Система уравнений матрицы и определители

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. 
2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. .
2. .
3. Решите уравнение..

.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Электронная библиотека

Прямоугольная таблица, составленная из mxn элементов a_ii (i = 1,2,3,…n; j = 1,2,3,…m) некоторого множества, называется матрицей размера mxn.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В… Например:

Элементы а₁₁, а₁₂,…, а_1n образуют первую строку; а_11, а₂₁,…,а_m1 – первый столбец. Строки и столбцы называют рядами. Произвольный элемент матрицы обозначают a_ij. Краткая форма записи матрицы: (a_ij)_mn, а числа i, j называют индексами элемента. Элементы а_11, a_22, …,a_mn образуют главную диагональ матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, соответственно называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом.

Матрица, всё элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.

Порядком матрицы называется число её строк (для квадратной матрицы).

Квадратная матрица называется симметрической, если а_ij = a_ji.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы не принадлежащей главной диагонали равны нулю, и обозначается символом:

Единичной называется диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, и обозначается Е или I:

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой её строки соответствующим столбцом, называется транспонированной и обозначается А Т .

Линейные операции над матрицами

К линейным операциям относятся: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Сложение и вычитание определяется только для матриц одинаковых размеров.

Произведением матрицы А = (а_ij)_mn на число называется матрица:

то есть каждый элемент матрицы А умножается на число .

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов множимого равно числу строк матрицы множителя. Обозначается:

(элемент матрицы С_ij равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В). Заметим, что не всегда = .

Определители. Минор и алгебраическое дополнение

Определители вводятся для квадратных матриц.

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, равное а₁₁а₂₂ — а₁₂а₂₁, обозначается символом:

Имеют место свойства определителей и теоремы, которые касаются их вычисления.

Определителем квадратной матрицы А = (а_ij)_3x3 (третьего порядка) называют число:

Минором элемента a_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a_ij обозначается М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком (-1) i+ j , обозначается символом A_ij:

Для определителей вводится понятие порядка «по принципу порядка матрицы».

Если определитель имеет порядок выше трех, то пользуются для его вычисления важным для определителей свойством «разложения» определителя по строке или столбцу.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Коротко можно записать так:

— разложение определителя по элементам i-й строки.

На практике часто используют теорему вычисления определителя от произведения матриц.

Она утверждает: определитель произведения двух квадратных матриц А и В одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц:

Пример 14. Вычислить определитель по правилу «разложения»:

1) разложим определитель по элементам четвёртого столбца, который содержит три «нулевых» элемента, которые впоследствии умножаются на алгебраические дополнения (не важно, какие они имеют значения), и за счёт этого имеем выигрыш в вычислении всего определителя;

2) вычисляем алгебраическое дополнение А₄₄ по правилу треугольника (заметим, что можно было и далее вычислять этот определитель 3-го порядка по правилу разложения, но в целях экономии времени пользуемся правилом, которое знаем для определителя 3-го порядка).

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Если система является невырожденной, т.е. , то она имеет единственное решение

где А -1 — матрица, обратная матрице А, а

Линейные системы уравнений

называется невырожденной, если . Тогда эта система имеет единственное решение:

Эти формулы называются формулами Крамера.

Из формул Крамера следует, что если однородная линейная система

имеет ненулевое решение, то её определитель det А = 0.

Решение однородной системы двух уравнений.

Пусть дана система:

Решения даются формулами:

где — алгебраические дополнения матрицы 3-го порядка, составленные из коэффициентов при неизвестных данной системы.

Решения однородной системы трех линейных уравнений:

если det А = 0, А₃₃ , находятся из подсистемы по предыдущим формулам (см. предыдущий пункт).

Пример 15: Решить систему с помощью определителей:

Пример 16: Решить однородную систему: