Система уравнений с параметром класс

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корнейII ряд – II вариант

Ответ: корней нетIII ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у — любое
• x=n-2y

в) если m1 и n — любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2 5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b 2bx+2y=b
• bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

• 3х-2у=5
• 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) b10

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin \mathrm & 1 \\ 1 & \mathrm \end= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
\( \mathrm \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=4>& \\ \mathrm <(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2>& \end\right. \) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm>. \)
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \) имеет единственное решение. $$ \left\< \begin < l >\mathrm \left[\begin < l >\mathrm <4-2x,\ \ x\lt 0>& \\ \mathrm <4,\ \ 0\leq x\leq 4>& \\ \mathrm <2x-4,\ \ x\gt 0>& \end\right. & \\ \mathrm & \end\right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Урок по математике на тему «Системы уравнений с параметрами» (9-10) класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Элективный курс. Конспект открытого урока..doc

«Задачи с параметрами»

9 «Д» класс МОУ СОШ № 65

Учитель: Алиско Т. Р.

Элективный курс «Задачи с параметрами»

« Системы уравнений с параметрами»

— обобщить и систематизировать знания учащихся об исследовании линейных и квадратных уравнений при решении задач с параметрами,

— формирование навыков решения задач с параметрами различными способами.

— формирование умений систематизировать полученные знания и применять их при решении задач с параметрами.

— развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся;

— развитее абстрактного мышления (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них)

— формирование коммуникативных навыков, умение работать в парах и группах.

— обеспечение условий для самостоятельной, творческой работы учащихся, для их самореализации

В качестве домашнего задания вам было предложено решить систему уравнений.

Проверим ваше решение.

С помощью документ – камеры демонстрируется решение системы, разбираются различные методы ее решения.

Наш элективный курс посвящен решению одних из самых сложных задач математики – задачам с параметрами. Необходимость изучения этой темы обусловлена в первую очередь общими подходами к исследованиям тех или иных математических функций, которые в свою очередь, мы с вами часто об этом говорили, являются математической моделью жизненных процессов и явлений.

Мы с вами уже рассмотрели некоторые уравнения с параметрами и особенности их решения. Повторим ранее изученный материал.

Вам предлагается проанализировать решение одного уравнения с параметрами и прокомментировать его.

При каких значениях параметра а уравнение ( а +6) х 2 +2 ах +1=0 имеет единственное решение?

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.

4 а 2 -4 а -24=0 Разделим обе части уравнения на 4

Ответ: при а = — 2; а = 3 уравнение имеет единственное решение.

Повторим схему исследования уравнений с параметрами:

— Как вы думаете, какие задания мы сегодня с вами усложним за счет параметра?

— Верно, сегодня мы рассмотрим решения систем уравнений с параметрами.

Я вам предлагаю систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Какие способы ее решения вы можете предложить? Таким образом, цель нашего занятия не просто научиться решать систему уравнений с параметрами , но и рассмотреть различные способы решения: аналитический и графический.

— Кто планирует решать эту систему аналитически? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.

Ребята меняются местами о объединяются в группы, согласно выбранному способу решения.

— Группа, которая выбрала аналитический метод, запишут свое решение в тетрадях и мы рассмотрим его с помощью документ — камеры. А графический способ мы рассмотрим на интерактивной доске.

Вам дается минут 5-7 на решение.

После проверяются и анализируются решения, предложенные ребятами.

Теперь предлагаю вам еще одну систему уравнений. В чем вы заметили отличие?

— Кто сейчас выбирает группу аналитиков? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.

— идет, возможно, переформирование групп.

В течении 10 минут ребята обсуждают решение. После чего снова оба решения проверяются.

Мы сегодня рассмотрели разные методы решения заданий с параметрами. Какой метод вам ближе? Почему?

В качестве домашнего задания я предлагаю вам достаточно сложную систему, аналогичное задание было в этом году на ЕГЭ.

При каких значения параметра система имеет единственное решение

Попробуйте решить ее разными способами.

Выбранный для просмотра документ комментарии к уроку.docx

Программа предпрофильного класса рассчитана на 6 часов: 3 часа – алгебра, 2 часа – геометрия и 1 час- элективный курс

Необходимость более глубокого изучения материала обуславливается тем, что у детей достаточно неплохой уровень математической подготовки, высокая мотивация, они все настраиваются на высокий результат на единых государственных экзаменах. На этих занятиях им подбирается более сложные задания, которые требуют глубокого понимания математики.

