Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:
$$ \Delta A=\left| \begin
Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.
Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.
$$ \left( \begin
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.
Ответ: система несовместна.
Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
$$ \left( \begin
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt
Ответ: система является неопределённой.
Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.
Система-следствие
Урок №5. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.
Просмотр содержимого документа
«Система-следствие»
Тема урока: СИСТЕМА-СЛЕДСТВИЕ
Цели: рассмотреть преобразования уравнений, приводящих к системам-следствиям; закрепить навыки решения систем уравнений в ходе решения примеров.
Продолжаем с вами работать с системами уравнений и методами их решений. Прежде чем мы перейдем к теме сегодняшнего урока, попрошу вас выполнить самостоятельную работу. Она по вариантам (в таблице ниже). Решаем ТОЛЬКО СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ. Во всех, кроме 3го варианта, в ответе целые числа. Фото самостоятельной работы с полным решением высылаете мне. Не забывайте про область существования функций.
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Сегодня мы рассмотрим те преобразования, применяемые к уравнениям, которые не приводят к равносильной системе, а к системе-следствию. Это следующие преобразования:
— возведение в четную степень;
— избавление от знаменателя.
Чтобы вам было легче понять мои решения, приведенные ниже, перейдите по ссылке и посмотрите видеоурок.
В этом видео достаточно подробно разбираются задания ИЗ ВАШЕГО УЧЕБНИКА ПО АЛГЕБРЕ. И этот видеоурок будет ОЧЕНЬ ПОЛЕЗЕН ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ. Тот, кто его посмотрит, когда будет решать д/з, поймет что я имела в виду под «полезен».
Пример 1. Решить систему уравнений
Первое уравнение у нас показательное, и правую его часть необходимо привести к основанию 3. Второе уравнение – логарифмическое с одинаковыми основаниями, но в левой части находится коэффициент 2, его необходимо занести в степень числа логарифма.
Не забывайте про ОДЗ:
ОДЗ найдено. Возвращаемся к решению системы. Применим преобразования, написанные выше, получим:
Пропотенцируем уравнение, тогда:
В первом уравнении системы вынесем «х» за скобки, во втором применим формулу сокращенного умножения:
Видим, что первое уравнение системы является распадающимся. Решим его отдельно:
Посмотрим на ОДЗ: х=0 нам не подходит, значит далее будем решать способом подстановки систему следующего вида:
; 
; 
Видим, что второе уравнение зависит только от одной переменной. Решим его:
; 
; 
.
Оба значения переменной «у» по ОДЗ подходят. Вернемся к подстановке:
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение. Выпишем с вами ОДЗ:
В первом уравнении системы необходимо левую часть расписать с помощью правила работы со степенью с одинаковым основанием. Во втором уравнении необходимо поработать с логарифмами и применить следующие свойства (первое из свойств применяется к первому уравнению):
Тогда получим систему:
; 
;
; 
Решим эту систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную «у», а во втором умножим каждую часть уравнения на «2х 2 », чтобы избавится от знаменателей. Получим:
; 
; 
Решим отдельно второе уравнение системы. Получим следующие корни:
Вернемся к подстановке и найдем переменную «у»:
Открываете учебники на странице 343 и выполняете самостоятельно №14.20(а). Не забывайте про ОДЗ.
Системы уравнений
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида может выглядеть так: Фигурная скобка означает, что решение. должно удовлетворять каждому уравнению.
Содержание:
Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы
Пусть даны два уравнения с двумя переменными: f(x; у) = 0 и g(x; у) = 0. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Уравнения, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись
означает, что уравнения 
образуют систему.
Две системы уравнений называют равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными. При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной», но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами.
Теорема 5.
Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.
Следствие:
Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.
Так, равносильными будут следующие системы:
Теорема 6.
Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.
равносильны: мы заменили уравнение х — Зу = 10 суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение Зх — 2у = 2 оставили неизменным.
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки
Метод подстановки заключается в следующем.
1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражен через х (или х через у).
2) Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.
3) Находят корни этого уравнения.
4) Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующие значения у (или х).
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Из первого уравнения находим х = Зу + 10. Подставим выражение Зу + 10 вместо х во второе уравнение системы. Получим 
откуда находим 
Соответствующие значения х найдем из уравнения х = 3у + 10. Если у = 0, то х = 10; если у = -4, то х = -2. Итак, система имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения
Метод сложения основан на теоремах 5 и 6 (см. п. 163). Суть его поясним на примерах.
Пример 1.
Решить систему уравнений
(1)
Решение:
Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему
(2)
равносильную данной по теореме 5.
Сложим уравнения полученной системы. По теореме 6, система
(3)
равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду
Из уравнения 11х = 55 находим х = 5. Подставив это значение в уравнение 2х + Зу = 7, находим У = -1.
Итак, (5; -1) — решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).
Пример 2.
Решить систему уравнений
Решение:
Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:
Мы приходим к более простой системе
которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем у = х — 1; значит,
Если х = 0, то у = х — 1 = 0 — 1 = -1; если х = 1,5, то у = х — 1 = 1,5 — 1 = 0,5
Ответ: (0; -1) и (1,5; 0,5).
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных
Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
Пример 1.
Решение:
Положим 
, тогда 
и первое уравнение системы примет вид 
. Решим полученное уравнение относительно новой переменной z:
Таким образом, либо 
, т.е. 
, либо 
Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: 
В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:
Из первой системы находим х = 2, у = 3, из второй х = 3, у = 2.
Ответ: (2; 3); (3; 2).
Пример 2.
Решить систему уравнений
Решение:
Положим 
Тогда 
и система примет вид
Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения 
через 
, получим 
. Подставим этот результат в первое уравнение системы (1):
Соответственно находим 
Итак, нашли два решения системы (1):
Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем
каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.
Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными
Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
Пример 1.
Решить графически систему линейных уравнений
Решение:
Построим прямую — график уравнения Зх + 2у = 5 — по двум точкам, например (1; 1) и (3; -2) (рис. 1.111).
Построим прямую — график уравнения 2х — у = 8 — по точкам (0; -8) и (4; 0) (рис. 1.111).
Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка М(3; -2). Значит, (3; -2) — решение заданной системы.
Пример 2.
Решить графически систему уравнений
Решение:
Графиком уравнения 
является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5 (см. «Геометрия», п. 107). Графиком уравнения ху = 12 является гипербола 
(см. п. 82). Построив графики в одной системе координат (рис. 1.112), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: А(4; 3), Б(3; 4), С(-4; -3), D (-3; -4). Значит, решения заданной системы таковы:
Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными и все коэффициенты при переменных отличны от нуля:
Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая (см. п. 162). Если 
, то прямые пересекаются в одной точке; если 
, то прямые совпадают; если 
то прямые параллельны и не совпадают.
Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными
имеет единственное решение, если ,
имеет бесконечно много решений, если ,
не имеет решении, если
имеет одно решение, так как 
. Система
не имеет решений, поскольку 
Система
имеет бесконечно много решений, поскольку 
Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления
Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.
Теорема 7.
Если обе части уравнения 
ни при каких значениях (х; у) одновременно не обращаются в нуль, то системы
Пример 1.
Решить систему уравнений
Решение:
Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при у = 0. Если у = 0, то правая часть обращается в 0 при х = 0. Но при х = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.
Преобразовав первое уравнение этой системы, получим
8 = (х + у) — (х — у), т.е. у = 4.
Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим
(1)
Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150):
Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение
Пример 2.
Решить систему уравнений
Решение:
Ни при каких значениях (х; у) обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе
Из второго уравнения этой системы находим
Подставим найденное выражение у через х в первое уравнение системы. Получим 
и далее — 
Из уравнения 
находим, что если х = 5, то у = 3. Итак, (5; 3) — решение системы.
Системы показательных и логарифмических уравнений
Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. пп. 151, 152) и обычные приемы решения систем уравнений (см. пп. 164—166, 169).
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что 
(см. п. 121). Тогда уравнение можно записать в виде 
и далее 
(см. п. 120), откуда 
Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
Задача свелась к решению следующей системы уравнений:
Подставим 15у + 4 вместо 
в первое уравнение:
(15у + 4)у = 256, 
Если у = 4, то 
откуда находим 
Если 
то
т.е. 
— это уравнение не имеет действительных корней.
Итак, мы нашли две пары значений переменных:
Так как заданная система содержит выражения 
то должны выполняться условия х > 0, у > 0. Поэтому пара 
исходной системе не
Ответ: (8; 4).
Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными
При решении систем тригонометрических уравнений используются обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Положим 
Тогда получим систему 
Из первого уравнения этой системы находим 
Подставив выражение 
вместо 
во второе уравнение системы, получим
Если 
Если 
то
Итак, мы получили две пары решений
Так как 
то нам остается решить две системы уравнений: 
Из уравнения sin х = 1 находим 
Из уравнения 
находим 
Значит, решения системы 
имеют вид
Из уравнения 
находим 
Из уравнения cos у = 1 находим 
Значит, решения системы 
имеют вид
Замечание:
При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра 
в записи решений первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в рассмотренном примере для этой цели использовалась буква 
.
Системы трех уравнений с тремя переменными
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными
Решением такой системы называют всякую тройку чисел, удовлетворяющую каждому уравнению системы.
Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х через у и z и подставим результат во второе и третье уравнения системы.
Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки.
Из уравнения 
находим 
. Из уравнения у = z — 3 получаем соответственно 
а из уравнения х = 2 — у — z находим 
Итак, получили два решения исходной системы: (3; -2; 1) и (-1; 0; 3).
Решение задач с помощью составления систем уравнений
3адача 1.
Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?
Решение:
Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, а у км/ч — скорость второго пешехода. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи 4,5 ч, тогда как второй — 2,5 ч. За 4,5 ч первый пройдет путь 4,5л: км, а за 2,5 ч второй пройдет путь 2,5у км. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т. е.
4,5х + 2,5у = 30 — первое уравнение.
Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи 5 ч, тогда как первый — 3 ч. Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:
В итоге получаем систему уравнений
откуда находим х = 5, у = 3.
Ответ: первый пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 км/ч.
Задача 2.
У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк старшего брата. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 руб., а младший — 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?
Решение:
Пусть х руб. — сумма денег, которую положил в банк младший брат, тогда 2х руб. — сумма денег, которую положил в банк старший брат.
Пусть, далее, банк старшего брата дает у% годовых, тогда банк младшего брата дает (у + 5)% годовых.
Значит, через год на счету старшего брата будет 
руб., а на счету младшего брата будет 
руб.
В итоге приходим к системе уравнений
Решив эту систему, получим х = 2000, у = 15.
Осталось получить ответ на вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки? В этом случае младший брат положил бы свои 2000 руб. в банк под 15% годовых, а старший — 4000 руб. в банк под 20% годовых. Младший брат в конце года получил бы 2300 руб., а старший — 4800 руб. Всего у них стало бы 7100 руб.
Ответ: 7100 руб.
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
http://multiurok.ru/files/sistema-sledstvie.html
http://natalibrilenova.ru/sistemyi-uravnenij/