Система уравнений с неявными функциями

Неявные функции

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция $F(x,y)$ определена в $R^2$. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$

Множество $G_F$ точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref, было названо графиком уравнения. Через $A_F$ будем обозначать проекцию графика $G_F$ на ось $x$. Будем рассматривать такие уравнения \eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения $x^2 + y^2 — 1 = 0$ есть окружность, график уравнения $(x-1)(x+y-1)=0$ есть пара прямых $x = 1$ и $x+y-1=0$ (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график $G_F$ уравнения \eqref взаимно однозначно проектируется на $A_F$, то существует единственная функция $f: \; A_F\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_F$ ставит в соответствие тот единственный $y$, для которого $F(x,y)=0$. Говорят, что уравнение \eqref определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Но, как правило, график уравнения \eqref не проектируется взаимно однозначно на $A_F$. Тогда на $A_F$ в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика $G_F$ уравнения \eqref. Так, разбивая отрезок $[-1,1]$ точками \(x_0= -1 Рис. 28.2

Меняя местами переменные $x$ и $y$, можно говорить о том, что уравнение \eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную $x$ как неявную функцию переменной $y$.

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref в некотором прямоугольнике.

функция $F(x,y)$ имеет в окрестности точки $(x_0,y_0)$ непрерывные частные производные $F_x(x,y)$ и $F_y(x,y)$;
$F(x_0,y_0)=0$;
$F_y(x_0,y_0)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$. Функция $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(x_0-a,x_0+a)$ и
$$
f'(x)=-\frac.\label
$$

$\circ$ Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ следует, что либо $F_y(x_0,y_0) > 0$, либо $F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0$.

Так как функция $F_y(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ непрерывна и в силу условия \eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция $F_y(x,y) > 0$.

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция $\psi (y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$, так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия $F(x_0,y_0)=0$
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref в силу непрерывности функции $F(x,y)$ должны сохраняться в некоторых окрестностях точек $(x_0,y_0-b)$ и $(x_0,y_0+b)$. Поэтому существует такое $a\in (0,a_1)$, что для всех $x\in [x_0-a,x_0+a]$ выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Возьмем любую точку $x^*\in [x_0-a,x_0+a]$ и рассмотрим непрерывную на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ функцию одной переменной $\varphi (y)=F(x^*,y)$. В силу условия \eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка $y^*\in [y_0-b,y_0+b]$, что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как $\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0$, то функция $\varphi(y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого $x\in [x_0-a,x_0+a]$ найдется единственный $y\in [y_0-b,y_0+b]$ такой, что $F(x,y) = 0$. Это означает, что в прямоугольнике $K$ уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике $K$ функция $F_y(x,y)$ по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение $\alpha$. Так как $F_y(x,y) > 0$ на $K$, то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$

Непрерывная на $K$ функция $F_x(x,y)$ ограничена на $K$. Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение $F(x,y)=0$ определяет в прямоугольнике $a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d$ переменную $y$ как неявную функцию $x$, то связь между $dy$ и $dx$ можно установить, формально дифференцируя тождество $F(x,y(x)) = 0$. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал $d^2y$
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему $m$ уравнений с $n+m$ неизвестными
$$
\left\<\beginF_1(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0\end\right.\label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если $A$ и $B$ — произвольные множества, то их декартово произведение $A\times B$ есть множество пар $(x,y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Так, декартово произведение $[a,b]\times [c,d]$ есть множество пар вещественных чисел таких, что $a\leq x\leq b,$ и $c\leq y\leq d$, то есть прямоугольник в $R^2$.

Клеточной окрестностью точки $x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\\>,\nonumber
$$
где $\varepsilon_i, \; i =\overline<1,n>$ — положительные числа, $x = (x_1,…,x_n)$.

Легко видеть, что в том случае, когда $K_1(x^0)\subset R^n$ и $K_2(y^0)\subset R^m$ — клеточные окрестности, их декартово произведение $K_1(x^0)\times K_2(y^0)$ есть клеточная окрестность точки $(x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0$ в пространстве $R^$.

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая $x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)$, где $y_1=x_,…,y_m=x_$.

Тогда систему уравнений \eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$

Функции $F_i(x,y) = 0$ будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки $(x^0,y^0)$.