В течение 9 класса предполагается два элективных курса:

« Задачи с параметрами»

«Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.»

На данном этапе мы рассматриваем задачи с параметрами.

Все программы, по которым мы работаем, прошли конкурс элективных курсов в 2005 году.

Данное занятие это шестое занятие в данном курсе. Цели на этот урок я ставила следующие:

— обобщить и систематизировать знания учащихся об исследовании линейных и квадратных уравнений при решении задач с параметрами,

— формирование навыков решения задач с параметрами различными способами.

— формирование умений систематизировать полученные знания и применять их при решении задач с параметрами.

— развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся;

— развитее абстрактного мышления (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них)

— формирование коммуникативных навыков, умение работать в парах и группах.

— обеспечение условий для самостоятельной, творческой работы учащихся, для их самореализации.

На занятии предполагается групповая работа. Первоначально группы определяются произвольным образом, в процессе урока группы переформируются в зависимости от выбранного учащимися способа решения задания

( аналитический или графический метод решения).

Выбранный для просмотра документ раздаточный материал.docx

Проверить и оценить решение задания:

При каких значениях параметра а уравнение ( а +6) х 2 +2 ах +1=0 имеет единственное решение?

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.

4 а 2 -4 а -24=0 Разделим обе части уравнения на 4

Ответ: при а = — 2; а = 3 уравнение имеет единственное решение.

_{( для тех, кто выбрал графический способ решения)}

_{имеет единственное решение?}

_{( для тех, кто выбрал графический способ решения)}

_{При каких отрицательных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?}

Выбранный для просмотра документ системы уравнений с параметрами..ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Элективный курс « Задачи с параметрами.» Тема занятия: «Системы уравнений с параметрами.» Учитель математики МАОУ СОШ № 65 г. Тюмени Алиско Татьяна Рудольфовна

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся об исследовании линейных и квадратных уравнений , систем уравнений при решении задач с параметрами, Задачи: образовательные: формирование навыков решения систем уравнений с параметрами различными способами. развивающие: развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся; развитее абстрактного мышления (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них) воспитательные: формирование коммуникативных навыков, умение работать в парах и группах. обеспечение условий для самостоятельной, творческой работы учащихся, для их самореализации

Ход урока: I. Актуализация знаний При каких значениях параметра а уравнение (а+6)х2+2ах+1=0 имеет единственное решение? Решение: Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю. D=(2а)2 — 4(а+6)=4а2-4а-24 4а2-4а-24=0 Разделим обе части уравнения на 4 а2-а-6=0 а = — 2; а = 3 Ответ: при а = — 2; а = 3 уравнение имеет единственное решение.

Устно: При каких значениях параметрa a уравнение (a2-1)x2-( a2-2a-3)x+a+1=0 будет иметь не менее трех различных корней? При каких значениях параметра m квадратный трехчлен x2+m(m-1)x+36=0 является полным квадратом?

II. Выявление места и причины затруднения. Постановка проблемы, формулирование темы занятия, целей урока.

III. Построение проекта выхода из затруднения. При каких значения а система уравнений имеет единственное решение.

IV. Реализация построенного проекта

V. Этап первичного закрепления, систематизации, применения новых знаний, умений При каких отрицательных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение? Сравните, в чем отличие с предыдущим заданием. При каких значения а система уравнений имеет единственное решение.

VI. Включение в систему знаний и повторений. Домашнее задание: При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственной решение? Рассмотрите разные способы решения.

Краткое описание документа:

Конспект занятия элективного курса «Задачи с параметрами» . Тема занятия «Системы уравнений с параметрами» В материале использована программа к интерактивной доске. На занятии предполагается групповая работа. Первоначально группы определяются произвольным образом, в процессе урока группы переформируются в зависимости от выбранного учащимися способа решения задания( аналитический или графический метод решения).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 479 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

Глава 2. Системы уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.03.2020
• 361
• 21

• 27.03.2020
• 158
• 2

• 27.03.2020
• 165
• 1

• 23.03.2020
• 1106
• 4

• 02.09.2019
• 1712
• 23

• 05.08.2019
• 286
• 2

• 24.06.2019
• 460
• 15

• 19.05.2019
• 169
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.04.2020 447
• RAR 1.1 мбайт
• 16 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Алиско Татьяна Рудольфовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1114
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки