Уравнения Максвелла. Электромагнитное поле.
Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из новых важнейших идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dΒ/dt) создает электрическое поле (см. (2.11.6)), следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dΕ/dt) создает магнитное поле.
К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следующих рассуждений. Мы знаем, что согласно теореме о циркуляции вектора 
( 2.12.1 )
Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. a). В качестве контура Г, по которому определяем циркуляцию , возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например S и S’. Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверхность S’ не течет никакого тока. Получается, что циркуляция вектора зависит от того, какую поверхность мы натягиваем на данный контур, чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не происходило).
А нельзя ли как-то изменить правую часть (2.12.1), чтобы избежать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как.
Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность S’ «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора 
сквозь замкнутую поверхность 
= q, откуда
(2.12.2)
С другой стороны, согласно уравнению непрерывности
(2.12.3)
Сложив по отдельности левые и правые части уравнений (2.12.2) и (2.12.3), получим
(2.12.4)
Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока. Из него видно, что кроме плотности тока проводимости 
имеется еще одно слагаемое 
/dt, размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностьютока смещения:
. (2.12.5)
Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полнымтоком. Его плотность
. (2.12.6)
Согласно (2.12.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.
Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (2.12.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. величину
(2.12.7)
В самом деле, правая часть (2.12.7) представляет собой сумму тока проводимости I и тока смещения Iсм: Iполн = I + Iсм. Покажем, что полный ток Iполн будет одинаков и для поверхности S, и для поверхности S’, натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (2.12.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей S и S’ (рис. б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль n направлена наружу, запишем
Теперь, если обернуть нормаль n’ для поверхности S’ в ту же сторону, что и для S, то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак, и мы получим
что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора , которая была установлена для постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и записать
. (2.12.8)
В таком виде теорема о циркуляции вектора справедлива всегда, свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами опыта во всех без исключения случаях.
Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.
В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Так как вектор 
, то отсюда видно, что плотность тока смещения 
складывается из «истинного» тока смещения 
и тока поляризации 
— величины, обусловленной движением связанных зарядов. В том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токи по природе своей не отличаются от токов проводимости, так как связаны с движением зарядов. Принципиально новое содержится в утверждении, что и другая часть тока смещения 
), которая не связана ни с каким движением зарядов, а обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле.
Открытие этого явления — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие Максвеллом тока смещения — чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.
Уравнения Максвелла в интегральной форме.
С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения 
позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.
До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемыхуравнениями Максвелла внеподвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе). В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:
(2.12.9)
где ρ 
— объемная плотность сторонних зарядов, — плотность тока проводимости.
Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.
Содержание этих уравнений заключается в следующем:
1. Циркуляция вектора 
по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего, как известно, равна нулю).
2. Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
3. Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора 
сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов и следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.
Если же поля стационарны ( = const и = const), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:
(2.12.10)
В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, что и позволило нам изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле.
Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых можно придти к уравнениям Максвелла, ни в коей мере не могут претендовать наих доказательство. Эти уравнения нельзя «вывести», они являются основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученными путем обобщения опытных фактов. Эти постулаты играют в электродинамике такую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики.
Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно.В этих уравнениях содержатся и граничные условия, которые имеют уже знакомый нам вид:
(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости). Заметим также, что приведенные граничные условия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей.
Материальные уравнения. Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.
Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называютматериальными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения достаточно сложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям Максвелла.
Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком):
=εε0 , =μμ0 , = 
( + *), (2.12.12)
где ε, μ, 
— известные нам постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и удельное сопротивление). * — напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическими или тепловыми процессами.
Свойства уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей и по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски-инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.
О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где плотность зарядов и плотность тока проводимости равны нулю, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид:
(2.12.13)
Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными d /dt и . Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля , образуют с вектором 
левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором правовинтовую систему (см. рисунок).
Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света c.
Выяснилось также, что ток смещения ( ) играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться ‑ электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства.
Энергия электромагнитного поля.
Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т.е. нет явления гистерезиса) и отсутствуют токи проводимости, то плотность энергии электромагнитного поля (в соответствии с (2.6.10) и (2.11.19)) будет определяться по формуле
. ( 2.12.14 )
Н.А. Тимохова 10 страница
Читайте также:
|
, 
, 
, 
0. 
, 
; 
, 
. Если взять медный провод диаметром 2d той же длины l и увеличить напряжение в 4 раза, то средняя скорость направленного движения электронов вдоль проводника …
-компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3), равна … 
и координаты точки А и заданы в единицах СИ.)
и отпустили. В начальный момент времени угловое ускорение диска равно _______ 
-функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон в интервале от 
до 
равна … 
мТл, то ЭДС индукции, возникающая в контуре в момент времени 
(в мВ), равна …
и 
. 
заключается в следующем …
раз ( 
). Работа газа (в Дж) равна …
, 
На рисунке схематически представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла) для этих газов, где 
– доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от 
до 
в расчете на единицу этого интервала: 
-мезона. 
наблюдается испускание дейтерия. В результате этой реакции возникает ядро …
) на пути 4 м равна …
-мезон, двигавшийся со скоростью 
(с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона: g1 и g2. В системе отсчета мезона фотон g1 был испущен вперед, а фотонg2 – назад относительно направления полета мезона. Скорость фотона g1 в лабораторной системе отсчета равна …
, имеющий скорость v, налетает на неподвижный шар массы 
: 
(кг·м/с). Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен …
электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора 
, где S – энтропия. Адиабатное расширение происходит на этапе … 
) равно … 
на 
. При этом энергетическая светимость …
поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась на угол 
. Поле зрения поляриметра станет совершенно темным при минимальной толщине (в мм) пластинки, равной …
от синуса угла дифракции представлена на рисунке. Дифракция наблюдается на щели шириной 
(в 
), равной …
энергию 
в виде почти параллельного пучка с площадью сечения 
. Если коэффициент отражения поверхности 0,8, давление света на площадку, расположенную перпендикулярно пучку, равно ____ мПа.
г бросили с поверхности земли с начальной скоростью 
м/с под углом 
30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна …
. В момент времени 
проекция импульса (в 
) на ось ОХ равна …
нейтронами образуются изотоп бора 
и …
с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону 
. Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …
, 
и скоростями 
м/с, 
м/с соответственно. Проекция скорости центра масс на ось ОХ (в единицах СИ) равна … 
распространяется плоская синусоидальная волна с частотой 
и амплитудой 
При переходе волны в другую среду, плотность которой в 2 раза меньше, амплитуду увеличивают в 4 раза, тогда объемная плотность энергии, переносимой волной, увеличится в ____ раз(-а).
, где 
комптоновская длина волны для электрона, падает на рассеивающее вещество. При этом отношение длин волн 
излучения, рассеянного под углами 
и 
соответственно, равно …
(см. рис.). На рисунке также представлен график зависимости от времени потока вектора магнитной индукции, пронизывающего рамку.
мВб, сопротивление рамки 
Ом, а время измерялось в секундах, то закон изменения со временем силы индукционного тока имеет вид …
, объемная плотность энергии 
, то напряженность магнитного поля составляет _______ 
Дж·с. Если 
кг, 
см, то кинетическая энергия второго тела (в мДж) равна … 
. При увеличении температуры в 2 раза длина волны (в 
), соответствующая максимуму излучения, будет равна … 