Система уравнений с арифметической прогрессией

Арифметическая прогрессия: свойства и формулы

О чем эта статья:

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

    Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

«Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. »

Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).

Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.

Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

  • Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4.

    • Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

    Свойства числовых последовательностей:

      Последовательность n> называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

    Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

  • Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

    • Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

    Пример числовой последовательности выглядит так:

    В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

    N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

    Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2. a10. an.

    N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

    • Формула an = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
    • Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6.

    Определение арифметической прогрессии

    Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

    Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

    Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2. an. для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

    an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

    Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

    Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

    Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

    Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

      Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

    Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

    Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d

    Свойство арифметической прогрессии

    Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

    Формула n-го члена арифметической прогрессии

    Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

    Значит,

    Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

    Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

    Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

    Формулы арифметической прогрессии

    В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

    1. Рекуррентной формулой:
    2. Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1).
    3. Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

    Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:

    Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:


    Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

    Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

    Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.

    Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

    Решение арифметической прогрессии:

      Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

    Используем общую формулу an = a1 + d * (n — 1).

    По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

    a10 = a1 + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

    Геометрическая прогрессия

    Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

    Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

    bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

    Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

    Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

    bn = b1 * q n−1 , где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член прогрессии, q — знаменатель.

    Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

    Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

    Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

    Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия»
    методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

    Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход).

    1. Образовательные: 1) обобщение и систематизация теоретического материала по теме: «Арифметическая прогрессия»; 2) отработка умений и навыков применения формулы n-го члена прогрессии, формул суммы n членов прогрессии, 2. Воспитательные: 1) способствовать формированию познавательного интереса у учащихся. 2) расширять научный и культурный кругозор учащихся 3. Развивающие: 1) способствовать развитию у учащихся логического мышления; 2) развить навыки самостоятельной работы; 3) стимулировать развитие монологической речи учащихся.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    konstruirovanie_sistemy_zadach.zip331.27 КБ

    Предварительный просмотр:

    Конструирование системы задач по теме:

    «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» на

    Учитель: Нежлукченко Людмила Викторовна

    1. Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход).

    1) обобщение и систематизация теоретического материала по теме: «Арифметическая прогрессия»;

    2) отработка умений и навыков применения формулы n-го члена прогрессии, формул суммы n членов прогрессии,

    1) способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

    2) расширять научный и культурный кругозор учащихся

    1) способствовать развитию у учащихся логического мышления;

    2) развить навыки самостоятельной работы;

    3) стимулировать развитие монологической речи учащихся.

    Тема «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» изучается в курсе алгебры 9 класса.

    На изучение темы отводится 5 часов на тему: «Арифметическая последовательность».

    Изучение данной темы ведется по учебнику: Мордкович А.Г. Алгебра. 9класс.

    Уровень класса: общеобразовательный.

    n — ый член ариф.

    Формула n-го члена

    первых n ч ленов

    Нахождения ап члена арифметической прогрессии:

    1. Составить математическую модель.

    (составление системы двух линейных уравнений с двумя переменными a1 и d)

    2. Работа с составленной математической моделью.

    (решение составленной системы)

    3. Ответ на вопрос задачи.

    Решения текстовых задач:

    1. Составить математическую модель.

    (составление конечной арифметической прогрессии)

    2. Работа с составленной математической моделью.

    (применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии; нахождение n (может быть несколько))

    3. Ответ на вопрос задачи.

    (выбор подходящего решения)

    1. Задачи на определение вида последовательности (является ли арифметической прогрессией).
    2. Задачи на нахождение первого члена арифметической прогрессии;
    3. Задачи на нахождение разности арифметической прогрессии;
    4. Задачи на нахождение номера члена арифметической прогрессии;
    5. Задачи на нахождение суммы п первых членов арифметической прогрессии.

    Задача 1. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией:

    1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

    Решение: 1) 2,4,6,8,10,12. а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12. Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

    2) х п = 3n + 1.2) х 1 = 4, х 2 = 7, х 3 = 9, х 4 = 12. . Это арифметическая прогрессия у которой х 1 =4 и d=3.

    Задача 2: Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

    Решение: 1) а1=3 и а2=-1; d = а2- a1= -4.

    2) а1=0,7 ; а2=0,9; d = а2- a1= 0,2 .

    Задача 3. Найдите аn, если 1) а1=1, d = 2, n = 11; 2) 4, -2, -8, -14, -20, …, n = 11.

    Решение: 1) a1=1, d = 2, n = 11; an=a1+(n-1)d; a11=1+2(11-1); a11=22 .

    2)a1=1, a2=-2, n = 11; d =-6; an=4+(n-1)(-6); an=10 — 6n.

    Задача 4. Найдите n, если а1=0, d = 0,5, an = 11.

    Решение: an=a1+(n-1)d; 5=0+0,5(n-1); 5=0,5n-0,5; 0,5n=5,5; n=11

    Задача 5. Найдите S n , если известны:

    1) an = 4 п + 3, п = 30;

    2 ) а 1= -3, d = 1,5, п = 16.

    Решение: 1) an=4n+3, n=30; a1=4*1+3=7; а30=4*30+3=123; S30=n(a1+an):2; S30=30(7+123):2; S30=15*130=1950; Ответ: 1950

    2) a1=-3, d=1,5; п = 16; S16= (2a1+d(n-1)*n):2; S16=(2(-3)+1,5(16-1)*16):2;

    S16=(-6+22,5)*8=132; Ответ: 132

    Задачи разных уровней:

    Задача 1 уровня — минимальный уровень

    Задача 2 уровня — общий уровень Задача 3 уровня — продвинутый уровень

    Задача 1 уровня: Найдите девятый член арифметической прогрессии : 3,7, ….

    Решение: a1=3, a2=7; a9-?

    d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35; Ответ: 35.

    Задача 2 уровня: Укажите число неотрицательных членов арифметической прогрессии 13,10,7, … .

    a6=a5+d=1-3=-2 Все последующие члены прогрессии являются отрицательными. Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

    2. Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

    Решение: Из условия задачи следует, что : a 1 =15; a п =105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену: а n =а 1 +d(n-1); 105=15+10(n-1); 10п=100; п=10. Ответ: 10 дней.

    Задача 3 уровня: Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

    Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

    1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

    1. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

    3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

    а1 = 105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

    4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

    а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

    5) S=70336 — 4914 =65422 ; Ответ: 65422.

    Самостоятельная работа (тест)

    1. Про арифметическую прогрессию (аn) известно, что а7 = 8, а8 = 12. Найдите разность арифметической прогрессии.

    А) -4; Б) 4; В) 20; Г) 3.

    2. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

    А) -7; Б) 6; В) 12; Г) 17.

    1. В арифметической прогрессии а1=-7,3 и а2=-6,4. На каком месте (укажите номер) находится число 26?

    А) 39; Б) 38; В) 27; Г) 28.

    4. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой ап =6 n+2. .

    А) 864; Б) 848; В) 792; Г) 716.

    5. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого. Найдите второй и четвёртый члены.

    Ответ: а2 =1; а4 = 7,

    1. Учебник для 9 класса. Мордкович А.Г.,
    2. Задачник для 9 класса. Мордкович А.Г., Александрова Л.А.
    3. Дидактические материалы
    4. Галицкий М.П., Гольдман А.М. Сборник задач по алгебре 8-9 классов.
    5. Кострикина П.В., Семенов.Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов.
    6. Сборники заданий для подготовки к ГИА.
    7. Плакаты
    8. ПК
    9. Мультимедийная установка
    10. ссылки на ЦОР:

    Тема: «Арифметическая прогрессия»

    Тип урока : повторительно-обобщающий.

    Цели : 1.(образовательная) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул; 2. (развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь; 3.(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

    Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал.

    1. Орг.момент, приветствие, пожелания. Сообщение темы, типа и целей урока.
    2. Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.
    3. Тренировочные упражнения-закрепления.
    4. Историческая справка.
    5. Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам.
    6. Выставление оценок, домашнее задание.

      ХОД УРОКА.

      1. Орг.момент, приветствие, пожелания, сообщение темы и целей урока.

      Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами повторительно-обобщающий урок перед контрольной работой. Эмоциональный настрой нашей совместной работы . (На доске в столбик записаны слова : хочу, могу, умею, делаю) учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку. ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!». МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», а вместе с вами сегодня мы движемся только вперед, т.к. слово «Прогрессия» в переводе с греческого языка обозначает движение вперёд. Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока. Давайте, совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их: Умение применять формулы. Умение грамотно говорить … Умение обобщать, систематизировать… Умение логически мыслить… Умение пересказывать… Умение молчать… Я, думаю, что вы не раз использовали в своей речи пословицу «Сделал дело, гуляй смело!» , теперь сформулируйте её для нашего урока алгебры, оставив без изменения её смысл (решил задачу, молодец).

      А теперь, посмотрите друг на друга, и скажите, какие между вами могут сложиться отношения на уроке, и в целом? Итак, ребята, молодцы! Если всё, сказанное вами, обобщить, то мы получим цели урока…

      2. Индивидуальная работа. К доске я приглашаю 4 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С. (ап)- арифметическая прогрессия.

      Дано: а 10 =126,
      d=4.
      Найти: а 1 .

      Дано:
      а 25 =84,
      а 1 =12.
      Найти: d .

      Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

      Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (а п ), в которой а 1 =24 , а 22 =60.

      Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме: Дайте определение арифметической прогрессии + формула. Как найти разность арифметической прогрессии + формула? Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии. Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических преобразований? Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго + формула. Запишите формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.

      Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах. Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», соединив их стрелкой.

      3. Тренировочные упражнения. Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

      Выразите через а 1 и d : а 8 , а 33 , а 100 .

      Найдите а 5 , если а 1 =4 и d=7. Найдите а 12 , если а 11 =20 и а 13 =30. Письменно. 1. Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, заданной под № 5. 2. Выразите ап из прогрессии № 1, и найдите сумму первых 18 членов. 3. Дополнительно. Используя, прогрессию под № 4, найдите сумму первых десяти её членов (два способа по вариантам). Чему равно S п ? 4. Исторический момент Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика). 5. А, сейчас ребята, вы будете работать индивидуально на местах.

      ПОЛУЧИВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННУЮ карточку-задание, трудитесь как пчёлки, ведь недаром их называют «труженицами»

      А. Дано: а п — арифметическая прогрессия а 1 =5, d=2. Найдите : а 6 .

      В. 5,7,9, … — арифметическая прогрессия. Выразите а п .

      С. Дано: а п — арифметическая прогрессия S n =60, а n =2 n +3. Найдите: п.

      6. Выставление оценок. Домашнее задание.

      Система задач трех уровней сложности:

      1. Найдите девятый член арифметической прогрессии ( an ): 3,7, …. .

      Решение: a1=3, a2=7; a9-?

      d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35. Ответ: 35.

      1. Д ано: а п — арифметическая прогрессия а 1 =5, d =2. Найдите : а 6 .
      1. Дано: а 10 =126, d=4. Найти: а 1 .

      Решение: an=a1+(n-1)d; a6=a1+(6-1)d; a6=5+5*2 = 15. Ответ: 15.

      4. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией:

      1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

      Решение: 1) 2,4,6,8,10,12. а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12. Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

      2) хn = 3n + 1.2) х1 = 4, х2 = 7, х3 = 9, х4 = 12. . Это арифметическая прогрессия у которой х1=4 и d=3.

      5. Дана арифметическая прогрессия а1,а2,а3,а4,а5,а6, … .

      а) Известно, что а1,=3,d=67 . Найти а13 .

      б) Известно, что d = 3, а 14 ,=37 . Найти а1 .

      г) Известно, что а1=0, а63=682 . Найти d .

      Решение: Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

      а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1,=3,d=67, n=13 .

      Воспользуемся вышеприведенной формулой:

      аn=а1+d(n-1); а13=а1+d(13-1); а13=а1+12d; а13=3+12*67; а 13 =807.

      б) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: d =3; а14=57, n=14 .

      Найдем а1 , используя вышеприведенную формулу:

      аn=а1+d(n-1); а1=а14-d(14-1); а1=а14-13d; а1=57-13*3= 18 .

      г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1=0; а63=682; n=63 .

      Найдем d , используя вышеприведенную формулу:

      аn=а1+d(n-1); d = (а 63 -а 1 ):(n-1); d = (682 – 0):(63 – 1) =11.

      Ответ: а)807; б) 18; в)11.

      6. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, если известно, что 1) а1=73; d=-1;

      Решение: а) По условию известно, что а1=73; d=-1, n=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии: Sn=(2 а1+d(n-1))*n:2.

      S30=(2*73+(30-1)*(-1 ))*15:2; S30=(146 -29)*15 =1755.

      б) По условию задачи известно, что аn=-2n+8, п=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии: Sn=( n( а1+ аn)):2; а1=-2*1+8=6; а30=-2*30+8=-52; S30=(30 ( 6 — 52 )):2=-690.

      Ответ: а) 1755; б) -6 90.

      1. Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

      Решение: Из условия задачи следует, что : a 1 =15; a п =105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену: а n =а 1 +d(n-1); 105=15+10(n-1); 10п=100; п=10. Ответ: 10 дней.

      2. 5,7,9, … — арифметическая прогрессия. Выразите а п .

      Решение: a 1 =5; a 2 =7. Найдем d: d=a 2 -a 1 =7-5=2.

      а n =а 1 +d(n-1); а n =5+2(n-1); а n =5+2n-2=2п+3.

      3. Укажите число неотрицательных членов арифметической прогрессии 13,10,7, … .

      a6=a1+5d=13-5∙3=-2 Все последующие члены прогрессии являются отрицательными. Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

      4. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии.

      Решение: По условию задачи имеем: a5=8,4; a10= 14,4. Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1):

      Составим систему уравнений и решим ее:

      а 5 =а 1 +4d 8,4 = а 1 +4d d =1,5; а 1 =3,6.

      а 10 =а 1 +9d 14,4 = а 1 +9d

      Опираясь на полученные результаты, найдем а 22 : а n =а 1 +d(n-1); а 22 =а 1 +d(22-1); а 22 =3,6+21*1,2 =28,8. Ответ: 22,8.

      5. В арифметической прогрессии а 5 = — 132; а 6 = — 128. Найти номер первого положительного члена этой прогрессии.

      По условию задачи имеем: а 5 = — 132; а 6 = — 128. Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: а n =а 1 +d(n-1):

      а 5 =а 1 +4d а 6 =а 1 +5d

      Составим систему уравнений и решим ее:

      а 5 =а 1 +4d -132 = а 1 +4d d = 4; а 1 =-148

      а 6 =а 1 +5d -128 = а 1 +5d

      Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство: а n =а 1 +d(n-1)>0; -148+4(n-1)>0; -148+4n-4>0; 4n>152; n>38

      Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству n=39. Ответ: n=39.

      Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов.

      6. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

      Решение: Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994. Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

      а 1 =105, а п =994; d=7. a п =a 1 +(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S 128 =(128(105+994)):2=70336; Ответ: S 128 =70336. Ответ: 70336.

      1 . Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?

      Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой а 1 =4. Так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а d=3 так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Опираясь на полученные выводы, найдем а91 : а n =а 1 +d(n-1); а 91 =4+3(91-1)=274.

      Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена арифметической прогрессии.

      2. Известно, что в арифметической прогрессии а 1 +а 3 =-4, а 4 *а 5 =8.

      Решение: В данной задаче будем использовать формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1)

      а3=а1+2d; а4=а1+3d; а5=а1+4d. Составим систему уравнений:

      а1+а3=-4, а1+а1+2d=-4, 2а1+2d=-4, 2d=-4-а1,

      а4*а5=8. (а1+3d)*(а1+4d)=8. а1 2 +7dа1+12d 2 =8,

      а1 2 +7а1(-2-а1)+3а1(-2-а1) 12(-2-а1) 2 =8,

      6а1 2 +34а1+40=8; а1=-4, а2=-5/3.

      Найдем сумму первых п членов арифметической прогрессий, стоящих в показателях степени.

      3 0 +3 1 +3 2 +. +3 13 .

      3 0 +3 1 +3 2 +. +3 6

      S 14 =0+1+2+. +13; S 14 =(14(0+13)):2=7*13=91;

      S 7 =0+1+2+. +6; S 14 =(7(0+6)):2=42:2=21.

      3 S 14 :3 S 7 =3 91 :3 21 =3 70 .

      4. Арифметическая прогрессия содержит 20 членов. Сумма членов с четными номерами на 80 больше суммы членов с нечетными номерами. Найдите разность прогрессии.

      Решение: а1+а3+а5+а7+. +а19+80=а2+а4+а6+. +а20.

      Используя формулу п члена арифметической прогрессии, выразим каждый член через а1 и d . После преобразований получим: 10 а1+90d+80=10а1+100d; 10d = 80; d = 8. Ответ: 8.

      5. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

      Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

      1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

      1. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

      3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

      а1=105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

      4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

      а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

      5) S=70336 — 4914 =65422; Ответ: 65422.

      По теме: методические разработки, презентации и конспекты

      Интегрированный урок по математики и информатики 9 класс Тема «Прогрессия. Применение формул алгебраической и геометрической прогрессии в электронных таблицах»

      Интегрированный урок по математики и информатики 9 классТема «Прогрессия. Применение формул алгебраической и геометрической прогрессии в электронных таблицах».

      Урок на тему «Решение практических задач с помощью темы «Арифметическая прогрессия»

      Урок разработан для учащихся 9 класса. Цель урока — показать учащимся применение темы «Арифметическая прогрессия» при решении практических задач.

      Конструирование системы задач по теме «Линейная функция»

      Тема «Линейная функция» изучается в 7 классе, на изучение отводится 11 часов. Данная тема является начальным этапом систематической функциональной подготовки учащихся. Учащиеся получают первые .

      Сборник задач по теме: «Прогрессии»

      Задачи по теме : «Прогрессии» для применения на уроках закрепления в 9 классе, для самостоятельной работы.

      Методическая разработка учебного занятия с конструированием оценочных средств по теме «Сумма n первых членов арифметической прогрессии»

      Методическая разработка учебного занятия с конструированием активных, продуктивных и интерактивных оценочных средств согласно ФГОС. Урок открытия новых знаний. Урок по алгебре в 9 классе по .

      Многоуровневая система задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

      Многоуровневая система задач по курсу алгебры и начал математического анализа позволит учащимся успешно освоить программу как на базовом, так и на углублённом уровнях, эффективно подготови.

      Сборник задач по теме: «Прогрессии»

      Задачи по теме : «Прогрессии» для применения на уроках закрепления в 9 классе, для самостоятельной работы.

      Арифметическая прогрессия

      Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2, . , an, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

      где d – это разность арифметической прогрессии.

      Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, . является арифметической прогрессией с разностью d = 4.

      Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

      1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, . является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
      2. Убывающая— арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, . является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
      3. Стационарная— арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, . является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.

      Основные формулы арифметической прогрессии

      Члены арифметической прогрессии

      Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:

      Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:

      Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:

      Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

      Сумма арифметической прогрессии

      Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна

      Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

      Решение задач на арифметическую прогрессию

      Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.

      Доказать, что последовательность, заданная формулой an = 5 + 4n, является арифметической.

      Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.

      an+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

      d = an+1 — an = 9 + 4n — (5 + 4n) = 9 + 4n — 5 — 4n = 4

      Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

      Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a1 = -18 и d = 5

      a20 = a1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77

      S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

      Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, . . Найти номер этого члена.

      Пусть n — номер, который нужно найти.

      Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n

      В арифметической прогрессии a8 = 22 и a14 = 34. Найти формулу для n-ого члена.

      Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:

      Подставив в эти выражения a8 и a14 получаем систему уравнений:

      Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:

      Подставляем d в первое уравнение для получения a1:

      Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:

      an = 8 + 2 ⋅ (n — 1) = 8 + 2n — 2 = 6 + 2n

      Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, . , если их сумма равна 81.

      Из заданной арифметической прогрессии получаем a1 и d:

      И подставляем известные данные в формулу суммы:


      источники:

      http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/08/20/konstruirovanie-sistemy-zadach-po-teme-progressii-arifmeticheskaya

      http://worksbase.ru/matematika/teoriya/8-arifmeticheskaya-progressiya.html

      © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут