Система уравнений как реальных ситуаций 7 класс

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Разделы: Математика

Классы: 8 , 9

Ключевые слова: Текстовые задачи , вызывают затруднения

Цели:

Обобщить решение задач с помощью систем уравнений различными методами.
Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией и литературой, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:

компьютер и проектор;
тексты задач для решения в классе;
тексты задач для решения дома;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Подготовка к уроку: повторение способов решения задач с помощью систем уравнений различными методами.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point.

Эпиграф к уроку: Учитель должен много знать, и не только свой предмет, он должен быть компетентным в разных областях. …

План урока:

Организационный момент (сообщение о необходимости решения задач с помощью систем уравнений, связь темы урока с КИМами ГИА по математике).
Актуализация опорных знаний (повторение методов решения систем уравнений).
Закрепление материала (решение задач путем математического моделирования).
Итоги урока. Домашнее задание.

Слайд 1: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Слайд 2: “Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих”. Рене Декарт

Слайд 3: Методы решения систем уравнений:

– подстановки;
– алгебраического сложения;
– введения новых переменных;
– графический.

Слайд 4: Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1. Обозначить неизвестные элементы переменными;
2. Составить по условию задачи систему уравнений;
3. Определить метод решения системы уравнений;
4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Слайд 5: Этапы решения задачи:

Первый этап.
Составление математической модели.

Второй этап.
Работа с составленной моделью.

Третий этап.
Ответ на вопрос задачи.

Слайд 6: Л.Н. Толстой “Арифметика”

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

I этап. Обозначим х – число овец у первого мужика, у – у второго.

II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)

IIIэтап. Ответ: 13 и 22.

Слайд 7: Илья Ильф и Евгений Петров “Двенадцать стульев”

Слайд 8: Задача: Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.

Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил?

Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение.

а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок
3x+5y=50 находим пары: 5 и 7, 10 и 4, 15 и 1

б) а – осталось трехрублевок
b – осталось пятирублевок
3а+5b=20 находим пары: 5 и 1, 0 и 4

Значит, отец Федор взял 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок.

Слайд 10: Задачи от Н.Носова из книги “Витя Малеев школе и дома”

