Система полевых уравнений магнитостатики в вакууме

ОСНОВЫ МАГНИТОСТАТИКИ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

1.1. Магнитное поле и его характеристики.@

Впервые магнитные явления были последовательно рассмотрены английским врачом и физиком Уильямом Гильбертом в его работе — «О магните, магнитных телах и о большом магните – Земле». Тогда казалось, что электричество и магнетизм не имеютничего общего. Лишь в начале XIX века датский ученый Г.Х.Эрстед выдвинул идею о том, что магнетизм может оказаться одной из скрытых форм электричества, что и подтвердил в 1820 г. на опыте. Этот опыт повлек за собой лавину новых открытий, имевших огромное значение.

Многочисленные опыты начала XIX века показали, что каждый проводник с током и постоянный магнит способны оказывать силовое воздействие через пространство на другие проводники с током или магниты. Это происходит из-за того, что вокруг проводников с током и магнитов возникает поле, которое было названо магнитным.

Для исследования магнитного поля применяют небольшую магнитную стрелку, подвешенную на нити или уравновешенную на острие (Рис.1.1). В каждой точке магнитного поля стрелка, расположенная произвольно, будет поворачиваться в определенном направлении. Это происходит из-за того, что в каждой точке магнитного поля на стрелку действует вращающий момент, который стремится расположить ее ось вдоль магнитного поля. Осью стрелки называется отрезок, соединяющий ее концы.

Рассмотрим ряд опытов, которые позволили установить основные свойства магнитного поля:

1. Если заряженный шарик из диэлектрика подвесить на нити вблизи магнитной стрелки, стрелка и шарик остаются неподвижными. Следовательно, постоянные магниты не действуют на неподвижные заряды и неподвижные заряды не создают магнитного поля.

2. Если магнитную стрелку поместить под прямолинейным проводником с током, то она будет поворачиваться, стремясь расположиться перпендикулярно проводнику (опыт Эрстеда). Смена направления тока на противоположное вызовет переориентацию стрелки на 180˚С.

3. Пучок движущихся электронов оказывает действие на магнитную стрелку аналогичное проводнику с током (опыт Иоффе).

4. Конвекционные токи, образуемые движущимися заряженными телами, по своему действию на магнитную стрелку подобны токам проводимости (опыт Эйхенвальда).

На основании данных опытов был сделан вывод о том, что магнитное поле создается только движущимися зарядами или движущимися заряженными телами, а также постоянными магнитами. Этим магнитное поле отличается от электрического поля, которое создается как движущимися, так и неподвижными зарядами и действует как на одни, так и на другие.

Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . За направление магнитной индукции в данной точке поля принимают направление, по которому в данной точке располагается ось магнитной стрелки от S к N (рис.1.1). Графически магнитные поля изображаются силовыми линиями магнитной индукции, то есть кривыми, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.

Эти силовые линии можно увидеть с помощью железных опилок: например, если рассыпать опилки вокруг длинного прямолинейного проводника и пропустить через него ток, то опилки поведут себя подобно маленьким магнитикам, располагаясь вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 1.2).

Как определить направление вектора около проводника с током? Это можно сделать с помощью правила правой руки, которое иллюстрируется рис. 1.2. Большой палец правой руки ориентируют в направлении тока, тогда остальные пальцы в согнутом положении указывают направление силовых линий магнитного поля. В случае, изображенном на рис.1.2, линии представляют собой концентрические окружности. Линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводник с током. Этим они отличаются от линий напряженности электрического поля, которые начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах, т.е разомкнуты. Линии магнитной индукции постоянного магнита выходят из одного полюса, называемого северным (N) и входят в другой — южный (S) (рис. 1.3а). Вначале кажется, что здесь наблюдается полная аналогия с линиями напряженности электрического поля Е, причем полюса магнитов играют роль магнитных зарядов. Однако если разрезать магнит, картина сохраняется, получаются более мелкие магниты со своими северными и южными полюсами, т.е. полюса разделить невозможно, потому что свободных магнитных зарядов, в отличие от электрических зарядов, в природе не существует. Было установлено, что внутри магнитов имеется магнитное поле и линии магнитной индукции этого поля являются продолжением линий магнитной индукции вне магнита, т.е. замыкают их. Подобно постоянному магниту магнитное поле соленоида – катушки из тонкой изолированной проволоки с длиной намного больше диаметра, по которой течет ток (рис.1.3б). Конец соленоида, из которого ток в витке виден идущим против часовой стрелки, совпадает с северным полюсом магнита, другой – с южным. Магнитная индукция в системе СИ измеряется в Н/(А∙м), этой величине присвоено специальное наименование – тесла [Tл].

Согласно предположению французского физика А.Ампера, намагниченное железо (в частности, стрелки компаса) содержит непрерывно движущиеся заряды, т.е. электрические токи в атомном масштабе. Такие микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах, существуют в любом теле. Эти микротоки создают свое магнитное поле и могут сами поворачиваться во внешних полях, создаваемых проводниками с током. Например, если вблизи какого-либо тела поместить проводник с током, то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. О природе и характере этих микротоков Ампер в то время ничего не мог сказать, так как учение о строении вещества находилось еще в самой начальной стадии. Гипотеза Ампера была блестяще подтверждена лишь спустя 100 лет, после открытия электрона и выяснения строения атомов и молекул.

Магнитные поля, существующие в природе, разнообразны по масштабам и по вызываемым эффектам. Магнитное поле Земли, образующее земную магнитосферу, простирается на расстоянии 70 – 80 тысяч км в направлении к Солнцу и на многие миллионы километров в обратном направлении. В околоземном пространстве магнитное поле образует магнитную ловушку для заряженных частиц высоких энергий. Происхождение магнитного поля Земли связывают с движениями проводящего жидкого вещества в земном ядре. Из других планет Солнечной системы лишь Юпитер и Сатурн обладают заметными магнитными полями. Магнитное поле Солнца играет важнейшую роль во всех происходящих на Солнце процессах – вспышках, появлении пятен и протуберанцев, рождении солнечных космических лучей.

Магнитное поле широко применяется в различных отраслях промышленности, в частности при очистке муки на хлебозаводах от металлических примесей. Специальные просеиватели муки снабжены магнитами, которые притягивают к себе мелкие кусочки железа и его соединений, которые могут содержаться в муке.

1.2. Закон Ампера.@

В 1820 г. А.Ампер установил, что сила, с которой магнитное поле действует на элементарный проводник с током I и длиной :

.

Вектор совпадает по направлению с током. Данная формула выражает закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины проводника и магнитной индукции поля.

Если поместить проводник с током между полюсов постоянного магнита, то сила Ампера будет действовать на него в направлении, показанном на рис. 1.4. Направление может быть найдено по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор был направлен в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отставленный под прямым углом большой палец укажет направление силы, действующей на элемент проводника с током (рис.4.5).

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

, где α –угол между векторами и . Чтобы найти силу, действующую на проводник конечной длины в магнитном поле, необходимо определить геометрическую сумму сил, действующих на все малые элементы данного проводника, т.е.

Пусть элемент проводника с током перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда sinα=1 и dF=IВ . Отсюда получаем

Последнее выражение помогает определить физический смысл величины В: магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны магнитного поля на 1 м проводника, по которому течет ток в 1 А и который расположен перпендикулярно направлению магнитного поля. Таким образом, магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля.

Из закона Ампера следует, что магнитные силы нецентральные, так как они направлены перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Напомним, что электростатические силы – центральные.

1.3. Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. @

Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику. Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей. Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями …, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех : . Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна: где – индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника. Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа,по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника. Вектор направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ₀/4π, где μ₀ — магнитная постоянная, равная 4π∙10 -7 Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8. Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к площади витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника. Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы от каждого элемента тока dℓ_i имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. При суммировании всех будет меняться угол α между r и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α:

По закону Био-Савара-Лапласа получим:

В данном выражении α₁ и α₂ — значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α₁ = 0, α₂ = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током:

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Магнитное поле соленоида. Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью. Обозначим через L длину соленоида, а через n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида В равна геометрической сумме магнитных индукций В_i полей всех его витков. Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода): В = μ₀nI.

1.4. Взаимодействие двух параллельных проводников с током. @

Законы Био – Савара – Лапласа и Ампера применяются для определения силы взаимодействия двух параллельных проводников с током. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных проводника с токами I1 и I2 , расстояние между которыми равно а. На рис. 1.10 проводники расположены перпендикулярно чертежу. Токи в них направлены одинаково (из-за чертежа на нас) и обозначены точками. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление определяется правилом правого винта, а его модуль по закону Био – Савара – Лапласа . Согласно проведенным выше расчетам модуль равен с Тогда, согласно закону Ампера, dF1=I2B1dl или и аналогично .

Направление силы , с которой поле действует на участок dℓ второго проводника с током I₂ (рис.1.10), определяется по правилу левой руки (см. разд. 1.2). Как видно из рис.1.10 и расчетов, силы одинаковы по модулю и противоположны по направлению. В нашем случае они направлены навстречу друг другу и проводники притягиваются. Если токи текут в противоположных направлениях, то возникающие между ними силы отталкивают проводники друг от друга. Итак, параллельные токи (одного направления) притягиваются, а антипараллельные ( противоположных направлений ) — отталкиваются. Для определения силы F, действующей на проводник конечной длины ℓ, необходимо проинтегрировать полученное равенство по ℓ от 0 до ℓ : При магнитном взаимодействии выполняется закон действия и противодействия, т.е. третий закон Ньютона:

.

1.5. Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. @

Как уже было отмечено, важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся электрические заряды. В результате опытов было установлено, что любая заряженная частица, движущаяся в магнитном поле, испытывает действие силы F, которая пропорциональна величине магнитного поля в этой точке. Направление этой силы всегда перпендикулярно скорости движения частицы и зависит от угла между направлениями . Эта сила называется силой Лоренца. Модуль данной силы равен где q – величина заряда; v – скорость его движения; – вектор магнитной индукции поля; α – угол между векторами и . В векторной форме выражение для силы Лоренца имеет вид .

