Система уравнений в поле комплексных чисел

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.

Поле комплексных чисел

Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — символ, называемый мнимой единицей. Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются

Если мнимая часть равна нулю , то число считается совпадающим с действительным числом . Если действительная часть равна нулю , то число называется чисто мнимым и обозначается просто .

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Множество комплексных чисел обозначается символом . Определим на этом множестве арифметические операции.

Сложение и вычитание в поле комплексных чисел

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:

а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: ;

б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ; нулевой элемент обозначается просто символом нуль ;

г) для каждого комплексного числа существует противоположный ему элемент

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел и называется комплексное число

Умножение и деление в поле комплексных чисел

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

В частности, , то есть .

Правую часть формулы (В.6) можно получить, если перемножить выражения и , как двучлены, и учесть равенство .

Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:

а) операция умножения комплексных чисел коммутативна: .

б) операция умножения комплексных чисел ассоциативна: .

в) существует единичный элемент ; единичный элемент обозначается просто символом единица: ;

г) для каждого комплексного числа , отличного от нуля, существует обратный ему элемент

В самом деле, знаменатель дробей отличен от нуля, так как равенство означает, что и , т.е. . Следовательно, для правая часть определена. Проверим равенство . Используя определение (В.6) и равенство , получаем:

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).

Частным двух чисел и называется комплексное число

Правую часть формулы (В.7) можно получить, если умножить числитель и знаменатель дроби на число .

Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:

Таким образом, множество комплексных чисел является полем.

Пример В.10. Пусть . Вычислить .

Решение. По определению операций получаем

При нахождении произведения и частного использовалось равенство .

Сопряженные числа в поле комплексных чисел

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые — противоположны по знаку. Число, сопряженное числу , обозначается .

Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:

Пример В.11. Решить уравнение .

Решение. Пусть — корень уравнения. Тогда

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем

Из второго уравнения следует, что (случай не подходит, так как уравнение не имеет действительных корней). Подставляя в первое уравнение, получаем . Таким образом, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня .

1. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных сопряженных корня .

2. Равенство (В.7) можно получить, умножая числитель и знаменатель дроби на число , сопряженное числу (см. пример В.10).

3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что

степени с действительными коэффициентами .

4. Рассмотренные ранее числовые поля удовлетворяют включениям , т.е. поле комплексных чисел содержит поле действительных чисел, которое, в свою очередь, содержит поле рациональных чисел.