Система уравнений подготовка к огэ

Подготовка к ОГЭ. «Решение уравнений. Решение систем уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Подготовка к ОГЭ. «Решение уравнений. Решение систем уравнений»»

Конкурс презентаций «Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ»

Тема: «Решение уравнений. Решение систем уравнений»

Мальцева Надежда Валентиновна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Обоянская средняя школа № 2»

Учитель математики высшей категории

МБОУ Сосновская СШ № 2

Кляпнева Алёна Александровна

Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист.

«Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнение будет существовать вечно»

• повторить способы решения уравнений и систем уравнений;
• акцентировать внимание на возможность решения уравнений и систем различными способами;
• осваивать информацию и логически ее перерабатывать;
• вырабатывать собственную позицию, обосновывать ее и защищать (обосновывать свой способ решения, свой результат).

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.

Часть 1 — задание №6 -модуль «Алгебра»

Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны, т.е

Используя формулы сокращенного умножения, квадрат разности двух выражений, получим

Решений нет или х=5,5

Часть 1 — задание №6 -модуль «Алгебра»

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысл

Часть 2 — задание №21 -модуль «Алгебра»

Часть 2 — задание №21 -модуль «Алгебра»

Т. к 4-не удовлетворяет ОДЗ, то корнем уравнения является число -2

Часть 2 — задание №21-модуль «Алгебра»

Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны, т.е

Часть 2 — задание №21 -модуль «Алгебра»

Представим левую часть уравнения в виде куба

Кубы чисел равны, если равны сами числа, поэтому получим уравнение

Часть 2 — задание №21 -модуль «Алгебра»

№ 7 Один из корней уравнения

Найдите второй корень.

Т.к один из корней квадратного уравнения равен – 1, то по теореме обратной теореме Виета, получим

0 Ответ: 3-6 » width=»640″

Часть 1 — задание №6 -модуль «Алгебра»

На рисунке изображены графики функций

Вычислите координаты точки B.

Запишите координаты в ответ без пробелов и знаков препинаний.

Т.к графики функций имеют общие точки, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению

Точка В расположена в 4 координатной четверти, значит х0

Повторение. Системы уравнений.

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Решить систему – это значит найти пару значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Две системы уравнений называются равносильными, если любое решение одной системы является решением другой, и наоборот. Если обе системы уравнений не имеют решений, то они также считаются равносильными

Повторение: Методы решения систем уравнений.

1. Решение графическим способом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

2. Решение способом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

3. Решение способом сложения

Способ сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестными

1. строим график первого уравнения;

2. строим график второго уравнения;

3. находим точки пересечения графиков (координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений).

Решить систему уравнений графическим способом

Уравнения. Системы уравнений. Задачи для подготовки к ОГЭ.
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Данный сборник задач составлен в помощь учителю и ученику при подготовки к ОГЭ. Учащийся может самостоятельно изучить тему и потренироваться в решении задач, проверить ответы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Сборник заданий для подготовки учащихся к ОГЭ. Модуль «Алгебра». Часть 2.

Уравнения. Системы уравнений.

Составитель: Глотова Е.В., учитель математики ГБОУ лицей № 373 Московского района Санкт-Петербурга «Экономический лицей».

№1. Решите уравнение .

– биквадратное уравнение. Решим его методом введения новой переменной. Пусть , тогда исходное уравнение примет вид .

Вернемся к исходной переменной:

№ 2. Решите уравнение

. Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого вынесем общий множитель за скобки:

№ 3. Решите уравнение

. Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

№ 4. Решите уравнение .

Раскроем скобки в обеих частях уравнения и упростим его:

№ 5. Решите уравнение

. Решим уравнение методом введения новой переменной.

Пусть = , тогда исходное уравнение примет вид .

Вернемся к исходной переменной:

№ 6. Решите уравнение .

№ 7. Решите уравнение

№ 8. Решите уравнение .

№ 9. Решите уравнение .

Ответ: корней нет.

№ 10. Решите уравнение .

Ответ: корней нет.

2) Выясните, имеет ли корни уравнение .

3) Сколько корней имеет уравнение .

4) Сколько корней имеет уравнение ?

5) Выясните, имеет ли действительные корни уравнение 4 .

№ 1. Решите систему уравнений

1) Приведем второе уравнение системы к целому виду, для этого умножим обе части уравнения на 6. Получим систему уравнений:

2) Выразим из первого уравнения системы переменную y и подставим во второе уравнение системы, получим уравнение

3) Подставим в уравнение , получим .

Пара решение системы.

№ 2. Решите систему уравнений

Из первого уравнения системы находим

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы, получим:

Подставим полученные значения х в уравнение , получим:

№ 3. Решите систему уравнений

Преобразуем данную систему уравнений к виду:

Решением данной системы уравнений являются решения двух систем уравнений:

Решим каждую систему методом сложения.

Подставим полученное значение х в уравнение , получим

№ 4. Решите систему уравнений

Решением данной системы уравнений являются решения двух систем уравнений:

Решим каждую систему.

№ 5. Решите систему уравнений

Выразим из первого уравнения системы переменную x , получим .

Подставим полученное выражение во второе уравнение вместо х , получим

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель y :

Подставим полученные значения y в выражение : .

№ 6. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой .

Координаты точек пересечения параболы и прямой должны обращать оба уравнения в верные равенства, следовательно, составим и решим систему уравнений

Подставим найденные значения х во второе уравнение системы:

1. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой .
2. Вычислите координаты точек пересечения парабол и .
3. Найдите точки пересечения прямой с окружностью
4. Докажите, что парабола и прямая имеют одну общую точку и найдите координаты этой точки.
5. Имеют ли графики функций и общие точки? Если имеют, то в каких координатных четвертях они находятся?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Иррациональные уравнения. Показательные уравнения.Логарифмические уравнения.

Тип урока: Урок повторения. Форма урока – мастерская (групповая работа)Форма урока работа в группах. Коллективная форма работы, которая позволяет создать ситуацию взаимообучения учащихся и сущест.

Итоговый контроль по темам № 1, 2, 3, 4: «Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена»

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации (ГИА) и единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, .

Задания на тему «Уравнения, системы уравнений»

В данном материале собраны различные задания по данной теме.

Учебный модуль по теме » Уравнение. Решение уравнений.Решение текстовых задач с помощью уравнений.»

Данный учебный модуль разработан в рамках персонализированного обучения .Модуль расчитан на 12 часов. Содержитз адания для прохождения уровней цели 2.0,,3.0 и 4.0.В модуле представле.

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Уравнения,системы уравнений. Подготовка к ОГЭ

Подготовка к ОГЭ. Уравнения, системы уравнений.

Задачник с ответами для подготовки к ОГЭ по математике ( задание № 9 , уравнения и системы уравнений)

Данная система заданий позволяет отработать навыки по решению задания № 9 ОГЭ по математике. Для проверки в конце сборника публикуются ответы.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается: