Система уравнений в школьной программе

Обучение общему приёму решения систем уравнений

Разделы: Математика

В настоящее время образовательные стандарты стали все больше обращаться к компетенциям как к ведущему критерию подготовленности учащихся к эффективной деятельности в определенной сфере. Одна из компетенций – умение ориентироваться в информации, умение ее получать, анализировать и т.д., т.е. учащиеся должны владеть определенными общими приемами деятельности. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс) мы рассмотрим один из таких приемов, касающийся анализа данной системы и построения (выбора) способа ее решения в зависимости от ее вида. При этом закладывается такое важное качество знаний, которое называется обобщенностью.

Основные общие методы решения систем уравнений отрабатываются в средней школе при изучении темы “Системы линейных уравнений” в 7-ом классе. Это метод подстановки, метод сложения, уравнивания коэффициентов. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс по учебнику С.М. Никольского и др.) обычно предполагается тренировка тех же методов на системах другого вида и иногда введение дополнительных общих методов решения систем. В реальной практике, когда ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный способ решения заданной системы. Нами была сделана попытка формирования такой системы знаний и умений. Ведь решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и пр. явлений и процессов.

Покажем на примере нескольких уроков для 8-го класса, каким образом мы планируем организовать совместную деятельность учащихся и учителя по выделению содержания названного умения на первом этапе. Так как одним из компонентов является анализ заданной системы на наличие решений, то один из первых уроков посвятим именно этому вопросу. Затем попытаемся выделить общий прием решения систем уравнений и связать с известными школьникам методами. Для этого нами разработаны рекомендации и специальная система заданий. Принципы построения системы заданий для первого этапа обучения следующие:

– порядок заданий фиксирован, он выполняет направляющую функцию, позволяя школьникам вместе с учителем выстроить ориентировочную основу деятельности по решению произвольной системы рациональных уравнений и создать в итоге схему ее решения,

– каждая следующая система связана с предыдущими заданиями и рассуждениями, но содержит в себе одну или несколько новых важных идей, логично развивающих тему,

– переменные в системах варьируются: не всегда привычные x и y (ведь при моделировании системами уравнений реальных задач из самых разных областей не всегда удобно вводить обозначения x и y),

– помимо заданий, где система уравнений задана, предлагаются и творческие задания, связанные с придумыванием тех или иных систем.

Материалы к урокам

1. Системы, не имеющие решений.

а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):

№ 1. Ответ: .

Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:

и т.д. Ответ: .

Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).

№ 2. Ответ: .

Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.

№ 3. Ответ: .

Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.

Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.

№ 4. Ответ: .

Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.

№ 5. Ответ: .

Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.

б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):

№ 6. Ответ: .

В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x. Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.

Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.

Обсуждение: Как еще можно “построить” противоречивое уравнение? Какие ограничения на значения выражений могут быть? Из этой части урока делам вывод о том, что уравнение (а значит и соответствующая система уравнений) не имеет решений, когда:

а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:

ограничения по знаку: , , ,

дробь при ,

комбинации: , , при и и т.п.

б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):

не существует при ,

не существует при .

Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).

в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:

№ 7. Ответ: .

Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.

№ 8. Ответ: .

Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.

Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.

Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:

Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов:

1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,

2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,

3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.

После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.

На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.

Стоит обратить внимание школьников на различные термины, употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.

Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание: заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или ? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.

2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную.

№ 9. Ответ: и .

Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z. Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.

При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y).

3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена.

Вспоминаем стандартный метод подстановки, известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.

Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение. Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”

Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной, используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z. Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.

Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).

Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы, позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.

Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!

4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены.

На примере этой системы можно “изобрести” новый для 8-классников метод – метод почленного деления. Эта система решается методом деления и решается методом обобщенной подстановки, который в данном случае фактически дублирует в неявном виде метод деления.

№ 17.

Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.

5. Переход к методу сложения.

№ 18. . Ответ: .

Можно выполнить обобщенную подстановку (2 варианта подстановки), а можно сложить уравнения. Вспоминаем метод сложения (метод вычитания). Отметим, что метод сложения в данном случае фактически дублирует метод обобщенной подстановки, лишь немного упрощая выкладки.

Кстати, в данном случае на уровне обыкновенной логики можно было сразу сделать вывод, что решений у системы нет.

6. Случай, когда есть несколько вариантов подстановки.

№ 19.

Есть выбор: иметь дело с целыми числами (если подставлять r 2 ) или с дробными (если подставлять j 2 ). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену, но необходимости нет.

Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).

7. Случай, когда удобна замена неизвестной

№ 20.

Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной.

8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.

№ 21. Ответ: и .

Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.

Из очередной части урока делаем вывод:

Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.

9. Дополнительные задания.

Рассуждаем далее: метод сложения, вычитания, деления был. А как же с методом умножения? Есть ли он? Полезен ли он? Да. Пример:

№ 22. подставляем.

Обобщенный метод подстановки здесь “напрашивается”, т.к. имеются общие выражения (x 2 y), но не помогает. Зато хорошо работает метод умножения одного уравнения системы на другое.

№ 23.

Из первого уравнения системы можно найти и x и y, однако это не пара, которая войдет в ответ.

Придумайте и нарисуйте схему, отражающую предлагаемый вами алгоритм решения произвольной системы уравнений с учетом всего рассмотренного и сказанного на уроках. Так чтобы если дается система уравнений и ваша схема, то, пользуясь последней как подсказкой, человек решил бы данную систему.

На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы, отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.

Системы уравнений в школе

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Июня 2012 в 16:36, курсовая работа

Краткое описание

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.
Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Содержание

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.
Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.
1) Основные определения.
2) Алгебраические системы.
2.1 Системы уравнений первой степени
2.2 Нелинейные системы уравнений
3) Неалгебраические системы.
3.1 Системы, содержащие показательные уравнения
3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Вложенные файлы: 1 файл

Курсовая работа 2.docx

Часть I: Системы уравнений в школьной программе.

Часть II: Методика обучения решению систем уравнений.

1) Основные определения.

2) Алгебраические системы.

2.1 Системы уравнений первой степени

2.2 Нелинейные системы уравнений

3) Неалгебраические системы.

3.1 Системы, содержащие показательные уравнения

3.2 Системы, содержащие логарифмические уравнения

Тема «Системы уравнений» в школьной программе достаточна важна как для самой математики, так и для других наук.

По сравнению с уравнениями с одной переменной системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в её приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда, чем решение с помощью системы уравнений с несколькими переменными. Не случайно, что даже тогда, когда решение задачи без особого умственного напряжения может быть сведено к решению одного уравнения, многие учащиеся предпочитают решать её с помощью системы уравнений.

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Графическое решение систем уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Данная тема является также материалом для организации повторения и систематизации знаний.

А в последние годы, когда экзамены принимаются в форме ГИА и ЕГЭ, на уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Анализ сдачи экзаменов в такой форме за прошлые годы показывает, что с решением систем уравнений справляются не более 25 % выпускников; особые затруднения вызывают у них те системы, которые можно решить только графическим способом. Кроме того, с каждым годом усложняются системы уравнений, которые даются в части «С» и требуют полного развернутого ответа.

Результаты ЕГЭ ещё раз доказывают важность изучения данной темы в школе.

На основании этого была сформулирована цель работы: разработать методику организации повторения и систематизации знаний учащихся, полученных при изучении систем уравнений.

Для достижения цели поставлены задачи:

изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную проблеме повторения и систематизации знаний;

Рассмотреть изложение темы в школьных учебниках 7-11 классов, изучить тематическое планирование;

Разработать методику, направленную на повторение и систематизацию методов решения систем уравнений школьного курса математики.

Работа состоит из трёх глав. В первой главе затронуты вопросы повторения и систематизации систем уравнений, а также приведён обзор рассматриваемой темы в школьных учебниках. Во второй главе дана классификация систем уравнений, рассмотрены методы их решения, приведены примеры решений систем. Каждая часть предусматривает набор задач для закрепления материала, для самостоятельной работы учащихся, а также контролирующие задания. В заключении приведён список используемой литературы.

I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ.

Тема: «Системы уравнений» занимает одно из ведущих мест в учебниках алгебры 7-11 классов у различных авторов.

Все школы нашего района большинство работают по учебнику алгебры авторов Ш.А. Алимова и др., поэтому в своей работе я в большей степени ссылаюсь на данный учебник.

Изучение систем уравнений в основной школе в учебнике авторов Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. распределяется между курсами 7,8,9 классов.

В курсе 7 класса на изучение главы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными» отводится 15 часов.

Основная цель: научить учащихся решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными различными способами и использовать полученные навыки при решении задач.

На тему «Системы уравнений» отводится 2 часа.

Цель первого урока: ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Изложение новой темы начинается с рассмотрения задачи в учебнике:

Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Вводится понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений с двумя неизвестными, приводятся примеры. Далее формулируется определение решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и что значит решить систему уравнений. При закреплении материала отрабатываются навыки выражения одной неизвестной через другую, решаются примеры на проверку, является ли данная пара решением системы. На втором уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения более сложных упражнений, а также проверяется усвоение учащимися данной темы.

На изучение темы: «Способ подстановки» отводится 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Вначале в устной работе рассматриваются упражнения, которые помогут учащимся при изучении нового материала:

P Выразите переменную у через :

P Является ли линейной функция, заданная формулой:

P Назовите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения . Сколько таких решений имеет данное уравнение?