Пусть $K(x^0)\subset R^n$ и $Q(y_0)\subset R^m$ есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений $F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>$, определяет в $K(x^0)\times Q(y_0)$ переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$, если для любого $x\in K(x^0)$ найдется единственный $y\in Q(y^0)$ такой, что $F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>$.

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности $K(x^0) \subset R^n$ и $Q(y^0) \subset R^m$ такие, что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$. Неявные функции $y_j =\varphi_j(x)$ непрерывно дифференцируемы в $K(x^0)$ и $y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline<1,m>$.

$\circ$ Воспользуемся методом индукции по числу уравнений $m$. При $m=1$ доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref содержит $m-1$ уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref из $m$ уравнений.

Так как определитель \eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<\begin\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_>\\…&…&…\\\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_>\end>_<(x^0,y^0)>\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ $0$ означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом $0$).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK_1=\displaystyle\left\<(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline<1,n>, \; \vert y_m-y_m^0\vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве $E\subset R^n$ заданы $n$ функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение $f: \; E\rightarrow R^n$, которое каждой точке $x\in E$ ставит в соответствие точку $y=f(x)$, где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка $y=f(x)$ называется образом точки $x$ при отображении $f$. Точка $x$ называется прообразом точки $y$.

Если $\Omega\subset E$, то множество
$$
f(\Omega)=\\nonumber
$$
называется образом множества $\Omega$ при отображении $f$. Если $\omega\subset f(E)$, то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\\nonumber
$$
называется прообразом множества $\omega$.

Пусть $G \subset R^n$ есть открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным в точке $x^0$, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0$ такое, что $\forall x$ таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.

Если $G$ есть открытое множество, а $f: \; G\rightarrow R^n$ — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества $\omega\in f(G)$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\Omega= f^<-1>(\omega)$. Возьмем любую точку $x^0\in\Omega$. Тогда $f(x^0)=y^0\in \omega$. Так как множество $\omega$ открыто, то найдется окрестность $S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega$. В силу непрерывности отображения $f$ в точке $x^0$ найдется шаровая окрестность $S_<\delta>(x^0)$, для которой выполнено условие \eqref.

Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и $\Omega$ — открытое множество. $\bullet$

Как обычно, под окрестностью $A(x^0)$ точки $x^0$ будем понимать любое множество $A$, для которого точка $x^0$ внутренняя.

Пусть $G \subset R^n$ — открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции $f_1(x),…,f_n(x)$, задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в $G$. Непрерывно дифференцируемое отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть регулярным, если в области $G$ якобиан отображения $j_f(x)\neq 0$. Якобианом отображения $j_f(x)$ называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin\frac<\partial f_1(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_1(x)><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial f_n(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_n(x)><\partial x_n>\end.\nonumber
$$

Пусть $G$ — открытое множество в $R^n$, а отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ регулярно. Тогда в каждой точке $x^0\in G$ оно локально регулярно обратимо, то есть $\forall x^0\in G$ найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset G$ и $B(y^0)\subset f(G)$, где $y^0= f(x^0)$, что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ будет взаимно однозначным, причем обратное отображение $f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$ регулярно.

$\circ$ Рассмотрим в $G\times R^n$ систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$

Пусть $x^0$ — произвольная точка множества G и $y^0=f(x^0)$. Тогда функции $F_i(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в $G\times R^n$ и $y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>$. Так как отображение $f$ регулярно, то
$$
<\begin\frac<\partial F_1><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_1><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial F_n><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_n><\partial x_n>\end>_<(x^0,y^0)>=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK(x^0)=\left\\right\>,\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\\right\>,\quad Q(y^0)\subset f(G),\end\nonumber
$$
что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $x_1,…,x_n$ как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных $y_1,…,y_n$:
$$
\beginx_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline<1,n>.\end\label
$$
Пусть $B(y^0)$ есть внутренность $Q(y^0)$:
$$
B(y^0) = \left\

Если $f: \; G\rightarrow R^n$ есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества $\Omega\subset G$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\omega=f(\Omega)$. Возьмем произвольную точку $y^0\in\omega$ и пусть $x^0$ есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset \Omega$ и $B(y^0) \subset \omega$; что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ регулярно обратимо. Поэтому каждая точка $y^0\in\omega$ принадлежит $\omega$ вместе с некоторой окрестностью $B(y^0)$. Множество $\omega=f(\Omega)$ открыто. $\bullet$

Определение неявных функций из системы уравнений

Определение неявных функций из системы уравнений. Наконец, в самом общем случае можно дать систему T уравнений с n — \t переменными: U т)=о>*■ ■ ■ > ут)=®> (7) Р1 (^»1> • • РГ(х>■■•>х п -, г!,•>У1> РТ (Х1,. *•>У1>■** * >Ут)=° -. Здесь речь идет об определении u

u.. . , Ut к «неявной» функции этой системой T переменных из N переменных, x l: _U1—(Х1,. . . , * * * «Ут-/Т S^1>• * * >^л)> Если вы назначите их(5), вы получите тождества о x и. . . X стр. Подробно рассмотрим простейший случай, представляющий собой

систему уравнений d vu x с тремя переменными: P (x, y, g)=0, O (x, y, g)=0. (8) В Людмила Фирмаль

параллелепипеде (a, B\C, e,/) говорится, что эта система определяет y и g как отдельную функцию x\y=/(x) и g=^(x). При этих условиях ясно, что система (8) эквивалентна системе y=/(x), g. — В вопросе о существовании явной неявной функции, которую мы определили в одном уравнении(1)[или(5)], решающую роль играет точка задачи и требование, чтобы выражение удовлетворяло неявной функции y, в

задаче о существовании x, x, которая определяется системой уравнений(8), которую мы теперь переместили, аналогичная роль отводится задаче о существовании неявной функции Y.\ Ru6OU ОГ^Г X, г, г)=(9) 188CH. Неявная функция. Функциональные детерминанты Теорема 3 1) функции P (x, y, x) и O (x, y, x) определены со всеми

подфункциями и непрерывны в некоторой окрестности точек p o (x^, y^, x0) 2) точки p o (

o)= = O » 3)в этой точке детерминанты (^x, y, x,) не равны нулю: (X & Y & g o) 0. Тогда в окрестности a) некоторых Uo4 «^9g o-4″K»), в системе подстановки уравнения (8) p o n e R V o e определяется как однозначная функция x и y(8) в первом уравнении p n o s и l L n S M по формуле x=1G(x, y), получаем n o s и l l l y y p a в системе с (x, y, g)=0, x-i(x, y). Наконец, если вы назначите K (x, y) вместо O вместо x, вы получите более простую, но эквивалентную систему: f (X, y)=0, g=/g (x, y), (10) Здесь для краткости поставим f (x, y)=O (x, y, K (x, y)). (11)

таким образом, мы свели задачу к некоторому доказательству Людмила Фирмаль

(^включенному в 0) окрестности L)=0(x0>Uo>, g(x o>_uo))=o(x0,y0,G0)=0,благодаря(I), (13) и предположим 2) этой теоремы. Осталось подтвердить достижение теоремы 3) условием 1. Когда вы дифференцируете (I) по y, вы находите Fu(x>y)=O y+O^/GU. (14) но я могу получить, различая идентичность U(6)): RG Р У С-^ ‘Г^У -, где к у= — — — — — г. Если присвоить это выражение(14), то результат Fu (x, y)=OU -= RG Вам нужно заменить/g(x, y) справа вместо аргумента x. точка L40 (x0, yo) в левом ответе, точка (13), точка P0 (x0, y, G0) в правом. Согласно условию 3),

определитель точки Po отличается от нуля, поэтому это справедливо и в отношении производной f^. Начиная с L40. Теперь мы имеем право применить к уравнению f (x, _u)=0 теорему 1 и произнести его в окрестности точки L10′. (х0-е,х0+8;у г-у УО+8′) 190CH. Неявная функция. Функциональные детерминанты (Где 0 , определитель (9), в окрестности рассматриваемой точки мы не можем применить теорему только в»специальной»точке, где все три определителя двух координатных матриц исчезают одновременно. Аналогичная теорема может быть доказана о системе уравнений (7) В общем виде методом математической индукции. Индукция находится в числе уравнений, подобных tog, поэтому мы просто получили

случай двух уравнений в одном уравнении. Не останавливаясь на формулировке и доказательстве общих теорем, мы лишь подчеркнем это в вопросе о существовании систем неявных функций…, В t, определяемой системой (7), определитель играет решающую роль Аль-Д11 ‘Ду’ Ал-Ал-Ал. Дуч du3’DUT «Dr, Duz» du-это должно быть отличено от нуля в точке соседства вопроса. Z-это eqanie. Обратим внимание читателя на локальный характер всех теорем существования неявных функций: речь становится 3181§1. Неявная функция 191 Все время только часть соседей может жевать. Однако даже в таком виде эти теоремы полезны, например, для изучения свойств Г Е О М е т р И Ч Е С К О Г О Б а з а в данный момент времени.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Вы здесь:
Home
Математический анализ
Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.

