Система уравнений для решения методом гаусса пример

Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

В этой теме мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса:

Смена мест двух строк.
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Замечание относительно пункта №4: некоторые авторы не вычёркивают нулевые строки, а опускают их в низ расширенной матрицы системы. Я предпочитаю не копить внизу матрицы нулевые строки, поэтому считаю удобным просто вычёркивать их по мере появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_1$ и $x_3$ поменялись местами во всех уравнениях.

Сам алгоритм состоит из двух этапов: прямой ход метод Гаусса и обратный. Перед тем, как рассмотреть преобразования, которые выполняются на каждом из указанных этапов, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Прямой ход метода Гаусса

На данном этапе мы работаем с расширенной матрицей системы. Цель преобразований: сделать расширенную матрицу системы ступенчатой.

Прямой ход метода Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Как только расширенная матрица системы будет приведена к ступенчатому виду, прямой ход прекратится.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_<\min>$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

Если $k\lt>$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
Если $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$.
Если $k\gt>$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Нулевые строки могут появиться именно в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса. Напомню, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления.

На любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

К слову, указанную выше возможность удаления одинаковых строк можно обобщить: допустимо вычёркивать не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;\;0;\;4)$ и $(-6;\;0;\;12)$ имеем $(-6;\;0;\;12)=3\cdot(-2;\;0;\;4)$. Следовательно, одну из этих строк можно убрать из матрицы. Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса возникла строка вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

В конце прямого хода метода Гаусса мы должны получить ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$, где $C$ – преобразованная матрица системы, а $D$ – преобразованная матрица свободных членов системы.

Обратный ход метода Гаусса

В начале обратного хода метода Гаусса нужно проанализировать результат предыдущего этапа решения, в ходе которого мы получили ступенчатую матрицу вида $\left(C|D\right)$.

Если матрица $C$ является прямоугольной, то нужно оставить слева от черты те столбцы, которые содержат ведущий элемент некоей строки данной матрицы. Остальные столбцы нужно перенести за черту (знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные). Это делается для того, чтобы матрица $C$ стала верхней треугольной матрицей. Если же матрица $C$ является квадратной, то никаких дополнительных действий выполнять не нужно, матрица $C$ уже будет верхней треугольной.

Цель обратного хода метода Гаусса: привести матрицу $\left(C|D\right)$ к виду $\left(E|F\right)$, где $E$ – единичная матрица. Для этого нам потребуется два условия: элементы на главной диагонали матрицы до черты должны равняться единице, а все элементы выше главной диагонали нужно обнулить.

Начинаем преобразования обратного хода метода Гаусса. На обратном ходе метода Гаусса сначала используется последняя строка, затем предпоследняя, и так далее – пока не дойдём до первой строки.

С каждой строкой делаем однотипные действия. Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке $r_k$. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_$. Если $a_=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_\neq<1>$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $\frac<1>>$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помошью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_<\min>$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& x_1+2x_2=11;\\ & 3x_1-x_2=12. \end\right.$ методом Гаусса.

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой обобщённый метод сложения. Для начала избавимся от переменной $x_1$ во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$:

$$ 3x_1-x_2-3\cdot (x_1+2x_2)=12-3\cdot 11;\\ 3x_1-x_2-3x_1-6x_2=12-33;\\ -7x_2=-21. $$

Фразу «из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$» запишем короче: $II-3\cdot$. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Домножив обе части второго уравнения $-7x_2=-21$ на $-\frac<1><7>$, имеем $x_2=3$. При этом система примет вид:

Переменная $x_2$ найдена. Осталось определить значение переменной $x_1$. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную $x_2$. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие $I-2\cdot$). Первое уравнение станет таким:

$$ x_1+2x_2-2\cdot x_2=11-2\cdot 3;\\ x_1=11-6=5. $$

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: $\left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right)$. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

$$ \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2-3r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right) \begin \phantom <0>\\ -1/7\cdot \end \rightarrow \left(\begin 1 & 2 & 11\\ 0 & 1& 3 \end \right) \begin r_1-2r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 5\\ 0 & 1& 3 \end \right) $$

Отсюда имеем: $x_1=5$, $x_2=3$. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы $\left( \begin 1 & 2 & 11\\ 0 & -7& -21 \end \right)$ соответствует уравнению $0\cdot x_1-7\cdot x_2=-21$, т.е. $-7x_2=-21$.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению СЛАУ с большим количеством переменных.

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является первый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число 2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей, можно попробовать поменять местами текущую строку с одной из нижележащих строк. В данном случае целесообразно поменять местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin \boldred <1>& 3 & -5 & 27\\ \normgreen <-3>& -24& 5 & -86\\ \normblue <2>& 10& -3& 38 \end\right) $$

От перемены мест строк номера $k$ и $k_<\min>$ не изменились. Ведущим элементом первой строки стала единица (этот элемент выделен красным цветом). Нам по-прежнему нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк (эти элементы выделены зелёным и синим цветами).

