

Мы рассмотрели пока только случай пересекающихся плоскостей в пространстве. Его можно считать общим, т.е. случаем «как правило»: две случайным образом выбранные плоскости в $ \mathbb R^ <3>$ пересекаться будут. Исследуем теперь исключительный случай — параллельности плоскостей. Исключительность этого случая может быть проверена и аналитикой. Для несовместности системы из двух уравнений необходимо, чтобы ранг ее матрицы $$ \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\end \right) $$ оказался меньшим $ 2_<> $. Это равносильно тому, что все миноры второго порядка этой матрицы обращаются в нуль: $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right|=0,\ \left| \begin a_ <12>& a_ <13>\\ a_ <22>& a_ <23>\end \right| =0,\ \left| \begin a_ <11>& a_ <13>\\ a_ <21>& a_ <23>\end \right|=0 \ . $$ Эти условия можно переписать в виде $$ \frac>>=\frac>>=\frac>> \ ; $$ и, если обозначить общую величину последний отношений через $ \tau_<> $, то получаем: $$ (a_<11>,a_<12>,a_<13>)=\tau (a_<21>,a_<22>,a_<23>) . $$ Если вспомнить, что каждый из этих наборов коэффициентов задает вектор $ \vec> $ в $ \mathbb R^ <3>$, перпендикулярный соответствующей плоскости, то, в самом деле, плоскости, определяемые уравнениями, оказываются параллельными. Пересекаться они, как правило, не будут: для пересечения необходимо, чтобы расширенная матрица системы $$ \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>& b_2 \end \right) $$ имела ранг меньший $ 2_<> $. Это возможно только при условии когда коэффициенты правых частей удовлетворяют соотношению $$ b_1 = \tau b_2 $$ при величине $ \tau_<> $ определенной выше. При выполнении этого условия второе уравнение получается из первого домножением на $ \tau_<> $ и соответствующие плоскости попросту совпадают.

Перейдем теперь к системе из трех уравнений: $$ \left\< \begin a_<11>x_1 +&a_<12>x_2+&a_<13>x_3=&b_1, \\ a_<21>x_1 +&a_<22>x_2+&a_<23>x_3=&b_2, \\ a_<31>x_1 +&a_<32>x_2+&a_<33>x_3=&b_3. \end \right. $$ Вариантов взаимного расположения трех плоскостей в $ \mathbb R^ <3>$ уже значительно больше. Какой из них будет самым распространенным, то есть случаем «как правило»? Геометрически ответ очевиден: если пересечение двух плоскостей определяет, как правило, прямую, то эта прямая пересекается с третьей плоскостью, как правило, в одной-единственной точке. И алгебра подтверждает геометрию: в комментарии к теореме Крамера говорится, что система, число уравнений которой совпадает с числом неизвестных, как правило, имеет единственное решение. Условие для этого случая «как правило» дается той же теоремой Крамера: $$ \left| \begin a_ <11>& a_ <12>& a_<13>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>\\ a_ <31>& a_ <32>& a_ <33>\end \right| \ne 0 . $$

Теорема Кронекера-Капелли в этом случае не нужна — нет, она остается справедливой! — но проверка условия на ранги матриц тривиальна: они оба равны $ 3_<> $. Если же указанный определитель обращается в нуль, то этот факт эквивалентен тому, что три строки определителя линейно зависимы. Например, возможно, что строка $ (a_<31>,a_<32>, a_<33>) $ может быть представлена в виде линейной комбинации первых двух строк. Вспомним геометрический смысл этих строк: они задают координаты векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям. Если система уравнений $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+a_<13>x_3 &=&b_1,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+a_<23>x_3 &=&b_2 \end\right. $$ определяет прямую в $ \mathbb R^ <3>$, то оба вектора $ \vec> $ и $ \vec> $ при $ A^<[1]>= (a_<11>,a_<12>, a_<13>) $ и $ A^<[2]>= (a_<21>,a_<22>, a_<23>) $ перпендикулярны этой прямой; любая их комбинация также перпендикулярна этой прямой, а, следовательно, плоскость $$ a_<31>x_1 +a_<32>x_2+a_<33>x_3 =b_3 $$ будет ей параллельна.

Статья не закончена!

Ортогональность

Геометрические соображения из предыдущего пункта могут быть обобщены на случай когда размерности рассматриваемых пространств увеличиваются, и мы говорим о точках и векторах многомерных пространств. В последующих пунктах нам потребуются понятия линейной оболочки, линейного пространства, размерности, базиса и координат применительно к векторам-столбцам или векторам-строкам. Их можно найти ☞ ЗДЕСЬ.