Задача 1.
Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?
I этап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор.
II этап. (Решаем методом подстановки.)
III этап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.
Задача 2.
В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?
I этап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб.
II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)
III этап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.
Слайд 13: Задача из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб?
Слайд 14: Решение:
Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:
II этап. (метод подстановки)
x = 138 – y
5(138 – y) + 3y = 540
5(138 – y) + 3y = 540
690 – 5y +3y = 540
-2y = -150
y = 75 x = 138 – 75 = 63.
III этап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец.
Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
I этап: Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.
Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько “бедной” руды надо взять, чтобы получить при смешивании с “богатой” 20 т руды с содержанием меди 8%?
Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08
I этап:
Пусть надо взять х т “бедной” руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а “богатой” руды надо взять у т, которая будет содержать 0,11у т меди. Составим первое уравнение: х + у = 20.
Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08=1,6 т меди, то получим уравнение:
II этап: (метод подстановки)
Решив систему уравнений, получим х = 12.
III этап: Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди
Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
I этап: По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
* х + * у = * 1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
* х + * у = * 1
II этап: Записываем одну из систем:
х + у = 1
х + у =
х + у = 1
х + у =
Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
III этап: Ответ: 125 г золота и 875 г серебра.
Слайд 18: Задания из тестов ГИА:
1. Найти пары чисел, являющиеся решением системы уравнений
1) (1; 6); (6; 1) 2) (6; 1); (?0, 5; ?12)
Слайд 19:
2. Прямая y=2x-3 пересекает параболу y=x2-x-7 в двух точках.
Вычислите координаты точки B.
Слайд 20:
3. Вычислите координаты точки B.
Слайд 21:
Домашнее задание
Задачник под ред. Мордковича А.Г. №7.37, 7.40 и 7.53)
Спасибо всем за урок! Удачи! И помните: “Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно”. (Конфуций.)
Урок-закрепление 7 класс. Алгебра.Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Решение задач с помощью уравнений.pptx
Описание презентации по отдельным слайдам:
Где есть желание, найдется путь Дьёрдь (Джордж) Пойа
Тема урока: 29.11.2016 Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций
Выбирают переменные величины обозначают буквами, например х и у (чаще всего это то, что надо найти) 2. Составляют уравнения по условию задачи. 3. Решают уравнения. 4. Отвечают на вопрос задачи Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений:
Проверь себя Выразить х через у х+3у=6 1)х=6-3у, 2)х=-6-3у, 3) х=6+3у Выразить у через х 2х-у=3 у= 3-2х, у =-3 +2х, у=3+2х. Выразить у через х 2х+у=4 у=2х-4 у=4-2х у=-4+2х
«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно, не упуская случая, сделать его немного занимательным» Блез Паскаль
Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома, Их хозяин поклажей большой нагрузил, Долго-долго тащились дорогой знакомой, из последних уже выбиваяся сил. «Тяжело мне идти» — лошадь громко стонала. Мул с иронией молвил (нес он тоже немало) «Неужели, скажи, я похож на осла? Может, я и осел, но вполне понимаю: Моя ноша значительно больше твоей. Вот представь: я мешок у тебя забираю, И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей. А вот если тебе мой мешок перебросить, Одинаковый груз наши спины б согнул» Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади? Сколько нес на спине умный маленький мул?
Решаем задачу: х у Было Мул Лошадь Вот представь: я мешок у тебя забираю, И в два раза, почти, стал мой груз тяжелей. А вот если тебе мой мешок перебросить, Одинаковый груз наши спины б согнул» Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади? Сколько нес на спине умный маленький мул? Мул забрал у лошади Мул отдал лошади х+1 (у-1)*2 х-1 у+1
Составляем систему уравнений: х+1=(у-1)*2 х-1=у+1 х+1=2у-2 х-1=у+1 х+1=2у-2 -х+1=-у+1 у=5 х=7
Решаем задачу №14.16: х у Было 1 полка 2 полка На двух полках находится 110 книг. Если со второй полки переставить половину книг на первую, то на первой окажется в 4 раза больше книг, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? Если переставить х+у/2 (у-у/2)*4 110
Составляем систему уравнений: х+у=110 х+у/2=(у-у/2)*4 у=44 х=66 х+у=110 х+у/2=у/2*4 х+у=110 2х+у=4у
«Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение» Герман Гессе
Придумать или найти необычную задачу, которая решается с помощью системы уравнений, решить её и оформить все на альбомном листе. Домашнее задание.
Выбранный для просмотра документ Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций.doc
План-конспект открытого урока по алгебре в 7 классе
учителя высшей квалификационной категории
МОУ СОШ№1 г.Серпухов Московской области
Андриановой Натальи Владимировны