Далее рассматривается решение задачи из учебника:

решить систему уравнений

Вводится алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, рассматривается решение задачи по учебнику:

решить систему уравнений:

При закреплении материала отрабатывается метод на примере систем, у которых в одном из уравнений коэффициент при одном из неизвестных равен единице.

На втором уроке продолжается отработка способа подстановки при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными, при этом рассматриваются системы уравнений, содержащие дроби, скобки; проводится первичная проверка знаний по теме в виде самостоятельной работы обучающего характера.

На третьем уроке закрепляются полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений, проводится проверка усвоения учащимися материала.

На тему «Способ сложения» отводится также 3 часа. Цель первого урока: научить решению системы двух линейных уравнений способом сложения, в необходимых случаях приводя предварительно уравнения системы к виду:

где – целые числа.

Изучение нового материала начинается с рассмотрения решения задач из учебника:

P решить системы уравнений: ,

Затем вводится алгоритм способа алгебраического сложения, далее рассматриваются решения задач в учебнике:

P решить системы уравнений: ,

Второй и третий уроки проводятся аналогично урокам из предыдущей темы; на них проводится выработка навыка применения способа алгебраического сложения к решению систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и проверка знаний по данному вопросу.

На тему «Графический способ решения систем уравнений» отводится 3 часа. Учащиеся из предыдущей главы «Линейная функция и её график» знают определение линейной функции, умеют строить её график, проводить сдвиги графика вдоль оси ординат, читать график. Но в устной работе в начале первого урока по теме, а также на предыдущих уроках полезно включать упражнения типа:

P Принадлежит ли графику линейной функции точка А(0;0); В(0;4); С( ; 0)?

P Проходит ли через точку А(2;6) прямая: ; ; ?

P Известно, что точки А(0;…); В(…;0); С(…;4) принадлежат графику уравнения . Назовите пропущенные координаты.

P Приведите пример линейной функции, график которой параллелен графику функции, заданной уравнением .

P Какие из указанных уравнений с двумя переменными являются линейными:

P В какой точке прямая пересекает ось ОХ? Ось ОУ?

После устной работы рассмотреть текст учебника на страницах 158-159, после чего учащиеся должны усвоить, что графиком любого уравнения является прямая, если хотя бы одно из чисел или не равно 0. Далее ввести правило решения системы графическим способом; обратить внимание учащихся на то, что при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное значение; рассмотреть три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы. В качестве примеров рассмотреть в учебнике решения задач:

P Найти координаты точки пересечения прямых:

P Решить систему уравнений:

P Показать, что прямые и совпадают.

При закреплении материала решаются задачи на нахождение координат точек пересечения прямых с осями координат, на построение графика уравнения, на графическое решение системы уравнений, в одном из уравнений которой выражена неизвестное .

На втором уроке продолжается изучение графического способа решения систем линейных уравнений, отрабатывается навык построения графиков линейных функций.

На третьем уроке закрепляются знания учащихся в ходе выполнения упражнений, требующих творческого отношения к работе; проводится проверка знаний по теме.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа. На данный момент учащиеся умели решать задачи на составления уравнения с одним неизвестным, поэтому материал данного параграфа для них является новым. Изучение нового материала можно начать с решения следующей задачи:

P длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22 см. Найти длину и ширину прямоугольника.

Сначала решаем задачу с помощью одной переменной, при этом можно опираться на знания учащихся по данной теме. После этого, учитель объясняет учащимся, что при решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений, и показывает решение данной задачи вторым способом. В заключении дается схема решения задачи с помощью системы уравнений.

На втором и третьем уроках учащиеся закрепляют навыки решения задач методом составления системы уравнений. На этих уроках в устную работу полезно включать задачи такого типа:

P На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

P Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

P Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?

P Чашка и блюдце вместе стоят 250 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 рублей. Найдите цену одной чашки и одного блюдца.

P Во сколько раз алюминиевый шар тяжелее деревянного шара того же объема, если масса 1 кубического сантиметра – 2,7 грамм, а масса 1 кубического сантиметра дерева – 0,9 грамма?

P Бригада выполнила заказ за 6 дней. Сколько дней потребуется бригаде для выполнения того же заказа, если она будет работать с производительностью труда в 1,5 раза большей; в 2 раза меньшей?

Итоговая проверка знаний по всей главе проводится в виде часовой контрольной работы.

В 8 классе в главе «Квадратные уравнения» продолжается изучение систем уравнений.

В главе на тему «Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени» отводится 3 часа.

Цель этих уроков: повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

В начале изучения нового материала необходимо повторить тот материал, который учащиеся знали из 7 класса. Необходимо вспомнить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными, особое внимание уделив способу подстановки.

Затем изучить материал на странице 137, разобрав решение задачи из учебника:

P гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты.

Далее учитель объясняет решение способом подстановки системы уравнений задачи из учебника :

P решить систему уравнений:

На закрепление материала рассматриваются системы уравнений, одно из которых линейное и имеющее коэффициент при каком-то неизвестном, равный единице. На этом же уроке рассматриваются простейшие задачи, типа: даны сумма и произведение чисел. Найти эти числа.

Цель второго урока: закрепить у учащихся знание решения систем уравнений второй степени способом подстановки и способом сложения.

На третьем уроке учащиеся упражняются в решении более сложных систем уравнений, а также использовании систем при решении задач. На этом же уроке проводится проверка знаний по данной теме.

В 9 классе в главе «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» продолжается изучение систем уравнений.

На тему «Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными» отводится 3 часа. Данная тема не является для учащихся новой. Из 7 класса они умеют решать системы линейных уравнений, знают различные способы решения систем. Из 8 класса учащиеся знакомы с системой уравнений, в которых одно уравнение линейное, а другое второй степени или оба уравнения второй степени. Поэтому начать первый урок по теме целесообразно с повторения данного материала, рассматривая это на конкретных примерах. Затем решить методом подстановки систему уравнений: .

Реализация требований ФГОС ООО при обучении математике учащихся 7 класса теме «Системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра математических дисциплин

ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА

Реализация требований ФГОС ООО при обучении математике учащихся

7 класса теме « Системы линейных уравнений ». Учебник: Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворова «Алгебра. 7 класс»

Выполнил: Группа 12

Котопуло Ариадна Станиславовна

слушатель учебного курса

«Актуальные проблемы развития

учителя математики (в условиях ФГОС)»,

Муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя

общеобразовтельная школа № 25»

Г.о. Подольск Московской области

Руководитель учебного курса:

математических дисциплин АСОУ

Алексеева Елена Евгеньевна

Теоретические и методические основы обучения теме «Системы линейных уравнений»

1. Логико-дидактический анализ темы ……………..……………………….…. 4

1.2. Логико-дидактический анализ материала темы . 7

1.3. Анализ задачного материала темы ……………………………………. 9

2. Тематическое планирование темы ……………..………………………..…. 10

3. Цели обучения теме ………. 11

4. Карта темы ……………………..…. 13

5. Рабочая программа темы ……………………………. 15

Актуальность темы «Системы линейных уравнений» заключается в том, что материал данной темы находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи.

Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется и повторяется пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

Цель проекта : реализация ФГОС ООО при изучении темы Системы линейных уравнений.

Для достижения поставленной цели необходимо решение задач :

Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.

Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.

Разработать таблицу целей и карту обучения теме.

Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое пла-нирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой).

Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики).

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ

«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

1. Логико-дидактический анализ темы « Системы линейных уравнений »

Тема «Системы линейных уравнений» составляет важную часть школьного курса математики, что и определяет цели ее изучения: в процессе обучения происходит ознакомление обучающихся с основами наук; развивается логическое мышление, формируются и закрепляются вычислительные навыки.

Основной учебной задачей при изучении темы «Системы линейных уравнений» является формирование понятий:

линейное уравнение ( Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c , где x и y – переменные, a , b и c – некоторые числа ) ;

решение уравнения ( Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство );

равносильные уравнения ( Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными).

( если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному);

график уравнения ( графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых

являются решениями этого уравнения; графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая );

решение системы уравнений ( решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. );

1. выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

решают получившееся уравнение с одной переменной;

находят соответствующее значение второй переменной );

1. умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

решают получившееся уравнение с одной переменной;

находят соответствующее значение второй переменной );

решение задач с помощью систем уравнений

1. обозначают некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляют систему уравнений;

истолковывают результат в соответствии с условием задачи ).

Понятия вводятся с помощью определений и примеров.

Материал данной темы находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи.

Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется и повторяется пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

Планируемые результаты обучения теме

Ученик научится (1 уровень) :

– Знать: определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения».

– Уметь: решать уравнения с одной переменной, выполнять преобразование систем уравнений, решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения, использовать решение систем уравнений для решения практических задач, строить график линейного уравнения с двумя переменными, решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом, анализировать решение задач из учебника, обобщать их решении с помощью готового предписания, подводить решённые задачи под готовое предписание, перечислять новые преобразования и правила, используя учебник .

Ученик научится (2 уровень) :

– Знать: составление схем определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником.

– Уметь: выполнять анализ и обобщать решение задач одного типа и составлять предписание, используя карточку-информатор, работая в группе, оказывать помощь, рецензировать ответы товарищей, организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах выполнения заданий предыдущего уровня с обоснованием, оказывать помощь, работающим на предыдущих уровнях, составлять контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагать её решить и проверять решение, осуществлять поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.

Ученик получит возможность научиться (3 уровень) :

– Знать: связь данного понятия с ранее изученными, применение правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений, обоснование и доказательство верности выбранного способа решения систем уравнений.

– Уметь: исследовать заданные объекты и самостоятельно составлять схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений», обобщать решение задач одного типа и составлять предписания для решения практических задач, использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности, составлять задания по теме.

1.2. ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛА ТЕМЫ

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Системы линейных уравнений»

Компоненты анализа учебника

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Материал в учебнике по данной теме представлен в шестой главе в §15 и §16 , каждый в свою очередь состоит из 3 пунктов.

Итого, содержание темы представлено в шести пунктах.

структура наименьшей части

Каждый пункт содержит теоретическую часть, примеры, задания для решения и задания на повторение.

Представление задачного материала

задачный материал разбит на следующие основные блоки:

1) по способу задания

2) по характеру требований

3) по сложности (I, II, III уровни)

4) по способу решения

5) по дидактической цели

представление текста задачи

задачи представлены математическим текстом

Другие структурные особенности

При изложении материала используются определения, алгоритмы действий при решении, приведены примеры выполнения заданий.

Теоретический материал рассматривается сначала менее сложный, как примеры, а потом усложняется.

использование цвета, особых выделений главного

Материал для обязательного запоминания выделен цветом и обведён в рамку.

При построении графиков.

В конце каждого пункта есть упражнения для повторения.

Выделены примеры для обязательного решения.

Дополнительные упражнения рассчитаны на сильных учеников.

Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия: линейного уравнения; решения уравнения; равносильных уравнений; свойств уравнений; графика уравнения; решения системы уравнений, решения системы уравнений способом подстановки; решения системы уравнений способом сложения; решения задач с помощью систем уравнений – алгоритмов в теме 3:

1. Алгоритм способа подстановки:

1. выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полу- ченное выражение;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. найти соответствующее значение второй переменной);

2. Алгоритм способа сложения:

1. умножить почленно уравнения системы, подобрав множители так, что- бы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2. сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3. решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. найти соответствующее значение второй переменной);

3. Алгоритм решение задач с помощью систем уравнений:

1. обозначить некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составить систему уравнений;

2. решить систему;

3. истолковать результат (в соответствии с условием задачи).

1.3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Результаты анализа задачного материала темы

По характеру требования

По дидактической цели

Задачи представлены математическим
текстом.

Распознать линейное уравнение.

Найти решение линейного уравнения.

№ 1030-1034 – на применение свойств уравнений.

№ 1036 — задание с параметром.

Отработка понятий:
линейное уравнение, решение линейного уравнения, свойства уравнений.

Решить практическую задачу.

Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Отработка решения задач с помощью уравнения с двумя переменными в натуральных числах.

Задачи представлены математическим
текстом.

Определить принадлежность данной точки графику уравнения

Отработка понятия график линейного уравнения.

Задачи представлены математическим
текстом.

Построить график уравнения

На построение графика уравнения.

Отработка навыка построения графика уравнения

Задачи представлены математическим
текстом.

Найти координату точки по заданной второй координате

Отработка навыка нахождения координаты точки по заданной координате

Задачи представлены математическим текстом.

Проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений.

Выяснить, сколько решений имеет система уравнений.

Отработка понятия решение системы уравнений

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений

Отработка графического способа решения систем уравнений.

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений.

Отработка способа подстановки.

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений.

Отработка способа сложения.

Отработка способов решения систем уравнений при решении текстовых задач

В результате выполнения анализа задач была проведена их классификация по уровню сложности и виду, на основании которой составлена таблица 3.

Классификация задач по теме «Решение систем линейных уравнений»

представленне математическим текстом

№ 1025-1028, 1045, 1046, 1056-1058, 1068-1072, 1082-1085

№ 1029-1034, 1051, 1052, 1053, 1059, 1073-1076, 1086, 1092-1096

№ 1035, 1036, 1062-1064, 1077, 1078, 1087-1091

№ 1047, 1049, 1060, 1061

№ 1041, 1042, 1116-1122, 1104, 1105, 1115

2. Тематическое планирование темы

Тематическое планирование темы « Системы линейных уравнений » составлено на основе примерной Программы основного общего образования по математике, Программы по алгебре Н.Г. Миндюк (М.: Просвещение, 2012) к учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова и др . (М.: Просвещение, 2013). При планировании на изучение темы отводится 3 часов в неделю, дана характеристика основных видов деятельности учащихся (таблица 4).

Тематическое планирование темы « Системы линейных уравнений »,

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

Системы линейных уравнений.

