Система уравнений с условиями matlab

Решение систем нелинейных уравнений в Matlab

Доброго времени суток! В этой статье мы поговорим о решении систем нелинейных алгебраических уравнений в Matlab. Вслед за решением нелинейных уравнений, переходим к их системам, рассмотрим несколько методов реализации в Matlab.

Общая информация

Итак, в прошлой статье мы рассмотрели нелинейные уравнения и теперь необходимо решить системы таких уравнений. Система представляет собой набор нелинейных уравнений (их может быть два или более), для которых иногда возможно найти решение, которое будет подходить ко всем уравнениям в системе.

В стандартном виде, количество неизвестных переменных равно количеству уравнений в системе. Необходимо найти набор неизвестных переменных, которые при подставлении в уравнения будут приближать значение уравнения к 0. Иногда таких наборов может быть несколько, даже бесконечно много, а иногда решений не существует.

Чтобы решить СНАУ, необходимо воспользоваться итеративными методами. Это методы, которые за определенное количество шагов получают решение с определенной точностью. Также очень важно при решении задать достаточно близкое начальное приближение, то есть такой набор переменных, которые близки к решению. Если решается система из 2 уравнений, то приближение находится с помощью построение графика двух функций.

Далее, мы рассмотрим стандартный оператор Matlab для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, а также напишем метод простых итераций и метод Ньютона.

Оператор Matlab для решения СНАУ

В среде Matlab существует оператор fsolve, который позволяет решить систему нелинейных уравнений. Сразу рассмотрим задачу, которую, забегая вперед, решим и другими методами для проверки.

Решить систему нелинейных уравнений с точность 10 -2 :
cos(x-1) + y = 0.5
x-cos(y) = 3

Нам дана система из 2 нелинейных уравнений и сначала лучше всего построить график. Воспользуемся командой ezplot в Matlab, только не забудем преобразовать уравнения к стандартному виду, где правая часть равна 0:

Функция ezplot строит график, принимая символьную запись уравнения, а для задания цвета и толщины линии воспользуемся функцией set. Посмотрим на вывод:

Как видно из графика, есть одно пересечение функций — то есть одно единственное решение данной системы нелинейных уравнений. И, как было сказано, по графику найдем приближение. Возьмем его как (3.0, 1.0). Теперь найдем решение с его помощью:

Создадим функцию m-файлом fun.m и поместим туда следующий код:

Заметьте, что эта функция принимает вектор приближений и возвращает вектор значений функции. То есть, вместо x здесь x(1), а вместо y — x(2). Это необходимо, потому что fsolve работает с векторами, а не с отдельными переменными.

И наконец, допишем функцию fsolve к коду построения графика таким образом:

Таким образом у нас образуется два m-файла. Первый строит график и вызывает функцию fsolve, а второй необходим для расчета самих значений функций. Если вы что-то не поняли, то в конце статьи будут исходники.

И в конце, приведем результаты:

xr (это вектор решений) =
3.3559 1.2069

fr (это значения функций при таких xr, они должны быть близки к 0) =
1.0e-09 *
0.5420 0.6829

ex (параметр сходимости, если он равен 1, то все сошлось) =
1

И, как же без графика с ответом:

Метод простых итераций в Matlab для решения СНАУ

Теперь переходим к методам, которые запрограммируем сами. Первый из них — метод простых итераций. Он заключается в том, что итеративно приближается к решению, конечно же, с заданной точностью. Алгоритм метода достаточно прост:

1. Если возможно, строим график.
2. Из каждого уравнения выражаем неизвестную переменную след. образом: из 1 уравнения выражаем x1, из второго — x2, и т.д.
3. Выбираем начальное приближение X0, например (3.0 1.0)
4. Рассчитываем значение x1, x2. xn, которые получили на шаге 2, подставив значения из приближения X0.
5. Проверяем условие сходимости, (X-X0) должно быть меньше точности
6. Если 5 пункт не выполнился, то повторяем 4 пункт.

И перейдем к практике, тут станет все понятнее.
Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций с точность 10 -2 :
cos(x-1) + y = 0.5
x-cos(y) = 3

График мы уже строили в предыдущем пункте, поэтому переходим к преобразованию. Увидим, что x из первого уравнения выразить сложно, поэтому поменяем местами уравнения, это не повлияет на решение:

x-cos(y) = 3
cos(x-1) + y = 0.5

Далее приведем код в Matlab:

В этой части мы выразили x1 и x2 (у нас это ‘x’ и ‘y’) и задали точность.

В этой части в цикле выполняются пункты 4-6. То есть итеративно меняются значения x и y, пока отличия от предыдущего значения не станет меньше заданной точности.

k = 10
x = 3.3587
y = 1.2088

Как видно, результаты немного отличаются от предыдущего пункта. Это связано с заданной точностью, можете попробовать поменять точность и увидите, что результаты станут такими же, как и при решении стандартным методом Matlab.

Метод Ньютона в Matlab для решения СНАУ

Решение систем нелинейных уравнений в Matlab методом Ньютона является более эффективным, чем использование метода простых итераций. Сразу же представим алгоритм, а затем перейдем к реализации.

1. Если возможно, строим график.
2. Выбираем начальное приближение X0, например (3.0 1.0)
3. Рассчитываем матрицу Якоби w, это матрица частных производных каждого уравнения, считаем ее определитель для X0.
4. Находим вектор приращений, который рассчитывается как dx = -w -1 * f(X0)
5. Находим вектор решения X = X0 + dx
6. Проверяем условие сходимости, (X-X0) должно быть меньше точности

Далее, решим тот же пример, что и в предыдущих пунктах. Его график мы уже строили и начальное приближение останется таким же.
Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона с точность 10 -2 :
cos(x-1) + y = 0.5
x-cos(y) = 3

Перейдем к коду:

Сначала зададим начальное приближение. Затем необходимо просчитать матрицу Якоби, то есть частные производные по всем переменным. Воспользуемся символьным дифференцированием в Matlab, а именно командой diff с использованием символьных переменных.

Далее, сделаем первую итерацию метода, чтобы получить вектор выходных значений X, а потом уже сравнивать его с приближением в цикле.

В этой части кода выполняем первую итерацию, чтобы получить вектор решения и сравнивать его с вектором начального приближения. Отметим, чтобы посчитать значение символьной функции в Matlab, необходимо воспользоваться функцией subs. Эта функция заменяет переменную на числовое значение. Затем функция double рассчитает это числовое значение.

Все действия, которые были выполнены для расчета производных, на самом деле можно было не производить, а сразу же задать производные. Именно так мы и поступим в цикле.

В этой части кода выполняется цикл по расчету решения с заданной точностью. Еще раз отметим, что если в первой итерации до цикла были использованы функции diff, double и subs для вычисления производной в Matlab, то в самом цикле матрица якоби была явно задана этими частными производными. Это сделано, чтобы показать возможности среды Matlab.

За 3 итерации достигнут правильный результат. Также важно сказать, что иногда такие методы могут зацикливаться и не закончить расчеты. Чтобы такого не было, мы прописали проверку на количество итераций и запретили выполнение более 100 итераций.

Заключение

В этой статье мы познакомились с основными понятиями систем нелинейных алгебраических уравнений в Matlab. Рассмотрели несколько вариантов их решения, как стандартными операторами Matlab, так и запрограммированными методами простых итераций и Ньютона.

Система уравнений с условиями matlab

Дифференциальные уравнения и системы уравнений

Для решения дифференциальных уравнений и систем в MATLAB предусмотрены следующие функции ode45(f, interval, X0 [, options]), ode23(f, interval, X0 [, options]), ode113(f, interval, X0 [, options]), odel5s(f, interval, X0 [, options]), ode23s(f, interval, X0 [, options]), ode23t (f, interval, X0 [,options]) и ode23tb(f, interval, X0 [, options]).

Входными параметрами этих функций являются:

• f — вектор-функция для вычисления правой части уравнения системы уравнений
• interval — массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы;
• Х0 — вектор начальных условий системы дифференциальных систем
• options — параметры управления ходом решения дифференциального уравнения или системы.

Все функции возвращают:

• массив Т — координаты узлов сетки, в которых ищется решение;
• матрицу X, i-й столбец которой является значением вектор-функции решения в узле Тi

В функции ode45 реализован метод Рунге-Кутта 4-5 порядка точности, в функции ode23 также реализован метод Рунге-Кутта, но 2-3 порядка, а функция ode113 реализует метод Адамса.

В М-файле с именем pr 7. m пишем:

Потом в командном окне вызываем функцию ode113:

ode113(@pr7,[0 20],0) %Метод Адамса: @ pr 7 – ссылка на М-функцию, [0 20]- интервалы интегрирования,0 — условие: y(0)=0

Результатом будет график:

Необходимо реализовать метод Рунге-Кутта 4 порядка и решить задачу Коши для предложенной системы дифференциальных уравнений:

В М-файле с именем pr 8. m пишем:

Потом в командном окне вызываем функцию ode 45:

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB. Часть 1

В среде MATLAB можно решать системы диффуров с начальными условиями, краевые задачи, а также решать дифференциальные уравнения в частных производных с помощью инструмента PDE toolbox.

В данном обзоре речь пойдет лишь о системах дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть о задаче Коши. В англоязычной литературе это называется Initial Value Problem.

• каким образом записывать системы диффуров
• как задать начальные условия
• временной интервал
• какой получать результат решения для дальнего использования

Решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно как в MATLAB, так и в Simulink.

В первую очередь, следует определиться, использовать для решения Matlab и его текстовый редактор, или Simulink, где те же системы дифференциальных уравнений могут быть записаны в виде функциональных блоков.

Выбор ваш должен зависеть от задачи. Если Вы, например, хотите смоделировать какой-либо объект управления, описываемый системой диффуров, то в данном случае имеет смысл использовать именно Simulink, так как Вам, впоследствии, понадобиться синтез, например, системы управления, и Simulink подойдет здесь как нельзя лучше.

А вот если у Вас, например, есть необходимость решать системы диффуров с большим количеством уравнений и неизвестных, или специфика Вашей задачи требует особой и специальной настройки численного метода, а также если вы хотите использовать решение диффура в составе других скриптов MATLAB, то Вам имеет смысл решать дифференциальные уравнения способом, о котором пойдёт речь в этом обзоре.

Рассмотрим синтаксис решателей matlab.В качестве аргументов следует подать правую часть системы в виде MATLAB-функции.

На рисунке показан требуемый вид системы, когда выражены старшие производные.

Системы, чей вид отличается от требуемого, следует преобразовать к таковому.

Если функция простая, то её можно записать прямо в поле аргумента, однако, когда речь идёт о системах уравнений, имеет смысл записывать систему уравнений в виде отдельной функции, в том числе и в виде отдельного м-файла. Об этом мы поговорим чуть позже и на конкретном примере.

Также подается интервал времени, на котором будет найдено решение. Интервал задаётся строкой из двух чисел: начальной величины независимого аргумента t и его конечного значения.

Далее задаются начальные условия. Значения всех неизвестных искомых переменных в начале расчёта задаются в виде столбца соответствующей размерности.

Далее, при необходимости, задаются опции. Вот тут и раскрываются широкие возможности MATLAB по настройке решателя. Помимо управления точностью и величиной шага, имеется возможность обрабатывать данные в процессе вычисления, а также выполнять скрипты по завершению вычисления. Но ещё более полезным является опция отслеживания событий по условию, более подробно поговорим об этом дальше. Также есть другие специальные опции, которые могут быть использованы при решении определённых типов систем.

Вы могли заметить, что название функции — odeXY – это обозначение для всех решателей, которых всего 8 штук. В данном ролике мы пользоваться решателем ode45, соответствующего численному по методу Дормана-Принса 4(5). Этого решателя достаточно для подавляющего большинства задач. Остальные решатели будут подробно рассмотрены в приложении к задачам соответствующих типов позже.

Перейдем к примерам.

Рассмотрим 2 примера:

• решение дифференциального уравнения первого порядка.
• решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка.

В качестве уравнение первого порядка рассмотрим логистическое уравнение Ферхюльста, которое описывает динамику численности популяции. Суть уравнения такова: скорость прироста населения y пропорциональна количеству населения, однако лимитирована максимальной численностью популяции.

Забавный факт: Ферхюльст назвал это уравнение логистическим, и никто до сих пор не знает почему, ибо сам Ферхюльст об этом никому не рассказал.

Решение этого дифференциального уравнения выглядит следующим образом.

Пишем функцию в явном виде, задаём интервал расчёта и записываем начальное условие. Пару слов о записи функции подобным образом. Знак собаки в матлабе является оператором создания функции соответствующих переменных. Вы задаёте аргументы функции и саму функцию через пробел, как показано на рисунке.

Перейдем в окно MATLABа и посмотрим, как это выглядит.

Так выглядит скрипт:

Так выглядит график решения дифференциального уравнения:

В качестве примера решения системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрим шарик, подвешенный на пружине, который ещё и тормозит о воздух.

Уравнения показаны на рисунке. Но вид системы отличается от требуемого, в том числе потому, что в нём присутствуют вторые производные. Для приведения системы в требуемый вид выполним 2 простых шага:

Первое: следует заменить переменные соответствующим образом. Теперь у нас 4 неизвестных. Далее следует преобразовать уравнение с учетом замены. Таким образом, мы имеем систему из четырёх дифференциальных уравнений первого порядка.

Настало время её записать.

Итак, мы имеем систему, параметры, интервал времени и начальные условия. Решим же эту задачу скорее.

В отличие от предыдущего примера, систему четырех уравнений проблематично записать в поле аргумента. Поэтому всю систему будем записывать в отдельную функцию.

Эту функцию можно располагать как в самом скрипте решения в самом его конце, так и в виде отдельного m-файла.

На выходе функция должна представлять собой вектор-столбец, который записывается перечислением компонент через точку запятой как показано на рисунке.

Теперь рассмотрим скрипт самого решения.

На этот раз запишем интервал и начальные условия в виде переменных MATLAB. Интервал, соответственно, в виде строки, а начальные условия – в виде столбца длинной 4.

Сообразно с уже разобранным ранее синтаксисом укажем функцию pendulum_np, интервал времени и начальные условия.

Перейдем теперь в окно MATLAB и посмотрим решение.

Так выглядит скрипт:

Запускаем скрипт и получаем графики:

Зачастую хочется, чтобы одну и ту же систему можно было бы решать с разными параметрами, и при этом не менять их в теле самой функции. И это можно, и даже нужно осуществлять.

На рисунке показана функция MATLAB, которая соответствует движению подвешенного на пружине шара, однако можно заметить, что эта функция теперь имеет на 5 аргументов больше.

Параметры задаются в скрипте, а при вызове функции мы обращаемся к уже известному оператору-собаке, которая превращает функцию семи переменных pendulum_n в функцию двух переменных t и X. Вот и всё.

Я вам очень рекомендую разобраться с тем, как работает оператор-собака. В хелпе он называется function-handle. Разобравшись с ним Вам будет работать в среде MATLAB ещё проще и ещё приятнее.

Вывод: не так страшно решать диффуры

Под конец стоит сказать какие вообще системы дифференциальных уравнений матлаб может решать, а может он решать системы практически любых типов.

Их можно, с одной стороны, разделить по степени жёсткости, а с другой стороны, по структуре самой системы.

Когда уравнения представляют поведение системы, которая содержит ряд быстрых и медленных реакций, то такую систему уравнения можно назвать жесткой. Для жестких задач явные численные методы работают плохо, или не работают вовсе. Примером жесткой задачи может являться протекание тока через клеточную мембрану. На самом деле, чёткого разделения между жесткими и нежёсткими системами не существует. Степень жесткости системы формально определяется через собственные значения матрицы Якоби, но давайте не будем закапываться.

Видеообзор по теме решения систем Д/У доступен по ссылке.