Тема урока :« Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций».
Определение места урока в изучаемой теме, разделе, курсе :
Урок является третьим в разделе решение задач с помощью систем уравнений.
Универсальные учебные действия :
Личностные – осознание учащимися важности составления систем для решения задач, умение оценивать себя.
Познавательные – умение извлекать нужную информацию из прочитанного текста.
Коммуникативные- через стихи, диалоги ( умение слушать и излагать свое мнение).
Регулятивные – взаимный контроль( исправление ошибок у соседа по парте), самоконтроль ( умение понимать причины ошибок), контроль со стороны учителя.
Цели урока : развитие познавательного интереса при решении задач,
создание учебно-методических условий, способствующих достижению обучающимися следующих результатов:
осмысление ранее изученных понятий «выражение переменных из формул» и «способы решения систем уравнений различными способами», умения составлять уравнения по тексту задачи в разнообразных интерпретациях; применять правила выражения переменных; овладения навыкам составления и решения уравнений , систем для решения несложных задач.
1) творческого решения практических задач; умения самостоятельно выполнять творческую работу;
2) способность вступать в речевое общение, участие в диалоге;
3) формировать умения оценивать свои учебные достижения, своё эмоциональное состояние.
1) проявление воли и настойчивости для достижения конечных результатов;
2) умение выдвигать гипотезы, отыскивать доказательства и рассуждать логично;
3) выработка уверенности во взаимоотношениях с людьми;
4) умения уверенно и легко выполнять математические операции.
5) формировать навыки самостоятельной работы и самооценки знаний.
Задачи урока:
образовательная : способствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами,
практическая: обучение навыкам поискового чтения из текста с извлечением информации для составления уравнения,
развивающая : проверить уровень самостоятельной деятельности обучающихся по применению знаний в различных ситуациях,
воспитательная : способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся.
Описание применяемых образовательных технологии, обоснование их использования:
Здоровьесберегающие технологии( физкультминутка, минута психологической разгрузки, правильная осанка при записи, освещение класса).
Игровые ( стихи, старинные задачи) – чтобы вызвать интерес и активность учащихся и способствовать более быстрому и прочному запоминанию алгоритма составления уравнений.
Формы и методы работы на уроке подобраны исходя из психолого-педагогических особенностей данного класса.
Используются формы работы: а)индивидуальная, б)групповая, в)фронтальная.
Учебно-методические пособия: учебник «Алгебра 7».
Разработки уроков по алгебре для 7 класса по учебнику под редакцией А.Г. Мордковича.
Раздаточный материал, подготовленный учителем для решения.
Используемые технологии: а) уровневой дифференциации, б)индивидуального обучения, в)проблемно поисковой, г) групповые.
Методы работы:
1) методы организации учебно-познавательной деятельности: а) словесный, б)наглядный, в)практический, г)самостоятельная работа, д) работа под руководством.
2) методы контроля и самоконтроля: а) устный опрос, б)фронтальный опрос, в)письменный контроль, г)тест, д) взаимный контроль, е) самоконтроль
Планируемый результат:
Знать:
способы решения систем линейных уравнений,
алгоритм решения задач,
Уметь:
применять удобный способ решения систем линейных уравнений,
применять алгоритм решения задач на практике,
использовать различные источники знаний,
работать с карточками различного содержания,
работать в группах, индивидуально.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
4. Решение задачи.
7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
«Где есть желание, найдется путь» .
Здравствуйте, ребята. Напомните, пожалуйста, что мы с вами изучали на предыдущем уроке? Открыли тетради, записали число, классная работа.
Посмотрите, как звучит тема нашего урока. Объясните, почему
Давайте проверим, насколько вы усвоили решение задач с помощью систем линейных уравнений.
Мы сегодня на уроке будем решать задачи, определяя свой рациональный путь. Удачи!
Решение задач с помощью систем уравнений
Запись в тетрадях числа, классной работы.
Какие задачи решаются с помощью систем линейных уравнений?
Давайте повторим алгоритм решения задач с помощью систем уравнений.
Как мы выбираем, что сделать переменной?
Сколько неизвестных может быть в системе линейных уравнений?
Какие методы решения систем вам известны?
В каком случае применяют метод алгебраического сложения?
А в чем суть метода подстановки?
Отвечаем на вопрос задачи
Оба метода нас, в первую очередь, приводят к чему?
Иногда у вас вызывает затруднение выражение одной переменной через другую. Давайте еще раз попробуем.
Задачи, в которых два неизвестных
Вводим обозначение для того, что звучит в вопросе
Метод подстановки и метод алгебраического сложения
Если в уравнениях есть противоположные коэффициенты
Из одного уравнения выражают переменную и полученное выражение подставляют во второе уравнение.
К получению уравнения с одной переменной.
Весь класс решает тест (проверка с помощью доски и обмен тетрадями с соседом по парте)
