Лекция № 13. Электрическое поле в вакууме. Электрический заряд
Лекция № 13. Электрическое поле в вакууме. Электрический заряд
1. Электрический заряд. Закон Кулона. 2. Напряжённость поля. Принцип суперпозиции полей. 3. Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса. 4. Работа по перемещению заряда в поле. Потенциал. 5.Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру. 6.Напряженность электрического поля как градиент потенциала.
Электрический заряд. Закон Кулона
В природе существует два вида электрических зарядов – положительные и отрицательные. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются. Электрический заряд дискретен, т. е. заряд каждого тела кратен некоторому элементарному заряду (
). В природе существуют положительно заряженные частицы (протон), отрицательно заряженные частицы (электрон) и частицы, не имеющие заряда (нейтрон), заряд отдельно от частицы не существует.
Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Закон Кулона (1785г.) – сила взаимодействия двух точечных зарядов, расположенных в вакууме, пропорциональна произведению зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами и направлена вдоль прямой, проходящей через центры зарядов. (Рис. 13.1)
, где 
, 
(13.1)
Если заряды находятся в однородной и изотропной среде, то закон Кулона имеет вид:
, (13.2)
где 
– диэлектрическая проницаемость среды.
М. Фарадей установил закон сохранения электрического заряда – алгебраическая сумма зарядов любой замкнутой системы остается величиной постоянной.
(13.3)
Напряжённость поля. Принцип суперпозиции полей
Электрические поля создаваемые неподвижными электрическими зарядами называются электростатическими полями.
Напряженностью электрического поля Е называется физическая величина численно равная силе F, действующей на положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.
, 
. Так для поля точечного заряда 
: 
(13.4)
Непрерывная линия, касательная к которой, в каждой точке совпадает с вектором напряженности электрического поля, называется силовой линией поля. (Рис. 13.2)
Если в каждой точке поля вектор напряженности остается величиной постоянной, то поле называется однородным. Силовые линии такого поля представляют собой эквидистантные, прямые, параллель —
Силовые линии электрического поля начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном заряде, для уединённого — уходят на бесконечность.
Если электрическое поле создается не одним, а несколькими зарядами (рис. 13.3),
то на основании принципа независимости действия сил 
используют принцип суперпозиции полей: напряженность результирующего электрического поля равна геометрической сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, т. е.
(13.6)
Поток вектора напряженности электростатического поля.
Для определения напряжённости заряженных тел (или распределённых зарядов) используется теорема Гаусса для потока вектора напряжённости через симметрично выбранную поверхность.
Потоком вектора напряженности 
через площадку 
называется величина
или 
(13.7)
Число линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора напряженности. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку 
, нормаль к
которой образует угол 
с вектором напряженности Е, будет равно 
(рис. 13.4).
Для произвольной поверхности S поток вектора напряженности 
определяется по формуле
, [Ф]= 
(13.8)
где интегрирование должно быть произведено по всей поверхности S.
Поток вектора напряженности величина скалярная. Знак потока зависит не только от электрического поля, но и выбора положительного направления нормали 
к поверхности. Как правило, за положительное направление нормали принимается направление внешней нормали к поверхности.
Расчет электрических полей значительно упрощается, если использовать теорему Гаусса, теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность.
В общем случае, когда замкнутая поверхность охватывает N электрических зарядов
. (13.9)
Формула (13.9) выражает теорему Гаусса – поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную
.
Используя выражения (13.8) и (13.9) получаются формулы, определяющие вектор напряжённости 
от заряженной сферической поверхности (рис.13.5)
.
.
Для равномерно заряженной плоскости
, где 
поверхностная плотность зарядов на бесконечной плоскости, при этом 
.
Поле у поверхности заряженного проводника
и 
,
Откуда, т. к. поля внутри проводника нет в электростатике, 
характеризует электрическое смещение.
Поле двух разноимённо заряженных пластин
.
Поле равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда 
и диэлектрической проницаемостью среды 
Работа по перемещению заряда в поле. Потенциал
Работа электрического поля, создаваемого точечным электрическим зарядом
, при перемещении заряда q из точки (1) в точку (2) (рис.13.6):
.(13.10)
, 
. (13.11)
Функция 
, определяемая выражением (13.11), называется потенциалом электрического поля в
данной точке. Тогда (13.10) примет вид
. (13.12)
Величину 
называют разностью потенциалов между двумя точками электрического поля. Если положим, что С = 0 в выражении (13.11) тогда потенциал точки, удаленной в бесконечность, будет равен нулю. В этом случае
. (13.13)
Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе, которую совершают силы поля при перемещении положительного единичного заряда из бесконечности в данную точку поля.
Геометрическое место точек, имеющих одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью.
Работа сил электрического поля на замкнутом пути 
равна нулю. Следовательно, электрическое поле является потенциальным, а электрические силы консервативны. Потенциальная энергия заряда в поле определяется по формуле
. (13.14)
Из данного выражения следует, что потенциал – энергетическая характеристика поля.
Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру
Циркуляцией вектора напряженности электрического поля называется:
.
Так как работа сил поля по замкнутому контуру в электростатике равна нулю, то
(13.15)
Равенство нулю этого интеграла говорит о том, что в природе существует два вида электрических зарядов, являющихся истоками и стоками электрического поля.
Напряженность электрического поля как градиент потенциала
Напряжённость и потенциал связаны следующим выражением:
(13.16)
Напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с противоположным знаком. Знак минус говорит о том, что напряженность поля всегда направлена в сторону убывания потенциала.
Для однородного электрического поля выражение (13.16) принимает вид
, (13.17)
где d – расстояние между двумя точками, 
– разность потенциалов между ними.
Для поля со сферической или цилиндрической симметрией выражение (13.17) имеет вид
. (13.18)
На рис. 13.7 приведены два семейства линий изображающих электростатическое поле, образованное положительным и отрицательным зарядами. Отражены характерные свойства линий: эквипотенциали и силовые линии в точке пересечения взаимно перпендикулярны; силовые линии между собой не пересекаются, исходят из положительных зарядов и входят в отрицательные заряды или уходят на бесконечность.