Познакомиться с понятием линейное уравнение с двумя переменными, решением уравнения ax+by=c. Научиться находить точку пересечения графиков линейных уравнений без построения, выражать в линейном уравнении одну переменную через другую.

Строить график уравнения ax+by=c. Освоить алгоритм построения на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам; научиться определять координаты точек; определять, является ли пара чисел решением данного уравнения.

Освоить основные понятия о решении систем двух линейных уравнений. Научиться правильно употреблять термины: уравнение с двумя переменными, система; понимать их в тексте; понимать формулировку задачи решить систему уравнений с двумя переменными; строить графики некоторых уравнений; решать системы уравнений; использовать функционально-графические представления для решения и исследования систем уравнений.

Научиться решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения. Научиться конструировать эквивалентные речевые высказывания с использованием алгебраического и геометрического языков.

Освоить математическую модель при решении алгебраических задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными.

Научиться решать текстовые задачи на составление систем уравнений с двумя переменными.

Научиться применять приобретённые знания, умения, навыки на практике.

Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Линейное уравнение с двумя переменными

График линейного уравнения с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений

работа № 9: « Решение систем линейных уравнений »

Цели обучения теме

Взаимосвязь целей и УУД (таблица 5)

используются и формируются познавательные, коммуникативные, регулятивные УУД…..

формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД)

формируются и используются регулятивные и познавательные общеучебные УУД……

Таблица целей обучения теме «Системы линейных уравнений» (таблица 6)

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Цель считается достигнутой, если ученик:

Ц 1: Приобре-тение и преобра-зование УИ, формиро-вание ПУД

а ) анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения»; б) анализирует решение задач из учебника, обобщает их решении с помощью готового предписания; в) подводит решённые задачи под готовое предписание; г) перечисляет новые преобразования и правила, используя учебник.

а) составляет схему определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником; б) выполняет анализ и обобщает решение задач одного типа и составляет предписание, используя карточку-информатор.

а) исследует заданные объекты и самостоятельно составляет схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» б) обобщает решение задач одного типа и составляет предписания для решения практических задач.

а) схема определения понятия; б) предписания для решения текстовых задач; в) общие приёмы поиска алгоритма решения систем уравнений.

контроль усвоения теории

а) формулирует определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения» б) выполняет преобразование систем уравнений, используя УИ, предписание, карточку-информатор.

а) проговаривает предписания для решения практических задач и решает задачи, используя их; б) рассказывает краткие сведения из истории темы; в ) приводит примеры линейных уравнений с двумя переменными.

а) устанавливает связи данного понятия с ранее изученными; б) применяет правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений; в) обосновывает и доказывает верность выбранного способа решения систем уравнений.

таблицы с предписаниями; карточки-информаторы

Ц 3: Применение знаний и умений

умеет а )решать уравнения с одной переменной; б) решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения; в) использовать решение систем уравнений для решения практических задач; г) строить график линейного уравнения с двумя переменными; д) решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом.

умеет а) использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности; б) составлять задания по теме.

таблицы с предписаниями; карточки-информаторы

Ц 4: формирование КУД

На своём уровне освоения темы : а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; в) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её решить и проверяет решение; г) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.

Приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности

Ц 5: формирование общих ПУД и РУД

В соответствии со своим уровне освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает сою УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД о дальнейших действиях, направленных на коррекцию УПД.

Приёмы постановки целей и саморегуляции УПД

УИ – учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятиные учебные действия .

Карта изучения темы « Системы линейных уравнений »

Блок актуализации знаний учащихся

Знают : преобразования первой и второй групп, определения: линейных уравнений с одной переменными, решения уравнения, правила решения линейных уравнений с одной переменной, графика линейной функции, приём решения текстовых задач.

Умеют : решать линейные уравнения, строить график линейного уравнения.

Выпускник научится (1 уровень)

Знать : определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения».

Уметь : решать уравнения с одной переменной, выполнять преобразование систем уравнений, решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения, использовать решение систем уравнений для решения практических задач, строить график линейного уравнения с двумя переменными, решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом, анализировать решение задач из учебника, обобщать их решении с помощью готового предписания, подводить решённые задачи под готовое предписание, перечислять новые преобразования и правила, используя учебник.

Выпускник научится (2 уровень)

Знать: составление схем определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником.

Уметь : выполнять анализ и обобщать решение задач одного типа и составлять предписание, используя карточку-информатор, работая в группе, оказывать помощь, рецензировать ответы товарищей, организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах выполнения заданий предыдущего уровня с обоснованием, оказывать помощь, работающим на предыдущих уровнях, составлять контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагать её решить и проверять решение, осуществлять поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.

