Система уравнений инфоурок 7 класс

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

Открытый урок по математике на тему: «Решение систем уравнений». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Тип урока: обобщающий урок.

Вид урока: урок закрепления умений и навыков.

Оборудование: мультимедийная установка, плакаты: Периодическая система элементов Д. И. Менделеева, система кровообращения человека, солнечная система, физическая система СИ, соединительные союзы русского языка.

Цели урока:

1. Содействовать обобщению и систематизации знаний учащихся по теме “Решение систем уравнений”; продолжить закрепление следующих умений: решение систем уравнений графическим способом, способом подстановки, способом сложения (вычитания).
2. Развитие познавательного интереса, совершенствовать навыки решения систем уравнений;
3. Связать математику с другими предметами.
4. Обобщить знания основного программного материала.

Задачи урока.

• Воспитательная – формирование нравственных убеждений.
• Развивающая – развитие внимания и логического мышления, памяти.
• Учебная – обобщить и повторить знания по применению в реальной жизни темы данного урока.

Эпиграф к уроку записан на доске “Где есть желание, найдется путь”.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы должны обобщить весь материал § 15 “Решение систем уравнений”, совершенствовать навыки решения систем уравнений т. е.

1) способ подстановки;

2) способ сложения (вычитания);

3) графическим способом. Один из великих философов сказал: “ ГДЕ ЕСТЬ ЖЕЛАНИЕ, НАЙДЕТСЯ ПУТЬ!”. Мы сегодня на уроке с большим желанием будем решать системы, определяя свой рациональный путь.

II. Проверка домашнего задания.

Проверяются решения домашних задач.

III. Фронтальная работа с классом:

1. Теоретический опрос: один из учащихся читает контрольный вопрос, располагающийся в учебнике на стр. 184.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными;

2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

3. Что является графиком уравнения ax+by=c, где х, y переменные, а = 0, b = 0.

4. Если говорят, что задана система уравнений, что это значит?

5. Что является решением системы линейного уравнения с двумя переменными?

6. Что, значит, решить систему линейного уравнения с двумя переменными?

7. Сколько решений может иметь система линейного уравнения с двумя переменными?

Каждый вопрос сопровождается мультимедийным ответом. Приложение № 1. Слайд № 1, № 2.

Учитель рассказывает о системах окружающих нас в повседневной жизни. Ученики вспоминают о предметах, где они встречали системы. Это предметы: русский язык (соединительные союзы), биология (система кровообращения человека), физика (система СИ), химия (периодическая система элементов), астрономия (солнечная система).

Теоретический материал закрепляется тестом, сопровождаемый взаимопроверкой. Приложение № 1. Слайд № 3.

ТЕСТ.

1. Какие из перечисленных уравнений являются линейными?
2. Какая пара чисел является решением уравнения 3х-2у=5?
3. Какая пара чисел является решением системы:
4. Какая из перечисленных систем имеет одно решение?
5. Какая из перечисленных систем имеет бесконечно много решений?
6. Какая из перечисленных систем не имеет решения?

Взаимопроверка теста учениками. Каждый вопрос теста выводится на большой мультимедийный экран, решение комментируется.

Учитель сообщает, что система, не имеющая решений, называется несовместной. 7. В заданиях теста найдите несовместную систему?

IV. Закрепление изученного материала. Слайд № 4 — № 8. 1) Данную систему решаем

Графическим способом.

Построить в координатной плоскости графики уравнений системы.

Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Способом подстановки.

Выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

Решают получившиеся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной.

Способом сложения.

Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

Решают получившееся уравнение с одной переменной. 11х = -22, х = — 2\

Находят соответствующее значение второй переменной.

Записываем ответ. (-2; 3)

У доски прорешиваются задания графическим способом, где есть несовместная система.

Способом подстановки решается задача № 1174.

Способом сложения решается задача № 1180.

1. Решите систему способом подстановки:

у = 5-х, 3х – у = 11.

2. Решите систему способом сложения:

3х – 2у = 4, 5х + 2у = 12.

2х + 3у = 10, – 2х + 5у = 6.

3. Решите задачу.

Периметр прямоугольника равен 26см. Периметр прямоугольника равен 16см.

Его длина на 3 см больше ширины. Его ширина на 4 см меньше длины.

Найдите стороны прямоугольника. Найдите стороны прямоугольника

1. Решите систему способом подстановки:

3х + у = 7, 9х – 4у = -7.

х – 3у = 6, 2у – 5х = -4.

2. Решите систему способом сложения:

х – 4у = 9, 3х + 2у = 13.

2х + у = 6, – 4х + 3у = 8.

3. Решите задачу.

Туристическую группу из 42 человек Расселили в двух- и трехместные номера. .

Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных и сколько трехместных?

За покупку канцтоваров на сумму 65 коп. Таня расплатилась пяти- и десятикопееч ными монетами. Всего она отдала 9 монет.

Сколько среди них было пятикопеечных и сколько десятикопеечных?