Для случая когда скорость заряда перпендикулярна вектору магнитной индукции, направление данной силы определяется с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор входил в ладонь, а пальцы направить вдоль (для q>0), то отогнутый под прямым углом большой палец укажет направление силы Лоренца для q>0 (рис.1.11, а). Для q 2 , расположенную перпендикулярно магнитному полю, индукция которого равна 1Тл: 1Вб=1Тл∙1 м 2 .

Мы уже знаем, что силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл ∫ Вds по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Если имеется k токов, то создаваемый ими магнитный поток:

Здесь В_n — проекция В на нормаль к ds. Поскольку каждый интеграл по отдельности равен нулю, то и

вышеизложенное составляет суть теоремы Гаусса для потока магнитного поля Ф_m. Поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

1. 8. Рамка с током в однородном магнитном поле. @

При исследовании магнитного поля часто используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих данное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру (рис.1.14). Нормаль строится по правилу правого винта: если головку винта вращать в направлении тока, то движение его острия совпадает с направлением n. На каждый элемент тока в рамке действует сила Ампера, и под действием этой силы магнитное поле поворачивает рамку таким образом, чтобы нормаль к ней располагалась вдоль линий магнитной индукции В. Кстати, так же располагается и стрелка компаса (рис.1.15). Рассчитаем силы, действующие на каждую из четырех сторон рамки. Для простоты будем считать, что стороны в и d перпендикулярны В (рис.1.16 а). Силы и , приложенные к проводникам а и с, численно равны и направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому они полностью уравновешивают друг друга: F₂ =F₄=IaB.

Силы и , действующие на прямолинейные проводники в и d, направлены перпендикулярно плоскости рисунка в противоположные стороны (на рис.4.16 б показан вид рамки сверху) и по закону Ампера численно равны: Силы и создают вращающий момент , который поворачивает рамку. Модуль этого вектора М = 2F₁l, где l =аsinβ (β – угол между направлением магнитной индукции поля В и нормалью к рамке). Воспользовавшись вышеприведенным выражением для силы F₁, получим М = 2Ia Вsinβ = ISBsinβ, где S = ab- площадь рамки.

Данную формулу можно преобразовать, введя понятие магнитного момента рамки с током (или контура с током).

Магнитным моментом плоского замкнутого кон тура с током I называется вектор , где S – площадь поверхности, ограниченной контуром (ее называют также поверхностью, натянутой на контур); – единичный вектор нормали к плоскости контура.

Векторы направлены перпендикулярно плоскости контура так, что из их концов ток в контуре виден идущим против часовой стрелки (рис.1.17). Для момента сил получаем , модуль момента сил будет равен М = рmBsinβ .

Действие магнитного поля на рамку с током широко применяется в электроизмерительных приборах. Работа любого прибора магнитоэлектрической системы (например, зеркального гальванометра) основана на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита и рамки с током. Как известно, в данном случае возникает вращающий момент, который будет поворачивать рамку. Угол поворота рамки и связанные с ним показания шкалы прибора будут зависеть от силы тока в рамке. Такие гальванометры могут измерять постоянные токи порядка 10-11 А.

2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. @

2.1. Магнитные моменты атомов. @

Для полного описания атома необходимы знания квантовой механики, которую мы будем изучать позднее. Однако магнитные свойства вещества хорошо объясняются с помощью простой и наглядной планетарной модели атома, предложенной Э.Резерфордом. По Резерфорду атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого по своим орбитам движутся отрицательно заряженные электроны. В целом система электрически нейтральна, так как заряд ядра равен суммарному заряду всех электронов в атоме. Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым круговым орбитам с постоянной скоростью, образуя систему замкнутых орбитальных токов. Данные токи называются токами Ампера, поскольку Ампер впервые сделал предположение об их существовании. Каких магнитных эффектов можно ожидать в такой системе?

Орбитальному току так же, как и в случае витка и рамки с током, соответствует магнитный момент , называемый орбитальным магнитным моментом электрона. Он направлен из центра орбиты электрона перпендикулярно ее плоскости (как и магнитный момент витка с током), а его модуль рm= IS = Iπr 2 , где r — радиус орбиты электрона; S – площадь орбиты. Если электрон движется по круговой орбите со скоростью υ (рис. 2.1), то сила орбитального тока I=q/t=e/Teν, где T – время одного оборота электрона по орбите, т.е. период; ν – частота вращения электрона по орбите, т.е. число оборотов электрона вокруг ядра за 1 с. Отсюда получаем , откуда и

Равномерно вращаясь по своей орбите, электрон обладает механическим моментом импульса Le, определяемым относительно центра его орбиты (рис. 2.1). Такой момент импульса называется орбитальным. По определению . Численное значение орбитального момента импульса: Le= mυr sin(υ,r) = mυr, так как угол между векторами равен 90°. Вектор Le противоположен по направлению рm, поскольку скорость электрона и ток имеют противоположное направление, однако эти векторы лежат на одной прямой. Поэтому можно записать

Минус в формуле появляется из-за того, что векторы противоположны. Величина γ называется гиромагнитным или магнитомеханическим отношением орбитальных моментов электрона. Это отношение одинаково для любых по форме и размеру орбит и любых скоростей движения электрона. Однако опыты Эйнштейна и де Гааза, проведенные с железными стержнями, привели к неожиданным результатам. Определенное ими экспериментально гиромагнитное отношение оказалось в два раза больше теоретического! Этот результат имел огромное значение для всего дальнейшего развития физики. Для его объяснения было предположено (а затем и доказано), что электрон кроме обладает собственным моментом импульса, который не имеет ничего общего с его движением по орбите. Этот собственный момент импульса был назван спином электрона (от англ. spin — вращаться). Спин электрона является его квантовым свойством, он неизменен, и с ним связаны многие важные закономерности, например распределение электронов в атоме по оболочкам. Спину соответствует собственный магнитный момент электрона, также имеющий неизменную величину. Векторы магнитного и спинового моментов антипараллельны, как показано на рис.2.2., а отношение их оказывается в два раза больше, чем в случае движения электрона по орбите, т.е. γ_s= -e/m.

Что касается магнитного момента самого ядра, то в большинстве случаев им можно пренебречь, потому что, благодаря своей значительной массе, ядро движется гораздо медленнее электрона, и его магнитный момент в тысячи раз меньше, чем у электрона. Для атома, содержащего больше одного электрона, орбитальным магнитным моментом называется вектор, равный геометрической сумме орбитальных магнитных моментов всех электронов в атоме: . Полный магнитный момент атома складывается из геометрической суммы орбитальных и спиновых моментов всех электронов в атоме:

2.2. Атом в магнитном поле. @

Рассмотрим влияние внешнего магнитного поля на движение электронов в атомах вещества. При внесении атома любого вещества в магнитное поле каждый электрон продолжает двигаться по своей орбите, образуя орбитальный ток. Однако теперь на этот ток, как на рамку с током, действует вращательный момент. Это приводит к тому, что электронная орбита приобретает дополнительное вращение. Частота данного вращения зависит только от величины приложенного поля и отношения заряда электрона к его массе: Отсюда следует, что под влиянием внешнего магнитного поля связанные с электронной орбитой векторы вращаются с той же самой угловой частотой ω_L. При этом они описывают круговые конические поверхности с общей вершиной в центре орбиты электрона О вокруг оси, параллельной направлению индукции магнитного поля В (рис.2.3). Частота ω_L называется Ларморовой частотой, а возникающее под действием поля дополнительное движение орбиты электрона называется Ларморовой прецессией.

Все вышеизложенное составляет суть теоремы Лармора: единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и магнитного момента электрона с угловой скоростью ω_Lвокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору В. Сэр Джозеф Лармор, английский физик и математик, доказал эту теорему в 1895 г., еще до того, как стало известно строение атома. Ларморова частота ω_L одинакова для всех электронов, входящих в атом.

Дополнительное движение электронной орбиты обуславливает дополнительное движение электрона, которому соответствует дополнительный круговой ток, направленный в другую сторону по сравнению с орбитальным током(рис. 2.4):

Этот ток создает свой магнитный момент . Дополнительный магнитный момент направлен в сторону, противоположную магнитному полю. Он называетсяиндуцированным, или наведенным магнитным моментом. Среднее значение дополнительного магнитного момента:

Знак «минус» указывает на то, что векторы и противоположны. Так как электронные микротоки существуют в каждом веществе, то Ларморова прецессия возникает у всех без исключения веществ.

2.3. Намагниченность вещества. @

Ранее мы предполагали, что провода, несущие ток и создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если же провода находятся в какой-либо среде, то величина создаваемого ими магнитного поля изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество, всякая среда способна под действием магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться. Поэтому каждое вещество является магнетиком. Благодаря орбитальным магнитным моментам электронов в атомах, вещество создает свое собственное магнитное поле , которое накладывается на внешнее поле . Согласно принципу суперпозиции полей оба поля в сумме дают результирующее поле:

Это усредненное (макроскопическое) поле, действующее в веществе.

Если внешнее поле отсутствует ( = 0), то молекулярные токи чаще всего ориентированы беспорядочным образом, ориентация магнитных моментов отдельных молекул хаотична, и поэтому создаваемое ими собственное поле также равно нулю. Под действием внешнего поля ( ≠ 0) магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего суммарный магнитный момент уже не равен нулю, и магнетик намагничивается, возникает поле . Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина — намагниченность J, равная отношению магнитного момента некоторого малого объема вещества к этому объему. Другими словами, намагниченность — это магнитный момент единицы объема вещества:

Полученный нами ранее закон полного тока для магнитного поля в вакууме легко обобщить на случай магнитного поля в веществе. В вакууме поля создаются обычными токами проводимости — макротоками, а в веществе – макротоками и микротоками (токами Ампера). Следовательно, для поля в веществе мы можем записать

где I_макро и I_микро – это алгебраические суммы соответствующих токов, охватываемых замкнутым контуром L. В алгебраическую сумму молекулярных токов входят токи, “нанизанные” на контур, как бусы на нитку (рис.2.5). По рисунку это токи 1 и 2. Прочие токи либо не пересекают поверхность совсем (ток 4), либо пересекают ее дважды – сначала в одном направлении, затем в противоположном (ток 3). Результирующий вклад таких токов равен нулю.

Расчет показал, что сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вектора намагниченности вдоль этого контура:

Теперь выражение для вектора циркуляции магнитной индукции можно переписать в другом виде:

Разделим обе части равенства на μ₀ : . Отсюда, объединив интегралы, получим

Вектор обозначается буквой и называется напряженностью магнитного поля.

Итак, мы получили . Это уравнение является обобщенным законом полного тока для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме всех токов сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Напряженность магнитного поля является аналогом электрического смещения .

В несильных магнитных полях, согласно опытным данным, намагниченность вещества прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего это намагничивание:

где χ – безразмерная, характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью.Она может принимать для различных веществ как положительные, так и отрицательные значения. Распишем подробнее выражение для напряженности магнитного поля

, отсюда Величина (1+ χ) также безразмерна, обозначается буквой μ и называется относительной магнитной проницаемостьюили просто магнитной проницаемостью вещества. Итак, т.е. модуль Н в μμ₀ раз меньше модуля В. Для вакуумамагнитная проницаемость μ=1, поэтому то есть напряженность магнитного поля характеризует магнитное поле в вакууме подобно величине B₀.

Горные породы земной поверхности по-разному намагничиваются в магнитном поле Земли. Это приводит к возникновению так называемых магнитных аномалий — областей, для которых наблюдаются отклонения векторов напряженности магнитного поля в данном месте земной поверхности от нормальных значений. Магнитные аномалии используются при поисках многих полезных ископаемых, прежде всего сильномагнитных, а также для составления геологических карт. При поиске и разведке месторождений полезных ископаемых применяется метод разведочной геофизики — магнитная разведка. Метод основан на различии магнитных свойств горных пород. На различии магнитной восприимчивости разных веществ (компонентов руды) основан способ обогащения полезных ископаемых, который называется методом магнитной сепарации. Это основной способ обогащения железных руд.

2.4. Виды магнетиков. @

Проведем опыт с сильным магнитным полем, создаваемым, например, соленоидом. Соленоид (цилиндр с намотанным на него проводом, по которой течет ток) может создать внутри себя магнитное поле в 100000 раз больше магнитного поля Земли. Будем помещать в такое магнитное поле различные вещества и наблюдать, как действует на них сила магнитного поля. Качественные результаты подобных опытов получаются довольно разнообразными.

· Первую группу составляют вещества, которые слабо отталкиваются полем нашего магнита. Это вода, медь, свинец, хлористый натрий, кварц, сера, алмаз, графит, жидкий азот и еще большой ряд веществ. Они называются диамагнетиками. Ими являются большинство неорганических и почти все органические соединения. Оказывается, диамагнетизм — универсальное свойство каждого атома, но иногда над диамагнетизмом преобладают другие, более сильные явления.

· Вторая группа – это вещества, втягивающиеся в соленоид. К ним относятся, например, натрий, алюминий, жидкий кислород. Жидкий кислород ведет себя в этом эксперименте весьма эффектно – он втягивается в катушку с силой, превышающей его вес приблизительно в 8 раз! Такие вещества называются парамагнетиками. Для некоторых веществ парамагнитный эффект проявляется слабее (алюминий, натрий) а для некоторых – сильнее (жидкий кислород). Эффект увеличивается с понижением температуры.

· Железо, кобальт, никель, железосодержащие сплавы втягиваются в область магнитного поля с очень большой силой. На кусочек железа массой 1 г со стороны поля действует сила

40000 Н! Такие вещества называются ферромагнетиками. Рассмотрим каждую из трех групп более подробно.

2.5. Диамагнетизм. Диамагнетики. @

К диамагнетикам относятся такие вещества, у которых магнитный момент атома или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю:

Магнитные моменты электронов в таких атомах в отсутствие внешнего магнитного поля взаимно скомпенсированы. Это характерно для атомов и молекул с полностью заполненными электронными оболочками, например для атомов инертных газов, молекул водорода, азота. При внесении такого вещества в магнитное поле его атомы и молекулы, согласно теореме Лармора, приобретают наведенные магнитные моменты , направленные для всех атомов и молекул одинаково против поля. Таким образом, вещество приобретает незначительную намагниченность, направленную против поля, вследствие чего диамагнетик выталкивается из неоднородного магнитного поля в направлении уменьшения напряженности поля. Для диамагнетиков χ отрицательна и очень мала, порядка

10 -6 . Магнитная восприимчивость μ=(1+χ) соответственно больше нуля и меньше единицы.

Для диамагнитных веществ существует линейная зависимость намагниченности от величины напряженности внешнего поля:

Данная зависимость изображена на рис.2.6.

Итак, диамагнитные вещества намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции. Это свойство называется диамагнетизмом (диамагнитным эффектом). Характерно то, что диамагнетизм не зависит от температуры. Данное свойство присуще не только диамагнетикам, но и всем без исключения веществам, однако у пара- и ферромагнетиков диамагнетизм незаметен из-за наличия у них более сильных эффектов.

2.6. Парамагнетизм. Парамагнетики. @

К парамагнетикам относятся вещества, у которых магнитный моментатомов или молекул отличен от нуля в отсутствие внешнего магнитного поля:

Поэтому парамагнетики при внесении их во внешнее магнитное поле намагничиваются в направлении поля. В отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как из-за теплового движения все магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно, и поэтому намагниченность равна нулю (рис.2.7 а). При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (рис.2.7 б). Полной ориентации препятствует тепловое движение атомов, которое стремится разбросать моменты. В результате такой преимущественной ориентации парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, которое, накладываясь на внешнее, усиливает его. Этот эффект называется парамагнитным эффектом или парамагнетизмом.

У парамагнетиков также наблюдаются Ларморова прецессия и диамагнитный эффект, как и во всех веществах. Но диамагнитный эффект слабее парамагнитного и подавляется им, оставаясь незаметным. Для парамагнетиков χ тоже невелика, но положительна, порядка

10 -7 –10 -4 , а значит, μ немногим больше единицы.

Так же, как и для диамагнетиков, зависимость магнитной восприимчивости парамагнетиков от внешнего поля линейная (рис.5.8).

Преимущественная ориентация магнитных моментов по полю зависит от температуры. С ростом температуры усиливается тепловое движение атомов, следовательно, ориентация в одном направлении становится затруднена и намагниченность уменьшается. Французский физик П.Кюри установил следующую закономерность: где С – это постоянная Кюри, зависящая от рода вещества. Классическая теория парамагнетизма была развита в 1905 г. П. Ланжевеном.

2.7. Ферромагнетизм. Ферромагнетики. @

Вещества, образующие третью группу и называемые ферромагнетиками, представляют наибольший интерес для науки и техники. Явление ферромагнетизма известно человечеству уже более трех тысячелетий, а первые упоминания о ферромагнитных материалах встречаются в древних китайских рукописях, относящихся к 1110 г. до нашей эры. Там говорится о том, что при дворе китайского императора мастера умели строить магнитные дорожные колесницы. На колеснице находилась деревянная фигурка, вытянутая рука которой всегда указывала на юг, не давая путешественнику сбиться с пути. По сути дела, колесница представляла собой магнитный компас оригинальной конструкции. Известно, что в Древней Греции и Древнем Риме опыты с магнитом показывались фокусниками на базарах и празднествах. Огромное впечатление производил на зрителей такой опыт: медную чашу наполняли железными опилками, затем внизу водили куском магнита – опилки приходили в движение, вздымались и двигались. Этот опыт превосходно описан великим римским ученым Лукрецием Каром в его поэме «О природе вещей»:

Дата добавления: 2015-08-01 ; просмотров: 2057 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Система полевых уравнений магнитостатики в вакууме

где μ₀ = 4p·10 -7 Гн/м — магнитная постоянная.

Формула (3.6.1) записана в системе СИ. Это соотношение было установлено в 1820 г. Андре Ампером и носит название закона Ампера.

С помощью формулы (3.6.1) устанавливается единица силы тока в системе СИ: 1 А определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2·10 -7 Н на каждый метр длины.

Взаимодействие токов осуществляется посредством поля, которое называется магнитным . Для исследований магнитного поля применяют пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентацию контура в пространстве характеризует вектор нормали к его плоскости, причем положительным считают направление нормали, связанное с направлением тока по правилу правого винта (Рис. 3.6.1).

Рис. 3.6.1. Пробный контур

Если внести пробный контур в магнитное поле, то обнаружится, что поле оказывает на контур ориентирующее действие, поворачивая его в определенном направлении. Это направление и принимают за направление магнитного поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращающий момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина этого момента зависит от угла a между нормалью и направлением тока, достигая наибольшего значения М_макс при α=90°, и обращается в нуль при α=0°.

Введем магнитный момент контура:

где S — площадь контура.

Тогда, исходя из опыта, можно записать:

где для количественной характеристики магнитного поля введена физическая величина, называемая магнитной индукцией .

Соотношение (3.6.3) определяет модуль вектора В. Следовательно, выполняется:

Направление вектора совпадает с направлением нормали к пробному контуру. Поле этого вектора наглядно представляют с помощью линий магнитной индукции.

Из сказанного следует, что вектор характеризует силовое действие магнитного поля.

3.6.2. Закон Био-Савара-Лапласа.
Магнитные поля прямого и кругового токов

Для расчета магнитной индукции поля в результате обобщения экспериментальных данных Био и Савара Лаплас предложил формулу:

где i — сила тока, — вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный так же, как и ток, — вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, где производится наблюдение поля (Рис. 3.6.2).

Рис. 3.6.2. К закону Био-Савара-Лапласа

Направление вектора задается векторным произведением в (3.6.5), т.е. этот вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и , причем так, что, если смотреть из конца вектора , то поворот от вектора к производится против часовой стрелки. Единицей магнитной индукции в СИ является 1 Тл (Тесла).

Модуль вектора можно вычислить с помощью формулы:

где α — угол между векторами и .

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 3.6.3).

Рис. 3.6.3. К расчету магнитного поля бесконечного прямого проводника

Все векторы в данной точке имеют одинаковое направление (перпендикулярно плоскости чертежа и за него).

Поэтому сложение этих векторов можно заменить сложением их модулей. Пусть точка, для которой вычисляется поле, находится на расстоянии b от проводника. Из Рис. 3.6.3 ясно, что:

Подставим этот результат в формулу (3.6.6):

Угол α изменяется от 0 до π. Следовательно, получим:

Линии магнитной индукции поля прямого проводника представляют собой систему концентрических окружностей (Рис. 3.6.4).

Рис. 3.6.4. Магнитное поле прямого проводника

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по проводнику в виде окружности радиуса R (Рис. 3.6.5).

Рис. 3.6.5. К расчету поля кругового тока

Найдем магнитную индукцию в центре окружности. Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Ее направление определяется по правилу правого винта. Поэтому вычисление магнитной индукции сводится к сложению модулей. Поскольку α = π/2, то из формулы (3.6.6) следует:

Интегрируя (3.6.10) по всему контуру, получим:

Найдем магнитную индукцию на оси кругового тока, на расстоянии х от плоскости, в которой лежит контур (Рис. 3.6.6).

Рис. 3.6.6. Магнитное поле на оси кругового тока

Векторы перпендикулярны к плоскостям, проходящим через векторы и . Следовательно, они образуют симметричный конус. Ясно, что результирующий вектор должен быть направлен по оси контура. Каждый из векторов вносит вклад , который по модулю равен:

Угол между векторами и — прямой, поэтому выполняется:

Интегрируя по всему контуру с током и учитывая, что , получим:

При х = 0 эта формула переходит в (3.6.11) для индукции магнитного поля в центре кругового тока.

3.6.3. Магнитное поле в веществе

Если несущие ток проводники находятся в какой-либо среде, магнитное поле заметно изменится. Это объясняется тем, что любое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле ´, которое складывается с полем, обусловленным токами ₀. Оба поля в сумме дают результирующее усредненное (макроскопическое) поле в среде:

Для объяснения явления намагничивания тел Ампер предположил, что в атомах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего их результирующее магнитное поле равно нулю. Под действием поля магнитные моменты атомов приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается. — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Возникает поле ´.

Намагниченность вещества характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагниченности . В общем случае имеем:

где ΔV — физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, — магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме ΔV.

Найдем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность:

Опыт показывает, что линии магнитного поля, в отличие от линий напряженности электрического поля, всегда замкнуты. Поэтому интеграл в (3.6.17) должен быть равен нулю, поскольку каждая из линий магнитной индукции пересекает замкнутую поверхность четное число раз — входит в поверхность столько же раз, сколько и выходит. Следовательно, выполняется:

Это равенство выражает теорему Гаусса для вектора магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю .

Для описания магнитных свойств магнетиков удобно использовать вспомогательную величину — напряженность магнитного поля :

Единица измерения в СИ — 1 А/м. Величина напряженности магнитного поля зависит только от суммы макроскопических токов и не зависит от молекулярных токов. В свою очередь, намагниченность зависит только от суммы молекулярных токов. Как показывает опыт, намагниченность пропорциональна величине напряженности магнитного поля:

где χ — материальная характеристика способности тел намагничиваться, называемая магнитной восприимчивостью .

Подставляя (3.6.20) в (3.6.19), получим:

где μ = 1 + χ — магнитная проницаемость вещества.

Из (3.6.21) получается простое соотношение:

которое называют материальным уравнением магнитостатики.

Для вакуума χ = 0, μ = 1, и уравнение (3.6.22) будет иметь вид:

Как в уравнении (3.6.22), так и в уравнении (3.6.23) поле имеет смысл внешнего магнитного поля. Перепишем (3.6.19) в виде:

Сравнивая (3.6.24) с (3.6.15), с учетом (3.6.23) имеем:

Подставляя (3.6.23) в (3.6.21), имеем:

Отсюда следует важный вывод: относительная магнитная проницаемость показывает, во сколько раз усиливается магнитное поле в магнетике по сравнению с вакуумом.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Основы и формулы магнитостатики

Вы будете перенаправлены на Автор24

Магнетизм – это раздел физики, который рассматривает взаимодействие между электрическими токами, между магнитами и токами, а также между магнитами.

Магнетизм долгое время считался независимой наукой от электричества. Но множество важнейших открытий Ампера и Фарадея доказали связь магнитных и электрических явлений. Благодаря этому учения о магнетизме стали составной частью науки об электричестве.

Основы магнитостатики: магнитное поле и его характеристики

Магнитостатика – это раздел классической электродинамики, который рассматривает взаимодействие постоянных электрических токов при помощи создаваемого ими постоянного магнитного поля, а также методы расчета магнитного поля.

Под случаем магнитостатики понимается выполнение определенных условий (постоянство полей и электрических токов или медленное изменение во времени) с целью использования методов магнитостатики в качестве точных.

Вместе с электростатикой магнитостатика представляют собой случай классической электродинамики. Их можно применять вместе или отдельно друг от друга – расчет магнитного и электрического полей в данном случае не имеет взаимозависимостей.

Магнитное поле исследовалось в течение нескольких столетий. Впервые магнитные явления были рассмотрены английским врачом Уильямом Гильбертом. Тогда считали, что электричество и магнетизм не имеют ничего общего. И лишь в начале XIX столетия было предположено, что магнетизм – это скрытая форма электричества. И только в 1820 году датский ученый Эрстед подтвердил это на опыте. После этого опыта было множество открытий, которые имели для физики огромное значение.

В начале XIX столетия было проведено множество опытов, в результате которых доказали, что постоянный магнит и любой проводник с электрическим током оказывают силовое воздействие на другие магниты и проводники с током через пространство.

Готовые работы на аналогичную тему

Для того чтобы исследовать магнитное поле применяли магнитную стрелку, которая подвешивалась на нить или уравновешивалась на острие. Стрелка, что была расположена произвольно, в каждой точке магнитного поля поворачивалась в определенном направлении. То происходило из-за того, что на стрелку действовал вращающий момент, который стремился расположить ее вдоль магнитного поля.

Благодаря целому ряду опытом удалось установить основные свойства магнитного поля. Вот некоторые из них:

1. Если подвесить на нити вблизи магнитной стрелки заряженный шарик из диэлектрика, то стрелка и шарик оставались неподвижными. Исходя из этого, был сделан вывод, что постоянные магниты не воздействуют на неподвижные заряды, и они не создают магнитного поля.
2. Если под прямоугольным проводником с током поместить магнитную стрелку, то она будет поворачиваться в таком направлении, чтобы расположиться перпендикулярно проводнику. Этот эксперимент был назван опытом Эрстеда. Как только менялось направление тока на противоположное, то это вызывало переориентацию магнитной стрелки на 180 градусов.
3. Пучок подвижных электронов оказывал воздействие на магнитную стрелку, что было аналогично проводнику с электрическим током. Этот эксперимент получил название опыт Иоффе.
4. Конфекционные токи, которые были образованы движущимися заряженными телами, по своему воздействию на магнитную стрелку были идентичны токам проводимости. Это опыт Эйхенвальда.

На основании всех вышеперечисленных экспериментов был сделан вывод, что магнитное поле формируется только при помощи движущихся зарядов или движущихся заряженных тел, а также при помощи постоянных магнитов. Именно этим магнитное поле и отличалось от электрического, которое может формироваться как движущимися, так и неподвижными зарядами.

Вектор магнитной индукции является основной характеристикой магнитного поля. В данной точке поля за направление магнитной индукции принимают такое направление, по которому располагается ось магнитной стрелки. Магнитные поля графически изображаются силовыми линиями магнитной индукции. Данные линии можно увидеть при помощи железных опилок. Если рассыпать опилки вокруг прямолинейного проводника и пропустить электрический ток, то они будут как маленькие магнитики, которые будут располагаться вдоль силовых линий магнитного поля.

Магнитные поля, которые существуют в природе, разнообразны по вызываемым эффектам и масштабам. Магнитное поле Земли, которое образует земную магнитосферу, простирается на 80 тысяч километров по направлению к Солнцу. Магнитное поле в околоземном пространстве формирует магнитную ловушку для заряженных частиц с высокими энергиями. Происхождение магнитного поля Земли также связывают с движениями жидкого вещества, что располагается в земном ядре. Из других планет солнечной системы лишь Сатурн и Юпитер обладают магнитными полями. Магнитное поле Солнца играет важную роль во всех происходящих процессах – появлении пятен, вспышек, возникновении солнечных космических лучей.

Во многих отраслях промышленности активно применяется магнитное поле. В частности, при очистке муки от металлических примесей. Просеиватели оснащены магнитами, которые задерживают мелкие частички железа, а также других металлических соединений, что могут находиться в муке.

Основные уравнения магнитостатики

Практически все уравнения магнитостатики линейные, впрочем, как и в классической электродинамике. Все это подразумевает значимую роль принципа суперпозиции в магнитостатике.

Для магнитостатики принцип суперпозиции может быть сформулирован следующим образом: магнитное поле, которое создается несколькими токами, — это векторная сумма полей, которые бы формировались каждым из этих токов в отдельности.

Этот принцип так же формируется и используется для вектора магнитной индукции, а также для векторного потенциала, и повсеместно применяется в их расчетах. Прямым образом это проявляется в случае с применяемым законом Био-Савара. Тут для расчета магнитного поля осуществляется суммирование малых вкладов, которые создаются каждым элементом тока, что протекает в разных точках пространства.

Итак, к основным уравнениям, что используются в магнитостатике, можно отнести:

Закон Био-Савара – Лапласа (тут учитывается величина магнитного поля, которое генерируется элементом тока):

$int \vec \vecl = \frac <4 pi> I = \frac<4 pi>int \vec\vecS $

Это же уравнение можно выразить в дифференциальной форме:

Уравнение силы Лоренца (силы, с которой магнитное поле действует на движение заряженной частицы):

Уравнение силы ампера (силы, с которой магнитное поле действует на элемент тока):

Для того чтобы рассчитать магнитное поле в магнитостатике пользуются понятием магнитного заряда. Он делает аналогию магнитостатики и электростатики более детальной, и позволяет применять те формулы, которые аналогичны формулам электростатики (но не для электрического, а для магнитного поля). Обычно подразумевается лишь формальное использование, поскольку магнитные заряды в реальности не обнаружены. Такое применение магнитных зарядов возможно при использовании теоремы эквивалентности поля магнитных зарядов и поля токов. Фиктивные магнитные заряды используются при решении задач (в качестве магнитного поля или для определения действий внешних магнитных полей на магнитное тело).