Система уравнений для равнопеременного движения

Кинематические уравнения равнопеременного движения.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘ = «

Учитывая, что ₀ – скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), – скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t – промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, формула ускорения будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

= ₀ + t

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратовпоможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, тоуравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 7494 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Равнопеременное движение

Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.

Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.

Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;

Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.

Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.

При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.

Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».

Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.

Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.

Равноускоренное движение

Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.

Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.

Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).

Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.

В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.

Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.

Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:

\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]

Уравнение движения выглядит так:

\[ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>+ a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.

Равнозамедленное движение

Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.

Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.

На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.

В начале и в конце пути скорости будут различаться.

Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.

Связь между скоростями выглядит так:

\[ v = v_ <0>— a \cdot t \]

А уравнение движения имеет такой вид:

\[ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_<0>\), получим:

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>— a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\end > \]

Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.

Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси

Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).

А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.

Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».

Запишем связь между скоростями:

\[ v = — v_ <0>+ a \cdot t \]

Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:

\[ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = — v_ <0>+ a \cdot t \\ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.

Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.

Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:

\[ v = v_ <0>\pm a \cdot t \]

Знак ускорения зависит его направления.

Средняя скорость

Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.

Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.

Примечания:

1. Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
2. Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
3. Если скорость изменяется, появляется ускорение.

Формула для расчета средней скорости:

\( S_<\text<весь>>(\text<м>) \) ​– полный путь, пройденный телом;

\( t_<\text<полное>> \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.

Равнопеременное движение точки в теоретической механике

Равнопеременное движение точки:

Если

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения

то и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным.

При движение точки называется равноускоренным, а приравнозамедленным.

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид (см. § 63 в учебнике Е. М. Никитина)

Здесь —расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; —начальная скорость и — касательное ускорение-величины численно постоянные, а s и t — переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: и трн переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения из (1) и (2)

после исключения t из (1) и (2)

В частном случае, когда начальные величины (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) — вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы формулы (5) —(8), причем

Задача №1

Шарик, размерами которого можно пренебречь, начинает скатываться по наклонной плоскости из состояния покоя. Через 20 сек после начала движения шарик находится от исходного положения на расстоянии 6 м.

Определить ускорение шарика и его скорость в конце 10-й и 20-й сек, а также расстояние, пройденное шариком за первые 10 шс.

1. Из условия задачи следует, что Пройденное за —20 сек расстояние = 6 м. Даны четыре величины. Требуется определить ускорение шарика (движение прямолинейное, значит определить нужно только скорости и расстояние

2. Найдем из формулы (7) скорость шарика, которую он приобретает в конце 20-й сек:

3. Найдем из формулы (6) ускорение шарика, которое он имеет, двигаясь по наклонной плоскости:

4. Теперь из этой же формулы (6) можно найти скорость в конце

10-й сек

5. Из формулы (5) находим расстояние, пройденное точкой за первые 10 сек:

Задачу можно решить в ином порядке. Сначала из формулы (5) определить ускорение

Затем из формулы (6) определить и, наконец, из формулы (5) найти

Задача №2

Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км/ч, увеличивает в течение 20 сек скорость до 90 км/ч. Определить, какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение рарноускоренным.

1. Здесь также четыре данных величины:

так как движение автомобиля рассматривается только на том участке траектории (дороги), где он движется с ускорением.

2. Из вспомогательной формулы (3), полагая в ней =0, найдем

3. Из формулы (2) найдем ускорение, полученное автомобилем:

Задачу можно решить несколько иным путем. Сначала из формулы (2) найти ускорение автомобиля, а затем из формулы (1) найти пройденное расстояние.

Задача №3

Имея скорость 20 м/сек, автомобиль въезжает на криволинейный участок дороги, имеющий радиус закругления 200 м. За 40 сек равнопеременного движения он проезжает расстояние 400 м.

Определить, с каким касательным ускорением движется автомобиль, какова его скорость в конце пройденных 400 м и каково полное ускорение на середине этого пути.

1. Изобразим участок дороги, по которой движется автомобиль (рис. 197): О — начало участка, В— конец участка и А—его середина.

Для равнопеременного движения в задаче имеется четыре основных данных: —0 (так как за начало отсчета движения принимаем точку кроме того, известен радиус закругления

2. Из формулы (3) найдем скоростьв конце участка дороги длиной (полагая, что

В конце рассматриваемого участка автомобиль останавливается, значит движение равнозамедленное *.

3. Найдем касательное ускорение автомобиля из формулы (2):

Получившееся отрицательное значение ускорения — подтверждение того, что движение автомобиля равнозамедленное.

4. Для того чтобы определить полное ускорение автомобиля в середине А участка ОВ, нужно сначала найти скорость — скорость автомобиля в момент прохождения им точки А.

Эту скорость найдем из уравнения (4), приняв 200 м:

5. Находим нормальное ускорение автомобиля в точке А:

6. И, наконец, находим полное ускорение автомобиля:

Ускорение получается отрицательным, значит движение равнозамедленное. ** В дальнейшем для определения а„ нужно иметь значение

* Решение задачи можно начать с определения касательного ускорения из
формулы (I), считая Тогда

7. Вектор полного ускорения направлен к вектору скорости

под углом Угол а можно найти при помощи его синуса:

Задача №4

Точка движется в горизонтальной плоскости по заданной траектории ОАВС (рис. 198, а). Начав движение из состояния покоя, точка проходит участок ОА = 300 м равноускоренно за 30 сек, а расстояние от А до В, равное 200 м, она проходит

равномерно с той же скоростью, которую имеет в конце участка ОА. Из В точка движется в С уже равнозамедленно и проходит это расстояние за 40 сек. Остановившись в С, точка находится в покое 20 сек, а затем возвращается обратно в О по той же траектории, двигаясь равномерно и затратив на это движение 30 сек.

Построить графики перемещения, скорости и касательного ускорения точки.

Определить полное ускорение точки в момент времени через 60 сек после начала движения.

1. На уяастке О А, длина которого 300 м, точка движется равноускоренно из состояния покоя и проходит этот участок за 30 сек:

2. Находим ускорение на участке О А из уравнения (5):

3. Скорость точки в конце участка О А находим из уравнения (6):

4. Следующий участок траектории АВ длиной =200 м точка проходит с постоянной скоростью = 20 м/сек. Определяем время затраченное на это движение:

Причем в конце участка АВ скорость Значит, движение на участке ВС точка начинает со скоростью = 20 м/сек и, двигаясь равнозамедленно, останавливается в = 0) через = 40 сек.

Длину участка ВС найдем по формуле (3), приняв

5. Ускорение аВс точки на участке ВС определяем из формулы (2):

6.В конце траектории точка находится в покое в течение времени

7. Затем точка движется обратно и проходит равномерно путь

за время

Скорость точки в этом движении

она направлена относительно скоростей первой части движения (например, относительно скоростей в обратную сторону.

8. На все движение точки по траектории ОАВС в одну и другую сторону вместе с остановкой в конце траектории С 3атрачено 130 сек, которые складываются из времени:

• = 30 сек — равноускоренного движения,
• — равномерного движения,
• — равнозамедленного движения,
• — стояния точки,
• — равномерного обратного движения.

9. Описанное выше движение точки изображаем графически, построив три графика: перемещений, скоростей и ускорений, расположенных один под другим (рис. 198, б, в, г).

Для построения графиков необходимо выбрать удобные масштабы для времени и остальных величин.

Рекомендуется графики, показанные на рис. 198, вычертить самостоятельно на отдельном листе бумаги в клетку. Масштабы по оси времени на всех трех графиках одинаковы. Масштаб времени / принят равным и поэтому на графике 130 сек изображаются отрезком, равным 45 мм; масштаб перемещенияи расстояние между началом траектории О и ее концом С, равное 900 м, изображается отрезком, равным 31 мм; масштаб скоростей 2,86 м/сек- мм (2,86 м/сек в 1 мм) и 20 м/сек изображаются отрезком, равным 7 мм, а 30 м/сек — длиной 10 мм; масштаб ускорений мм (0,25 м/сек2 в 1 мм) и 1 изображается отрезком, равным 4 мм, а 0,5 — длиной 2 мм.

При самостоятельном построении этих графиков следует все масштабы увеличить, например принять

10. После построения графиков определяем ускорение точки в момент времени Т=60 сек после начала движения (см. условие задачи). Для этого прежде всего на графике перемещения из точки О (начало осей координат) по оси времени откладываем отрезок

Этот отрезок определит на оси времени время Т = 60 сек (на самостоятельно построенном графике расстояние получится большим:

Из точки Т восставим перпендикуляр измерив его, получим значит

Если это расстояние отложить па траектории, то увидим, что точка в момент времени Т = 60 сек будет находиться на криволинейном участке траектории (положение с радиусом кривизны р=300 м. Значит ускорение движущейся точки складывается из касательного и нормального ускорений.

Скорость в момент времени Т = 60 сек находим из графика скорости:

.
Касательное ускорение а, находим из графика ускорений

Полное ускорение движущейся точки в момент времени Т = 60 сек

Векторы характеризующие кинематическое состояние точки в момент времени Т = 60 сек после начала движения, изображены на рис. 198, а.

Задача №5

С крыши высотного дома через каждые 0,5 сек отрываются и свободно падают одна за другой капельки воды.

Определить, через сколько времени после отрыва первой капли расстояние между этой и следующей за ней каплей достигает 7,6 м?

1. Эта задача отличается от предыдущей тем, что в ней рассматривается движение не одной, а сразу двух материальных точек.

2. Изобразим перемещение обеих точек (рис. 199). Первая капля за искомое время, сек успевает пролететь расстояние м. Вторая капля, начавшая падение через 0,5 сек, находится в падении сек и успевает за это время пролететь расстояние м.

3. Расстояние 7,6 м между каплями через сек после начала движения выразим в виде уравнения

Используя формулу (5), получим уравнения падения капель: для первой капли:

для .второй капли

4. Подставив в уравнение (а) значения из уравнений (б) и (в), получаем уравнение, содержащее лишь одно неизвестное

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:

Таким образом, через 1,8 сек после отрыва первой капли или через 1,8-0,5 = 1,3 сек после отрыва второй расстояние между ними будет составлять 7,6 м.

• Неравномерное движение точки по любой траектории
• Определение траектории, скорости и ускорения точки
• Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
• Равномерное вращательное движение
• Равновесие пространственной системы сходящихся сил
• Определение положения центра тяжести тела
• Равномерное прямолинейное движение точки
• Равномерное криволинейное движение точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.