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

Запись $r_2+3r_1$ означает, что к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на три. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

Действие $r_3-2r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Обратите внимание, что все элементы третьей строки нацело делятся на -5. Чтобы упростить дальнейшие расчёты, домножим третью строку на $-\frac<1><5>$ перед тем, как переходить ко второму шагу. Это не обязательное действие, т.е. можно, в принципе, обойтись и без него, но я предпочитаю упрощать решение по мере возможности.

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\ -1/5\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является второй элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью строку. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 2 (этот элемент равен 4), т.е. $k_<\min>=2$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки. Операции со строками, которые выполняются при этом, аналогичны тем действиям, которые осуществлялись на первом шаге:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3\end\right) $$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Можно ли было избежать работы с дробями на втором шаге? показать\скрыть

На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен единице. Сделано это было для того, чтобы избежать работы с дробями. Однако на втором шаге смена мест второй и третьей строк ничего бы не дала, так как ведущий элемент третьей строки тоже отличен от единицы. В принципе, можно было выполнить такое действие: $3r_3-4r_2$. В результате такой операции, ведущий элемент третьей строки был бы обнулён, а дробей при этом не возникло бы:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3r_3-4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13 & -52\end\right) $$

Вообще, если есть желание получить число 1 или -1 на месте разрешающего элемента текущей строки, то можно выполнить вспомогательное преобразование со строками. Например, в данном случае сделать действие $r_2-r_3$, тогда ведущий элемент второй строки станет равен -1:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_3\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) $$

После этого уже приступать к обнулению ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 4 & 7 & -16\end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -1 & -5 & 17\\ 0 & 0 & -13 & 52\end\right) $$

Однако в данном случае такое вспомогательное преобразование мне кажется лишённым практического смысла, так как не столь уж много действий с дробями надо выполнить, чтобы ради возможности избежать дробей делать некие дополнительные операции.

Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных ($\rang\widetilde=\rang=3$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в процессе выполнения прямого хода. Матрица до черты является квадратной, поэтому никаких столбцов переносить за черту не нужно. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $\frac<13><3>$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $\frac<3><13>$:

$$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы -5 и 2 выделены синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & 3 & \normblue <-5>& 27\\ 0 & 3 & \normblue <2>& 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end\right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент выделен синим цветом):

$$ \left(\begin 1 & \normblue <3>& 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Ответ таков: $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=-4$. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

$$ \left(\begin 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86\\ 1 & 3& -5& 27 \end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ -3 & -24 & 5 & -86\\ 2 & 10 & -3 & 38\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2+3r_1 \\ r_3-2r_1 \end \rightarrow $$ $$ \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & -15 & -10 & -5\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/5\cdot\\\phantom <0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 7 & -16 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-4/3\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\3/13\cdot\end\rightarrow \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & -5 & 27\\ 0 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1+5r_3\\r_2-2r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 3 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) \begin \phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 3 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -4 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4\end \right) $$

Пару слов относительно смены мест строк. Это очень удобное действие, которое зачастую позволяет упростить расчёты. Например, представим себе, что после первого шага прямого хода метода Гаусса мы получили такую матрицу:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) $$

Пора переходить ко второму шагу и с помощью второй строки обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+1/4\cdot\\r_4+3/4\cdot\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -9/4 & 17/4 & 31/4\\ 0 & 0 & -11/4 & -25/4 & 13/4 \end \right) $$

Как видите, операции вполне выполнимы, однако работать с дробями обычно немного затруднительно. Чтобы избежать такой работы, поменяем местами вторую и третью строки, а затем уже обнулим ведущие элементы:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+4r_2\\r_4-3r_2\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

Как видите, простая вспомогательная смена мест строк позволила упростить расчёты. Этим приёмом нередко пользуются. Кстати, можно использовать и иной приём, о котором я упоминал в примечании в конце прямого хода метода Гаусса в примере №1. Я имею в виду выполнение вспомогательной операции со строками, чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен 1 или -1. Например, в полученной нами матрице нужно с помощью третьей строки обнулить ведущий элемент четвёртой строки. В принципе, для этого вполне подойдёт операция $r_4+\frac<4><9>\cdot$, однако она приведёт к работе с дробями. Чтобы этого избежать, можно выполнить вспомогательное действие $r_3+2r_4$, тогда ведущий элемент третьей строки станет равен -1:

$$ \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+2r_4\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\\ 0 & 0 & -1 & -21 & -9\\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 \end \right) $$

При желании можно ещё умножить третью строку на -1. Теперь обнуление ведущего элемента четвёртой строки пройдёт без дробей. Выполнять такие вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. Впрочем, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $\left(\frac<1><3>;\;-\frac<4><5>;\;2;0\right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $\left(5;\;-12;\;30;0\right)$.

