Система уравнений с иксом и игреком

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin y = 7—3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin 3x=33 \\ x-3y=38 \end \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

суббота, 1 февраля 2014 г.

Решение системы уравнений

Сегодня мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта система вот так:

x — y = -2
xy — y = 10

Благодаря усилиям многих поколений математиков это увлекательное занятие превратилось в очень нудную процедуру. С таким же успехом и теми же методами церковно-приходские дьячки вдалбливали «Слово Божье». Меня же здесь заинтересовал один момент — насколько правильная та математика, которую нам проповедуют в школе? Ответ я ещё не знаю и пишу эту статью в режиме реального времени. В настоящей математике результат не может зависеть от способа решения. Посмотрим, что получится у нас.

И так, решение системы уравнений мы будем производить способом подстановки. Самый популярный способ в истории человечества. Когда правители направляют свои войска на врагов — это и есть способ подстановки. Сами правители под стрелы и пули не лезут,они подставляют других. Поиск козла отпущения — это ещё одна разновидность способа подстановки, когда ищут того, кто ответит за чужие грехи. Но вернемся к решению нашей системы уравнений.

Говорят, что все изобретения сделаны лентяями ради облегчения собственной жизни. Способы решения, которым нас учат математики — из той же оперы. Давайте проанализируем наши уравнения и попытаемся сделать некоторые выводы. В первом уравнении у нас есть икс без всяких прибамбасов и игрек с прибамбасом в виде знака минус перед ним. Во втором уравнении икс умножается на игрек и присутствует игрек со знаком минус.

Для решения системы уравнений методом подстановки нужно одну неизвестную выразить через другую. Что через что выражать? Для получения результата это не имеет никакого значения. А вот для количества потраченных усилий в ходе решения разница есть. Произведение икса на игрек во втором уравнении сразу должно вас насторожить. Почему? Здесь неизбежно возникнут дроби. А возиться с дробями — удовольствие ниже среднего. Вот смотрите чему будет равен икс:

Теперь посмотрим, чему получится равным игрек:

Такое только в страшном сне может присниться. А ведь эти дроби ещё нужно вставить в первое уравнение и найти значение неизвестной. Мрак.

Смотрим на первое уравнение. Здесь картина гораздо приятнее. Смотрим, как будет выглядеть икс:

Даже у игрека прибамбас в виде знака минус исчезает при телепортации его в другую часть уравнения, за знак равенства. Теперь найдем игрек:

Полученные из первого уравнения выражения для икса и игрека выглядят очень гламурненько и не идут ни в какое сравнение с дробями, полученными из второго уравнения. Мудрый вывод может быть только один — нужно из первого уравнения найти выражение для любой неизвестной и подставить его во второе уравнение.

Какое неизвестное лучше подставлять во второе уравнение? Здесь нужно пользоваться правилом лентяя — чем меньше раз будем подставлять, тем лучше. Во втором уравнении икс представлен в единственном экземпляре и подставлять придется только один раз. А вот игреков у нас аж два. Следовательно, подставлять придется тоже аж два раза.

Вот мы и получили принцип решения заданной нам системы уравнений методом подстановки: из первого уравнения находим икс и подставляем значение икса во второе уравнение. Смотрим, что у нас получилось:

Как видите, у нас получилось квадратное уравнение. С детства не люблю квадратные уравнения, а слово «дискриминант» на меня вселенскую тоску находит. К счастью, времена церковно-приходских решений миновали и у нас появилась замечательная возможность воспользоваться специальной программой для решения квадратных уравнений. Вводим в ячейки значения наших коэффициентов 1; -3; -10 и получаем два значения игрека:

Подставляем эти значения в первое уравнение и получаем значения иксов:

х = у — 2 = 5 — 2 = 3

х = у — 2 = -2 — 2 = -4

В результате решения системы уравнений с двумя неизвестными ми получили две пары значений икса и игрека:

Прежде, чем делать глубоко научные выводы, нужно выполнить проверку. Подставляем каждую неразлучную пару в наши уравнения и смотрим результат. Первая пара пошла на проверку:

ху — у = 3*5 — 5 = 15 — 5 = 10

За ней отправляем другую пару:

х — у = -4 -(2) = -4 + 2 = -2

ху — у = (-4)*(-2) -(-2) = 8 + 2 = 10

Всё чудненько сходится, значит систему уравнений мы решили правильно. Вот теперь и наступил момент познания истины — сейчас мы изменим ход решения системы уравнений. Из первого уравнения найдем игрек и подставим значение игрека во второе уравнение. Вот как это выглядит:

х(х + 2) — (х + 2) = 10

х² + 2х — х — 2 = 10

У нас получилось квадратное уравнение с другими коэффициентами: 1; 1; -12. Вставляем их в дырочки и получаем два значения иксов:

Теперь находим два значения игреков:

у = х + 2 = 3 + 2 = 5

у = х + 2 = -4 + 2 = -2

Как видим, другой ход решения дает точно такой же результат. Вывод может быть только один — математики научились правильно решать системы уравнений. Чему и нас учат. А вот зачем нам это нужно — это уже совсем другой вопрос. Ответ «Все так учились» в современном мире уже не катит, нужны аргументы боле весомые. Разумные существа всегда понимают, что именно и для чего они делают. Дрессированные животные просто повторяют то, чему их научили.

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).