Выразить х через у х+3у=6
1)х=6-3у,
2)х=-6-3у,
3) х=6+3у
Выразить у через х 2х-у=3
1) у= 3-2х,
2) у =-3 +2х,
3) у=3+2х.
Выразить х через у 2х+у=4
Следим за нашим Незнайкой (гимнастика для глаз)
Учащиеся выполняют все указания учителя молча.
«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно, не упуская случая, сделать его немного занимательным»
Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
Из последних уже выбиваяся сил.
«Тяжело мне идти» — лошадь громко стонала.
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало)
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Моя ноша значительно больше твоей.
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
Одинаковый груз наши спины б согнул»
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
Сколько нес на спине умный маленький мул?
У доски разобраться животным с их поклажей поможет … А вы тем временем работаете на месте парами: человек, сидящий на первом варианте заполняет таблицу и составляет систему уравнений. Товарищ, сидящий на втором варианте, решает эту систему. По окончании процесса сверим наши результаты.
Учащиеся заполняют таблицу, отвечая на вопросы:
О ком задача? (о муле и лошади)
Что происходило с героями? Была поклажа, поменялись частью мешков)
Какие главные слова для составления уравнения? ( мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей , одинаковый груз)
Урок алгебры 7 класс: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций»
презентация к уроку по алгебре (7 класс) по теме
Цель урока: продолжить формировать умение решать задачи с помощью составления математической модели, закрепить умение решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Тип урока: изучение нового материала.
План урока: 1 Организационный момент
2 Проверка домашнего задания
3 Сообщение темы и целей урока
4 Объяснение нового материала
5 Закрепление нового материала
6 Повторение изученного ранее (игра)
7 Проверочная самостоятельная работа
Ход урока:
Орг. Момент
Вопросы по домашнему заданию
Сообщение темы и целей урока
Изучение нового материала. Следует отметить, что эта тема не является совершенно новой. В ней будет продолжено решение задач в три этапа, причём математической моделью реальных ситуаций будут системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Рассматривается задача на движение. Систему составленную вместе с учителем, дети решают самостоятельно. Затем, сообщаются исторические сведения по данной теме. (сл.1 – сл.12)
Китайская задача решается через два, три урока, когда учащиеся приобретут необходимый опыт по составлению систем.
5 Закрепление новой темы происходит при составлении систем к более лёгким задачам (сл.13 – сл.15)
6 Повторение изученного ранее происходит в игровой форме. К доске магнитами прикреплены звёзды. С обратной стороны вопросы и задания оцененные баллами. Учащиеся делятся на команды и по очереди выходят к доске, выбирают звезду – карточку и выполняют задание. За правильный ответ команде
баллами. Учащиеся делятся на команды и по очереди выходят к доске, выбирают звезду – карточку и выполняют задание. За правильный ответ команде присуждается соответствующее количество баллов. Если ученик затрудняется ответить, ему может помочь команда, но заработанные за данное задание очки уменьшаются в два раза. Если на этот вопрос отвечает команда противников, то и половина очков за это задание присуждаются ей. Каждая команда выполняет одинаковое количество заданий. Побеждает та, которая набрала большее количество очков.
Задания к карточкам-звёздам
1 Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
2 у = 6 х – 4 возрастающей или убывающей является функция?
3 У = — 3,5 х +5 возрастающей или убывающей является функция?
4 Какие три способа Решения систем линейных уравнений с двумя переменными вы знаете?
5 у = 8 х – 3 и у = 8 х +5 как расположены прямые на координатной плоскости?
6 у = 5 х + 2 и у = 7 х +2 как расположены прямые на координатной плоскости?
7 у = 4 х +1 и у = 9 х – 0,7 как расположены прямые на координатной плоскости?
8 Что является решением системы линейных уравнений с двумя переменными?
9 Через какую точку всегда проходит график функции у = kх ?
10 Для какого промежутка можно указать и наибольшее и наименьшее значения функции: а) (- ∞; 5] б) (- 2; 9) в) [16; 57]
7 При наличии времени можно решить № 14.7 из задачника. Затем, предложить выполнить учащимся небольшую проверочную самостоятельную работу по вариантам.
Решите задачу с помощью системы линейных уравнений
с двумя переменными
Одно число на 6 меньше другого, а сумма ровна 80. Найдите эти числа. (37 и 43)
Одно число больше другого на 10, а их сумма равна 140. Найдите эти числа. (65 и 75)
Одно число больше другого на 12, сумма чисел равна 164. Найдите эти числа. (76 и 88)
Задумали два числа. Одно меньше другого на 8, а сумма равна 96. Найдите задуманные числа. (44 и 52)
9 Домашнее задание: №13.9(в, г) стр.71, №14.14 стр. 76.
Учебник алгебра 7 класс Мордкович А.Г.

источники:
http://infourok.ru/urokzakreplenie-klass-algebrasistemi-lineynih-uravneniy-kak-matematicheskie-modeli-realnih-situaciy-1428190.html
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/02/11/urok-algebry-7-klass-sistemy-dvukh-lineynykh-uravneniy-s-dvumya