Если $u=f(x_1, x_2, . x_n)-$ дифференцируемая функция переменных $x_1, x_2, . x_n,$ которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной $t:$ $$x_1=\varphi_1(t),\quad x_2=\varphi_2(t),\quad, x_n=\varphi_n(t),$$ то производная сложной функции $u=f(\varphi_1(t)),\,\varphi_2(t),\, \varphi_n(t))$ вычисляется по формуле $$\frac

=\frac<\partial u><\partial x_1>.\frac

+\frac<\partial u><\partial x_2>.\frac

+. +\frac<\partial u><\partial x_n>.\frac

.$$ В частности , если $t$ совпадает , например , с переменной $x_1,$ то » полная » производная функции $u$ по $x_1$ равна $$\frac=\frac<\partial u><\partial x_1>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac.$$ Пусть $u=f(x_1, x_2, . x_n),$ где $$x_1=\varphi_1(t_1, t_2, . t_m),\quad x_2=\varphi_2(t_1, t_2, . t_m),\quad, x_n=\varphi_n(t_1, t_2, . t_m),$$ $(t_1, t_2. t_m) -$ независимые переменные. Частные производные функции $u$ по $t_1, t_2, . t_m$ выражаются следующим образом: $$\frac<\partial u><\partial t_1>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_1>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_1>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_1>,$$ $$\frac<\partial u><\partial t_2>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_2>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_2>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_2>,$$ $$\cdots$$ $$\frac<\partial u><\partial t_m>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_m>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_m>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_m>.$$При этом выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид $$du=\frac<\partial u><\partial x_1>dx_1+\frac<\partial u><\partial x_2>dx_2+. +\frac<\partial u><\partial x_n>dx_n.$$ Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции , вообще говоря , отличаются от выражения вида $$d^mu=\left(\frac<\partial><\partial x_1>dx_1+\frac<\partial><\partial x_2>dx_2+. +\frac<\partial><\partial x_n>dx_n\right)^mu.$$ Например , дифференциал 2- го порядка выражается формулой
Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение $f(x, y)=0,$ где $f-$ дифференцируемая функция переменных $x$ и $y$ определяет $y$ как функцию $x.$ Первая производная этой неявной функции $y=y(x)$ в точке $x_0$ выражается по формуле $$\left.\frac\right|_=-\frac\qquad\qquad\qquad(1)$$ при условии, что $f’_y(x_0, y_0)\neq 0,$ где $y_0=y(x_0), f(x_0, y_0)=0.$
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (1).
Примеры:
7.114. Найти $\frac

,$ если $z=e^<2x-3y>,$ где $x=tg t, \,\, y=t^2-t.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.115. Найти $\frac

,$ если $z=x^y,$ где $x=ln t, \,\, y=\sin t.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.118. Найти $\frac<\partial z><\partial x>$ и $\frac,$ если $z=\ln(e^x+e^y),$ где $ y=\frac<1><3>x^3+x.$
Решение.
Решение.
Найдем частные производные:
7.125. Найти $dz,$ если $z=f(u, v),$ где $ u=\sin\frac,\, v=\sqrt.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.138. Найти $d^2u,$ если $u=f(ax,by,cz).$
Решение.
Обозначим $$x_1=ax,$$ $$x_2=by,$$ $$x_3=cz.$$ Будем пользоваться формулой
Решение.
Найдем частные производные
Решение.
Производную$\frac$ ищем по формуле $$\frac=-\frac.$$ Здесь $f(x,y)=x-y+arctg y.$
Найдем частные производные
Производную второго порядка $\frac$ находим, дифференцируя выражение $\frac=\frac<1+y^2>$ по переменной $x.$
Решение.
Найдем частные производные
Производные второго порядка находим, дифференцируя найденные производные первого порядка по соответствующим переменным.

источники:
http://lfirmal.com/opredelenie-neyavnyh-funkciy-iz-sistemy-uravneniy/
http://mathportal.net/index.php/matematicheskij-analiz/differentsirovanie-slozhnykh-i-neyavno-zadannykh-funktsij