Ответы каждого задания располагаются на карточках определённого цвета, которые нужно сложить на край парты в порядке выполнения задания. Среди предоставленных карточках есть лишние.

Результатом самостоятельной работы является триколлор флагов РТ и РФ. Учитель комментирует результаты самостоятельной работы.

белый цвет – благородство,

синий цвет – верность,

красный цвет – мужество, любовь.

зелённый цвет обновление,

белый цвет — надежда,

красный цвет — символ борьбы за свободу.

V. Подведение итогов урока.

Учащимся выставляются оценки, комментируется домашняя работа.

Урок алгебры 7 класс «Системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок математики в 7 классе. «Системы линейных уравнения».

Учитель: Габдулханова Л. Ф.

Тип урока: обобщение изученного материала.

Урок сопровождается мультимедийной презентацией. В ходе урока прослеживаются межпредметные связи, так как урок является отчасти интегрированным.

На уроке используются различные формы работы: фронтальная, групповая, работа в парах. Подобраны разнообразные задания, которые подготавливают учащихся к контрольной работе по данной теме.

Тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Систематизировать знания по теме «Решение систем уравнений»;

Продолжить развитие навыков аналитического мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях;

Продолжить развитие познавательного интереса к различным предметам

Развивать логическое мышление, речь, волю, эмоции;

Воспитывать чувство ответственности, умение работать в коллективе;

Проектор, экран, компьютер.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Сегодня урок алгебры проведу я, зовут меня Лариса Федоровна.. Наш урок по очень важной теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными». Как вы думаете, какова цель нашего урока? (Закрепить знания и умения решения систем уравнений различными способами, обобщить изученный материал по данной теме, применять изученный материал в нестандартных ситуациях). Действительно сегодня мы систематизируем знания по теме, будем учиться применять свои знания в нестандартных ситуациях. Нет таких областей знаний в точных науках, где бы ни применялась данная тема. Поэтому наш урок является, отчасти интегрированным. И не зря эпиграфом к нашему уроку являются следующие слова:

«Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле». Аристотель.

Как вы понимаете смысл этих слов? (Знания приносят пользу человеку только в том случае, когда они применяются на практике.)

II. Актуализация ранее изученного материала

Фронтальная работа с классом

Давайте с вами вспомним

Что называют системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям).

А в каких областях наук вы встречались с какими-либо системами? (биология например (система кровообращения ), физика (система СИ), природоведение (солнечная система), химия (система Менделеева).

Что является решением системы линейного уравнения с двумя переменными? (Решением системы уравнений с двумя переменными является пара значений приводящих данные уравнения к верным равенствам)

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными? (Система может иметь одно решение, бесконечное множество решений или ни одного решения)

Какими способами решаются системы уравнений? (Существует три способа решения систем уравнений – способ подставки, способ сложения и графический способ)

Давайте еще раз напомним себе, на что нужно обратить внимание, при выборе метода решения системы уравнений?

(Если в каком-либо уравнении можно выразить одну переменную, через другую, то применяем метод замены переменной, если в уравнениях можно уравнять коэффициенты при одинаковых переменных, или эти коэффициенты с противоположными знаками, то применяем метод сложения.)

III. Устная работа

А сейчас небольшая разминка

1. Является ли пара чисел (–2; –2) решением системы уравнений:

а) б)

2. Из какого уравнения системы, и какую переменную выразить «удобнее»? Ответ объясните.

а)

б)

3. Сколько решений имеет система уравнений:

а) б)

(одно решение) (нет решений)

IV. Обобщение изученного материала

А теперь на практике посмотрим, как вы умеете решать системы уравнений различными методами.

Решите систему уравнений способом сложения:

6x+4y+9=4x+21

6x-4x+4y=21-9

2x+4y=12

-8x-16y=-48

Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений x — y =2 и 2 x +2 y =14.

x-y=2

Составьте уравнение прямой, используя график на рисунке 29

(А(4;0) и В(5;5), уравнение прямой имеет вид y = kx + b , составим систему уравнений

0=4 k + b

4 k + b =0

-4 k — b =0

V. Самостоятельная работа по вариантам

Сейчас поработайте по вариантам.

Задание по вариантам:

Решите своим методом следующую систему уравнений.

2x-3y=11

-4x+6y=-22

x+y=10

3x+3y=30

x=10- у

VI. Домашнее задание * решить систему уравнений 3-мя способами.

2x+4y=10,

4,5x-y=32,

x+3y=11,

– Чем мы сегодня занимались на уроке? (Обобщали изученный материал по теме «Решение систем уравнений с двумя переменными»)
– Какими методами решали системы? ( Использовали метод подстановки, сложения и графический метод)

— Обратимся к эпиграфу урока, оправдали ли мы слова Аристотеля? (Да, действительно нужно не только знать теорию, но и уметь применять её в жизни)
Выставление оценок

Учащимся предлагается рисунок, на котором нужно отметить свое место положение для данного урока, т.е.:

Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы;

Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине;

Если нет ни каких вопросов, и вы чувствуете власть над данной темой, то вы на пике.