Система уравнений 9 класс как решать с графиком

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Системы уравнений с двумя переменными

п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения

п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными

Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <4x+3y=0>& \end\right. \)
\( \mathrm \) – окружность с центром в начале координат
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm \)

Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
\( \mathrm \) – гипербола \( \mathrm \)
y – x = 4 – прямая y = x + 4

Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7

Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.

г) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
xy = 1 – гипербола \( \mathrm \)
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)

Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.

Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <\frac1x-y=1>& \end\right. \)
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm \), смещённая на 1 вниз

Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=2>& \\ \mathrm & \end\right. \)
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2

Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x

Графический способ решения системы уравнений 9 класс план конспект

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графический способ решения системы уравнений.

Тема: « Графический способ решения системы уравнений.»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цель урока: формирование умений и навыков решения систем уравнений графическим способом.

Образовательная: создать условия для решения систем линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Развивающая : развитие исследовательских способностей учащихся, умение делать выводы, самоконтроля, речи, логическое мышление.

Воспитательная : воспитывать интерес к предмету, аккуратность, самостоятельность.

Коррекционная: коррекция и развитие связной устной речи;

— способствовать строить речевые высказывания, упражнять обучающихся в выполнении мыслительных операций: анализ, обобщение.

— формировать умение планировать свою работу с учетом конечного результата.

— формировать умение работать в группах, умение принимать участие в коллективном обсуждении проблем.

— создать условия для формирования интереса к познавательной деятельности.

Учебник, мел, доска, карточки, презентация, мультимедийное устройство.

4. Проблемно – поисковые.

Организационные формы обучения:

I. Организационный момент.

1) Учитель проверяет готовность к уроку настраивает их на работу.

2) Проверка домашнего задания.

3) Мотивационная беседа с последующей постановкой цели учащимися.

Эмоционально настраиваются на работу

II. Актуализация опорных знаний и умений

задание показаны на слайдах.

1) Является ли пара чисел (2;0) решением уравнения;

а) б) ху+3=0 в) у(х+2)=0

2) Выберите схематически график функции

1) у = 5х 2) у = 3) у= 4) у=

а) б) в) г)

Слушают учителя, отвечают на вопросы, воспринимают информацию зрительно и на слух, выполняют задание.

III. Усвоение новых знаний

Если ставится задача найти все общие решения двух (и более) уравнения с двумя переменными, то говорят, что нужно решить систему уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными х и у называется такая пара значений переменных (х;у) , которая является решением каждого из уравнений системы.

Например: пара (2 ; 3) является решением системы уравнений

Так как х=2 и у=3 является решением каждого из уравнений системы.

Решить систему уравнений с двумя переменными значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Если система не имеет решений, ее называют несовместимой.

Алгоритм решения систем уравнений с двумя переменными х и у графическим способом.

1. Строим график каждой из уравнений системы в одной прямоугольной системе координат.

2. Находим все точки пересечения построенных графиков и определяем их координаты. Эти координаты и являются решением данной системы уравнений.

Координаты любой точки окружности является решением уравнения а координаты любой точки параболы — решением уравнения Значит, координаты любой точки пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму. Используя рисунок, находим приближённые значения координатной точки пересечения графиков: А(-2,2; 4,5), В(0;5), С(2,2; 4,5), Д(4;-3).

Следовательно, система имеет четыре решения. Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что В(0;5), Д(4;-3) являются точками, А(-2,2; 4,5) и С(2,2; 4,5) — приближенными.

Слушают учителя, выполняют задание

V. Закрепление новых знаний.

1) является ли решением системы:

пара чисел: а) (-2;1), (1; -2)