Выпускник получит возможность научиться (3 уровень)

Знать : связь данного понятия с ранее изученными, применение правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений, обоснование и доказательство верности выбранного способа решения систем уравнений.

Уметь : исследовать заданные объекты и самостоятельно составлять схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений», обобщать решение задач одного типа и составлять предписания для решения практических задач, использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности, составлять задания по теме.

IV . Образцы заданий итоговой контрольной работы

1. Решить системы ур-ний:

2. На 1 плащ и 3 куртки пошло 9 м ткани, а на 2 плаща и 5 курток – 16 м. Сколько ткани требуется на пошив плаща и сколько – на пошив куртки?

3. Прямая у = kx + b проходит через точки А и В. Найдите k и b и запишите уравнение этой прямой, если А(0; 2), В(3; -1).

4. Найдите значения a и b , при которых решением системы уравнений является пара x = 1, y = 1:

1. Решить системы уравнений:

2. 2 гири и 3 гантели весят 47 кг, а 3 гири тяжелее 6 гантелей на 18 кг. Сколько весит гиря и сколько — гантель?

3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(-5; 32), В(3; -8).

4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма этих чисел тоже равна 25. Найдите эти числа.

1. Решить системы уравнений:

2. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения.

3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(4; 2), В(-4; 0).

4. Решите уравнение:

V . Средства обучения

схема определения понятия;

приём решения систем: способом подстановки; способом сложения; графическим способом;

приёмы саморегуляции при выполнении преобразований и решения уравнений и систем линейных уравнений;

предписания для решения текстовых задач.

VI . Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

№ 1028,1048,1060, 1061, 1070, 1083, 1099, 1101

№ 1033,1050,1063, 1073, 1087, 1107, 1109, 1112, 1114

№ 1036,1052,1078, 1095, 1115, 1116, 1118, № (со звёздочкой) 1042,1119, 1120, 1121, 1122

VII . Темы индивидуальных заданий

Решение систем линейных уравнений с модулем.

Самостоятельно выбранная тема.

VIII . Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы

Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ;

составление схемы определения понятия, подведение под понятие; постановка и решение проблемы при составлении задачи.

Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить; приёмы саморегуляции.

Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений.

5. Рабочая программа темы

Фрагмент рабочей программа темы ««Системы линейных уравнений»

ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, 13 часов

Тип урока : 1) «открытия» нового знания;

3) построения системы знаний;

4) развивающего контроля.

Форма работы : фронтальная, индивидуальная, групповая

подсказки к поиску решения задач;

презентация по теме;

общая схема определения понятия;

Ц 1: приобретение УИ, формирование логических ПУД;

Ц 2: контроль усвоения теории; формирование;

Ц 3: применение знаний и умений;

Ц 4: формирование коммуникативных организационных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД;

Ц 5: формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД)

Линейное уравнение с двумя переменными

Комбинированный урок: открытия «нового» знания и рефлексии

п.40. Определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Равносильные уравнения с двумя переменными и их свойства

Знают : определения линейного уравнения с двумя переменными и их решения.

Ц 1: анализирует УП и составляет схему определения понятия: «линейного уравнения с двумя переменными», алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимо- проверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности.

График линейного уравнения с двумя переменными

Урок открытия «нового» знания

п.41. График уравнения с двумя переменными

Знают: определение графика уравнения и графика линейного уравнения с двумя переменными.

Ц 1: : анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «график линейного уравнения», «алгоритм построения графика линейного уравнения».

Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности.

График линейного уравнения с двумя переменными

Урок построения системы знаний и рефлексии

п.41. График уравнения с двумя переменными

Знают: определение графика уравнения и графика линейного уравнения с двумя переменными. Умеют : строить графики ли- нейного уравнения с двумя переменными

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятий: «график линейного уравнения», «алгоритм построения графика линейного уравне- ния».

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Урок открытия «нового» знания

п.42. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными и ее решения

Умеют находить решение системы с двумя переменными

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «алгоритм нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными».

Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Урок построения системы знаний и

развивающего контроля, рефлексии

п.42. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными и ее решения. Графический способ решения системы уравнений с двумя пере- менными

Умеют: графически решать системы линейных уравнений и выяснять; сколько решений имеет система уравнений

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «ал- горитм построения графика линейного уравнения», «алгоритм нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: саморегуляция УПД

Урок открытия «нового» знания

п.43. Способ подстановки. Равносильные системы. Алгоритм решения систем способом подстановки

Знают: алгоритм решения системы уравнений способом подстановки

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ подстановки», «равносильные системы

уравнений», «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки». Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности.

Урок построения системы знаний и

развивающего контроля, рефлексии

п.43. Метод подстановки, система двух уравнений с двумя переменными, алго- ритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки.

Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом подстановки по алгоритму, решать системы двух линейных уравнений методом подстановки, выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям.

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: саморегуляция УПД.

Комбинированный урок: открытия «нового» знания и рефлексии

п.44. Система двух уравнений с двумя пере- менными, метод алгебраического сложения.

Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ сложения», «алгоритм решения системы уравнений способом сложения».

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Урок построения системы знаний и

п.44. Система двух уравнений с двумя переменными, метод алгебраического сложения.

Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения. Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом сложения».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Решение задач с помощью систем уравнений

Комбинированный урок: открытия «нового» знания и системы знаний,

развивающего контроля, рефлексии

п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Знают: алгоритм решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Умеют: решать системы двух линейных уравнений методом алгебраического сложения

Ц1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,

организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: саморегуляция УПД.

Решение задач с помощью систем уравнений

Комбинированный урок: системы знаний, развивающего контроля и рефлексии

п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Знают: алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Умеют: решать системы линейных уравнений, выбирая наиболее рациональный путь, решать текстовые задачи повышенного уровня сложности.

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимо- проверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: саморегуляция УПД

Решение задач с помощью систем уравнений

Урок развивающего контроля и рефлексии

п.45. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Знают : алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Умеют: решать системы линейных уравнений, решать текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений.

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности.

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по вы- полненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях.

Ц 5: саморегуляция УПД.

Урок развивающего контроля и рефлексии

П.40-45. Системы ли- нейных уравнений

Умеют: решать системы линейных уравнений способом подстановки и способом сложения, решать задачи.

Ц 2, 3, 5: выбирает задачи своего уровня сложности, решает их, осуществляет самопроверку; делает выводы о качестве собственных знаний, необходимых для выполнения контрольной работы.

Внеурочная самостоятельная деятельность

Темы рефератов, докладов, проектов:

Решение систем линейных уравнений с модулем.

Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы «Системы линейных уравнений» является целью данного проекта.

Для её достижения были решены следующие задачи:

— выявлены теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО;

— выполнен отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ;

— разработана таблица целей и карта обучения теме;

— составлена рабочая программа «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики.

В соответствии с темой «Системы линейных уравнений»

— разработаны методические рекомендации обучения теме «Системы линейных уравнений»

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования : анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с

2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 159 с.

3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно- нравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009. – 24 с.

4. Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.

5. Фундаментальное ядро содержания общего образования (проект). Москва, 2009.

6. Примерная основная образовательная программа образовательного учре- ждения. Основная школа. Москва, «Просвещение», 2011.

7. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии. Л.И. Боженкова. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний,2013.

8. Алгебра в схемах и таблицах. Л И. Боженкова. Москва, 2013.

9. Алгебра. 7 класс. Изд. 18-е / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 2009 г.

10. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. — М.: Издательство «ИЛЕКСА», 2012 г.

11. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 1998 г.

12. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. М.: Издательство «ГЕНЖЕР», 1997 г.

13. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика 7 класс, И.Л.Гусева, С.А.Пушкин, Н.В.Рыбакова, — Москва: «Интеллект – Центр», 2013г.

Материалы по истории математики

Тема индивидуальных заданий: «Системы Диофанта».

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; лат. Diophantus ) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.

Биография

Латинский перевод Арифметики (1621)

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва)

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: .

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» ( ἀριθμός ) и обозначает буквой ς , квадрат неизвестной — символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Другие сочинения Диофанта

Трактат Диофанта О многоугольных числах ( Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей ( ἐπιπεδομετρικά ) и Об умножении ( Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Литература

Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. И. Н. Веселовского; ред. и комм. И. Г. Башмаковой. М.: Наука (ГРФМЛ), 1974. 328 стр. 17500 экз.

В серии «Collection Budé» начато издание: опубликованы 2 тома (кн. 4-7).

Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования , 17, 1967, с. 185—204.

Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения . М.: Наука, 1972. 68 стр. 40000 экз.

(Репринт М.: ЛКИ, 2007)

Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре). Историко-математические исследования , 20, 1975, с. 104—124.

Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта. Историко-математические исследования , 23, 1978, с. 192—225.

Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма . М.: Наука, 1984.

История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Под ред. А. П. Юшкевича. том I: С древнейших времён до начала Нового времени, М., Наука, 1970.

Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки. Историко-математические исследования , 20, 1975, с. 63-103.

Щетников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? Историко-математические исследования , 8(43), 2003, с. 267—277.

Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution. Historia Mathematica , 34, 2007, p. 289—305.

Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra . Cambridge, 1910 (Repr. NY, 1964).

Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Mathematica , 20, 1993, p. 180—192.

Ссылки

Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . Диофант Александрийский (англ.) в архиве MacTutor.