Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Уравнения Максвелла — формулы и физический смысл

Основная идея

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля. Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается. Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем. Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор. По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов. Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt. Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt. Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B. Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды. Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

Дифференциальная запись

Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

1. В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
2. В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
3. При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
4. Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.

Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции. Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле. Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

1. (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
2. (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
3. (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
4. (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде. Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность. Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция. Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле. То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле.

В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ = —dФ/dt ЭДС можно представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил

ℇ = (см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС

ℇ = Магнитный поток по определению Ф = . Подставляя в закон ЭМИ получим

Это первое уравнение Максвелла.

Интеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур ℓ (рис. 30.3).

(Поскольку в общем случае может быть

функцией и координат, то берем частную

производную )

Смысл первого уравнения соответствует

максвелловской трактовке явления ЭМИ, то

есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла

Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен нулю.

Третье уравнение Максвелла

Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости ( ), но и перемещенным электрическим полем («ток смещения» ).

Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).

Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла. Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят различный характер.Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла). А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).

В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться только переменным электрическим полем, а электрическое поле только переменным магнитным полем.

Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.

Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.

ℰℰ

Связь и (лекция №18, часть 3)

μμ

Связь и (лекция №23, часть 3)

σ

Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)

Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса

и Остроградского – Гаусса:

(30-9)

где — некоторый вектор в нашем случае: (О функции rot см. примечание к п.2).

Первое уравнение Максвелла

С другой стороны, используя теорему Стокса, получим

Поскольку равны левые части, равны и правые

Второе уравнение Максвелла

С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса

получаем (30-11)

Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости через плотность токов проводимости

,

с другой стороны

Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений

,

(в последнем уравнении мы заменили — объемная плотность заряда) из которой следует:

Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, а также три материальных уравнения в таблицу:

Интегральная форма	Дифференциальная форма

ℰℰ ; μμ ; σ

Отметим, что физический смысл уравнений в дифференциальной форме такой же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме. Интегрируя их, можно получить , , , .

Примечание.Вихревое электрическое поле характеризуется особой векторной величиной, называемой ротором напряженности поля: . Вектор ротора приложен в центре поля перпендикулярно плоскости его силовых линий (в случае круговых линий – в центре окружностей) и направлен относительно них согласно правилу правого винта.

.

Наглядное представление о роторе вектора можно получить, представив себе небольшую легкую турбинку, помещенную в данную точку текущей жидкости.

3. Волновые уравнения для электромагнитного поля и их решения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Основные свойства электромагнитных волн.

Пусть имеется однородная и изотропная среда вдали от зарядов и токов. Возбудим в какой-либо точке пространства переменное электрическое гармоническое поле (Предположим Для простоты рассматриваем этот частный случай).

Из уравнений Максвелла при условии сделанных предположений можно получить волновые уравнения электромагнитного поля

, (30-14)

где — скорость распространения электро-

Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.

Подставим ℰ = 8,85 μ = в выражение для скорости u. Если среда – вакуум, то ℰ = 1, μ = 1, тогда получим u = ,то есть скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света в вакууме. Это обстоятельство приводит к выводу, что свет — электромагнитная волна.

Решения уравнений (30-14)

(30-15)

Выражения (30-15) – уравнения электромагнитной волны. Их графическое

Как показывает опыт, электромагнитные волны проходят через диэлектрики и отражаются от металлов. Для них свойственны такие явления как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия (рассмотрим далее в разделе «Оптика»).

Итак, из решения уравнений Максвелла получаются следующие выводы:

– если в какой-либо ограниченной области пространства возникает электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды;

– если электрическое и магнитные поля меняются по простому гармоническому закону, то электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде плоской электромагнитной волны.

Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 1549 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