Расширенная матрица данной системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k\gt>$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поэтому поменяем местами первую и третью строки:

В новой матрице $k=1$, $k_<\min>=1$. Так как $k=k_<\min>$, то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$, т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, вычёркивать нечего.

Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на $\frac<1><3>$:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 3 (этот элемент равен 12), а ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=3$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что $r_4=-r_3$, т.е. одну из строк $r_3$ или $r_4$ можно вычеркнуть, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса. Разумеется, четвёртая строка станет нулевой, и её можно будет вычеркнуть.

На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_<\min>=4$. Так как $k=k_<\min>$, то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Итак, мы получили ступенчатую матрицу, прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $\rang=3$, $\rang\widetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных ($\rang\widetilde=\rang=3\lt<5>$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной, поэтому оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$ (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$ (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.

$$ \left(\begin \normgreen <-1>& \normblue <2>& \normgreen <3>& \normgreen <0>& \normblue <1>& -4\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <-3>& \normgreen <5>& \normblue <-2>& 1\\ \normgreen <0>& \normblue <0>& \normgreen <0>& \normgreen <2>& \normblue <-3>& -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) $$

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице, которую мы получили после прямого хода метода Гаусса.

$$ \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) $$

Второй и пятый столбцы этой матрицы содержат коэффициенты при переменных $x_2$ и $x_5$. Перенос за черту данных столбцов соответствует переносу переменных $x_2$ и $x_5$ в правые части уравнений. Разумеется, при переносе слагаемых из одной части равенства в иную, у них меняется знак на противоположный.

Например, первая строка соответствует уравнению $-x_1+2x_2+3x_3+x_5=-4$. Перенося переменные $x_2$ и $x_5$ в правую часть уравнения, будем иметь: $-x_1+3x_3=-4-2x_2-x_5$. Если вновь записать коэффициенты этого уравнения в виде строки, мы и получим первую строку новой матрицы с перенесёнными за черту столбцами: $(-1;\;3;\;0;\;-4;\;-2;\;-1)$.

Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.

На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:

$$ \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$. Эти переменные называют свободными, а переменные $x_1$, $x_3$ и $x_5$ – базовыми. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\\phantom <0>\\ r_4-4r_1 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\\phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ r_3+4r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ r_4+r_3 \end \rightarrow \left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 \end \right) \rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\1/2\cdot\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-5r_3 \\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\-1/3\cdot\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin r_1-3r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 \end \right) $$

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Расширенная матрица системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

Вспоминаем, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$, на любом этапе метода Гаусса означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $\left(\begin0&0&0&2\end\right)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end\right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

Найти её решение методом Гаусса.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Пару слов по поводу полученного после первого шага результата. Нам надо переходить ко второму шагу, т.е. использовать вторую строку. При этом номер ведущего элемента во второй строке равен $k=2$, а номера ведущих элементов нижележащих строк равны 3, т.е. $k_<\min>=3$. Так как $k\lt>$, то просто переходим к следующему (третьему) шагу алгоритма, на котором станем использовать третью строку.

$$ \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & -19 & 20 & 0\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4+r_3\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) $$

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3\lt<4>$. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной $x_4$, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствует переменной $x_4$, записываем ответ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Метод Гаусса для решения СЛАУ

В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).

Но для начала напомним, что СЛАУ может:

иметь одно единственное решение;
иметь бесконечное множество решений;
быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает следующие этапы:

прямой

Пример решения СЛАУ

Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

4. Прибавим к третьей строке вторую.

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

8. Ей соответствует система уравнений:

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
любую строку умножать или делить на некоторое число;
к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Это возможно, так как

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:

Из первого уравнения найдём x:

Ответ: решение данной системы уравнений — .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке — первую, умноженную на , к четвёртой — первую, умноженную на .

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

откуда находим «икс третье»:

Далее, подставляем значения и во второе уравнение системы:

Наконец, подстановка значений

в первое уравнение даёт

откуда находим «икс первое»:

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение .

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Составляем расширенную матрицу системы:

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .

Из второго уравнения находим

Из третьего уравнения —

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если во всех уравнениях имеющих вид

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

В результате приходим к системе

Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и выбрать произвольные значения , тогда значение для определится уже однозначно: . Из первого уравнения значение для также находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

соответствующие уравнению вида

Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Проведём теперь исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой — вторую, умноженную на .

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на .

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

и известны, а находим из первого уравнения:

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: . Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения и . Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на .

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: .

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

при произвольных и дают нам все решения заданной системы.

источники:

http://microexcel.ru/metod-gaussa/

http://function-x.ru/systems_gauss.html