Задача решения системы линейных уравнений $$ \left\< \begin 3x_1&+4x_2&-x_3&=2, \\ x_1&-2x_2&+3x_3&=1 \end \right. $$ может быть рассмотрена с двух точек зрения. С одной стороны, переписав систему в виде $$ x_1\left(\begin 3 \\ 1 \end \right)+ x_2\left(\begin 4 \\ -2 \end \right)+ x_3\left(\begin -1 \\ 3 \end \right)= \left(\begin 2 \\ 1 \end \right) \ , $$ можно говорить о поиске линейной комбинации столбцов $$ \left(\begin 3 \\ 1 \end \right),\ \left(\begin 4 \\ -2 \end \right),\ \left(\begin -1 \\ 3 \end \right) $$ равной заданному столбцу $$ \left(\begin 2 \\ 1 \end \right) \ . $$ В случае произвольной системы, записанной в матричном виде $$ A_X=\mathcal B_ \ $$ совместность системы интерпретировать в смысле принадлежности столбца $ \mathcal B $ линейной оболочке столбцов $ A_<[1]>,\dots,A_ <[n]>$: $$ \mathcal B=x_1 A_<[1]>+\dots+x_nA_ <[n]>\quad \iff \quad \mathcal B \in \mathcal L (A_<[1]>,\dots,A_<[n]>) \ . $$ В случае положительного ответа числа $ x_<1>,\dots,x_n $ интерпретируются как координаты столбца $ \mathcal B $ в системе столбцов 11) $ \,\dots,A_<[n]>\> $.

С другой стороны, к той же задаче решения системы уравнений, в предыдущем ПУНКТЕ мы подошли с другой стороны. Первое из уравнений системы $$ 3\,x_1+4\,x_2-x_3=2 $$ можно интерпретировать так: скалярное произведение векторов $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OX>> $ равно фиксированному числу $ 2_<> $. Здесь вектора рассматриваются в пространстве строк $ \mathbb R_<>^ <3>$; считается, что каждый вектор имеет начало в начале координат $ \mathbf O=[0,0,0] $, а конец — в точке с координатами $ [3,4,-1] $ или, соответственно, $ [x_1,x_2,x_3] $. Если скалярное произведение векторов обозначать скобками $ \langle <> \mbox < >\rangle $, то систему уравнений можно переписать в виде $$ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=2,\ \langle \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> ,\ \vec<<\mathbf OX>> \rangle=1 \quad npu \quad A^ <[1]>= [3,4,-1], A^<[2]>=[1,-2,3] $$ — строках матрицы $ A_<> $. И задачу решения такой системы понимать в смысле: найти координаты всех векторов-строк $ [x_1,x_2,x_3] $ которые обеспечат нам заданные значения скалярных произведений с двумя фиксированными векторами.

Геометрическая интерпретация еще более упрощается если рассмотреть случай однородной системы уравнений. Так, решить систему уравнений $$ \left\< \begin 3x_1&+4x_2&-x_3&=0, \\ x_1&-2x_2&+3x_3&=0 \end \right. $$ означает подобрать вектор $ \vec<<\mathbf OX>> $ перпендикулярный (ортогональный) одновременно обоим векторам $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> $. Очевидно, что таких векторов в $ \mathbb R^ <3>$ бесконечно много — найдя хотя бы один такой вектор $ \vec<<\mathbf OX>> $, другие получим его растяжением: $ \alpha \cdot \vec<<\mathbf OX>> $ остается перпендикулярным векторам $ \vec<<\mathbf OA>^<[1]>> $ и $ \vec<<\mathbf OA>^<[2]>> $ при $ \forall \alpha \in \mathbb R $.

Все эти геометрические соображения обобщаются в произвольное пространство $ \mathbb R_<>^ $ строк или столбцов, состоящих из $ n_<> $ вещественных чисел (компонент). Для этого приходится обобщать понятие скалярного произведения. В общем случае оно вводится аксиоматически (и, более того, в одном и том же множестве может быть определено разными способами, см. ☞ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ). Мы сейчас не будем залезать так глубоко в эту аксиоматику, а просто определим скалярное произведение двух строк $ X=[x_1,x_2,\dots,x_n] $ и $ Y=[y_1,y_2,\dots,y_n] $ формулой $$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ $$ и продекларируем без обоснований, что все привычные нам по случаям $ \mathbb R^ <2>$ и $ \mathbb R^ <3>$ свойства скалярного произведения будут выполнены.

В терминах скалярного произведения, задачу решения системы линейных уравнений можно переформулировать как поиск строки $ X=[x_1,x_2,\dots,x_n] $, ортогональной всем строкам матрицы $ A_<> $: $$ \langle A^<[1]>,X \rangle=0, \langle A^<[2]>,X \rangle=0,\dots, \langle A^<[m]>,X \rangle=0 \ . $$ Множество таких строк образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^ $, это подпространство является ортогональным дополнением линейной оболочки $ \mathcal L ( A^<[1]>, A^<[2]>,\dots, A^ <[m]>) $ в пространстве $ \mathbb R_<>^ $. Это подпространство называется нуль-пространством матрицы или ядром матрицы $ A_<> $ и обозначается 12) $ <\mathcal K>er (A) $. Фундаментальная система решений системы $ AX=\mathbb O $ составляет базис этого подпространства. Для произвольного линейного пространства количество векторов его базиса называется размерностью пространства и обозначается $ \operatorname $. Во введенных обозначениях теорема из ☞ ПУНКТА переформулируется так:

Теорема. $ \operatorname \left( <\mathcal K>er (A) \right)=n- \mathfrak r $, где $ n_<> $ — количество столбцов матрицы $ A_<> $, а $ \mathfrak r=\operatorname (A) $ — ее ранг.