Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.
Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.
Пример №1 . Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Это соответствует системе: -3x2 + 9x3 = 6 -4x1 + 5x2 + 7x3 — 10x4 = 0 За базисные переменные примем x1 и x2. Тогда свободные x3,x4. Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример №2 . Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
3x2 -2x3 – 3x4 = 10 3x1 -x2 -2x3 = 1 Необходимо переменные x3,x4 принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x1, x2. Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Пример №3 . Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение? Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.
учимся программировать
Программированию нельзя научить, можно только научится
Главная » Уроки по Численным методам » Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений
Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений
Система линейных уравнений:
(1)
Здесь и (i =1..m, j=1..n) — заданные, а — неизвестные действительные числа. Матричной записью системы линейных уравнений называется выражение вида: =, или кратко: = (2), где:
=
=
=
столбец свободных членов
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2. cn) называется решением системы(1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2. xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2. cn)T такой, что AC = B.
СЛУ называется совместной,или разрешимой, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений
Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.
Далее умножим вторую строку на -2 и сложим с третьей, а затем сложим третью строку с последней. Имеем . Ранг матрицы системы =3, так как матрица имеет три ненулевых строки, а ранг расширенной матрицы =4. Тогда согласно теореме Кронекера-Капелли система не имеет решений.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, — так называемые системы крамеровского типа: a11 x1 + a12 x2 +. + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = b2, (3) . . . . . . an1 x1 + an1 x2 +. + ann xn = bn.
Системы (3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.
Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A=0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором . Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
Задание 1: Решить систему уравнений матричным способом в Excel
Ход решения:
Сначала надо записать систему в матричном виде и ввести ее на лист Excel:
, здесь ,
Затем надо с помощью Excel найти обратную матрицу для матрицы А.
Далее полученную матрицу нужно умножить на матрицу В.
В результате получим ответ:
Задание 2: Самостоятельно решить матричным способом систему уравнений
Ответ для самопроверки:
Исследование СЛАУ. Общие сведения
В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
единственное решение;
бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
Совместна ли система?
Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .