Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.
Задачи:
Образовательные: научить решать некоторые виды уравнений уравнений модулями и параметрами;
Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.
Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.
Структура урока:
Повторение изученного материала (устный счёт).
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Итог урока.
Домашнее задание.
1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»
1) «Уравнения, содержащие модуль»
Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a <
a, если a > 0
0, если a = 0
– a, если a 0 и | a | >a для всех a € R . Неравенство | x | 0) равносильно двойному неравенству – a 0. Неравенство | x | > a, (если a > 0) равносильно двум неравенствам Неравенство | x | > a, (если a : | x + 3 | + | y – 2 | = 4;
Расcмотрим четыре случая
<
x + 3 > 0
<
x> – 3
y – 2 > 0
y> 2
x + 3 + y – 2 = 4
y = – x + 3
<
x + 3 > 0
<
x> – 3
y – 2 <
x + 3 <
x 0
y> – 2
– x – 3 – y – 2 = 4
y = x + 9
<
x + 3 <
x 2 – 1) х = а + 1.
Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения
2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.
Ответ: если а = – 1, то х – любое; если а = 1, то нет решения;
3. Решения примеров (из вариантов С)
1. При каком значении параметра р уравнение | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.
Рассмотрим функцию у = | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 |
Так как х 2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х 2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой
1 2 3 4 х
Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков
Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 2 – | x | = 6 2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах 2 – (а + 1) + а 2 + а = 0?
1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а –12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?
1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а – 12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?
5. Итог урока
1. Определение модуля. 2. Что значит решить уравнение с параметром?
В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.
Решите систему уравнений $$ \left\<\begin\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end\right.$$
Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:
$$\left|x-y\right|=\left\<\beginx-y,\;\mathrm<или>\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm<или>\;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:
Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.
2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;
4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:
Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.
2случай. `x>=0`, `y =0`.
3случай. `x =0` система имеет вид:
Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.
4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.
Выражение `y-1=0`, если `y=1`.
Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:
Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.
Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение
Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.
Калькулятор онлайн. Решение уравнений и неравенств с модулями.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> |x| или abs(x) — модуль x
Введите уравнение или неравенство с модулями Решить уравнение или неравенство
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \( |x-a| \) — это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \( |x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \( |x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \( x_1=1 \) и \( x_2=5 \).
Решая неравенство \( |2x+7| 0 \), то уравнение \( |f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \( \left[\beginf(x)=c \\ f(x)=-c \end\right. \) 2) Если \( c > 0 \), то неравенство \( |f(x)| c \) равносильно совокупности неравенств: \( \left[\beginf(x) c \end\right. \) 4) Если обе части неравенства \( f(x) 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения. Итак, \(x_1=-1, \; x_2=3 \).
Второй способ Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию \( 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 \) или MA + 2MB = 8 ( здесь A = A(–3), B = B(2) ).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может. Рассмотрим случай, когда точка \( M_1(x) \) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид: (х – (–3)) + 2(2 – х) = 8, откуда находим: x = –1. Рассмотрим случай, когда точка \( M_2(x) \) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид: (х – (–3)) + 2(х – 2) = 8, откуда находим: х = 3. Ответ: –1; 3.
Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| |f(x)| \). Отсюда сразу следует, что \( g(x) > 0 \). Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) неравенство \( |f(x)| 0, \\ -g(x) 0 \\ f(x) -g(x) \end\right. \)
Третий способ. Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) обе части неравенства \( |f(x)| 0 \\ (f(x))^2 0 \\ x^2 — 3x + 2 -(2x — x^2) \end\right. \) Решая эту систему, получаем: \( \left\<\beginx(x — 2) 0 \\ (x^2 — 3x + 2)^2 0 \end\right. \Rightarrow \) \( \left\<\begin0 0 \end\right. \Rightarrow \) \( \left\<\begin0 0<,>5 \end\right. \) Из последней системы находим: \( 0<,>5 g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ Если \(f(x) \geqslant 0\), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) > g(x) \). Если \(f(x) g(x) \). Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств: \( \left\<\beginf(x) \geqslant 0 \\ f(x) > g(x) \end\right. \) \( \left\<\beginf(x) g(x) \end\right. \)
Второй способ. Рассмотрим два случая: \( g(x) \geqslant 0, \; g(x) g(x) \) выполняется для всех x из области определения выражения f(x). Если \( g(x) \geqslant 0 \), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно совокупности неравенств \( f(x) g(x) \). Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем: \( \left\<\beging(x) g(x) \end\right. \)
Третий способ. Воспользуемся тем, что при \( g(x) \geqslant 0 \) неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно неравенству \( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| > g(x) \) к совокупности систем: \( \left\<\beging(x) (g(x))^2 \end\right. \)
