Система уравнений во втором классе

Алгоритм решения уравнений во 2классе
учебно-методическое пособие по математике (2 класс)

Данный алгоритм поможет учащимся второго класса безошибочно решать уравнения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгоритм решения уравнений 2 класс

1. Прочитаю уравнение.

2. Определю неизвестный компонент.

3. Вспомню правило.

4. Найду неизвестное число.

5. Выполню проверку.

Памятка «Как решать уравнения»

Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ, нужно из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.

УМЕНЬШАЕМОЕ, нужно к РАЗНОСТИ

Чтобы найти ВЫЧИТАЕМОЕ, нужно из УМЕНЬШАЕМОГО

Алгоритм решения уравнений 2 класс

1. Прочитаю уравнение.

2. Определю неизвестный компонент.

3. Вспомню правило.

4. Найду неизвестное число.

5. Выполню проверку.

Памятка «Как решать уравнения»

Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ, нужно из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.

УМЕНЬШАЕМОЕ, нужно к РАЗНОСТИ

Чтобы найти ВЫЧИТАЕМОЕ, нужно из УМЕНЬШАЕМОГО

Предварительный просмотр:

Алгоритм решения уравнений 2 класс

1. Прочитаю уравнение.

2. Определю неизвестный компонент.

3. Вспомню правило.

4. Найду неизвестное число.

5. Выполню проверку.

Памятка «Как решать уравнения»

Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ, нужно из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.

УМЕНЬШАЕМОЕ, нужно к РАЗНОСТИ

Чтобы найти ВЫЧИТАЕМОЕ, нужно из УМЕНЬШАЕМОГО

Алгоритм решения уравнений 2 класс

1. Прочитаю уравнение.

2. Определю неизвестный компонент.

3. Вспомню правило.

4. Найду неизвестное число.

5. Выполню проверку.

Памятка «Как решать уравнения»

Чтобы найти неизвестное СЛАГАЕМОЕ, нужно из СУММЫ вычесть известное СЛАГАЕМОЕ.

УМЕНЬШАЕМОЕ, нужно к РАЗНОСТИ

Чтобы найти ВЫЧИТАЕМОЕ, нужно из УМЕНЬШАЕМОГО

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Математика. Алгоритм решения уравнений

Алгоритм решения уравнений в начальной школе.

Памятка для родителей. Алгоритм решения уравнений.

Памятка для родителей. Алгоритм решения уравнений.

Алгоритм решения уравнения

Презентация к уроку математики по теме «Алгоритм решения уравнения» (школа 2100).

Алгоритм решения уравнений

Алгоритм решения уравнения

Презентация «Решение уравнения».

алгоритм решения уравнений в 4 классе

эта памятка поможет ученикам решать уравнения.

Алгоритм решения уравнения

Алгоритм решения уравнения во 2 классе по программе Петерсон.

«Методы решения систем уравнений». Факультатив по математике

Разделы: Математика

При планировании внеклассной работы, ставлю перед собой цель: вызвать интерес учащихся к предмету. Факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащегося, привитию навыков самостоятельной работы и тем самым повышению качества математической подготовки учащегося.

Данный факультатив провела в 9 классе после изучения темы, как повторительно-обобщающий, позволяющий не только обобщить и закрепить полученные знания. На это занятие приглашены 10 участников 7 класса, в котором я работаю (из них 2 содокладчика).

Тип урока – пресс-конференция.

Цели:

1. поиск различных способов и методов решения систем уравнений, умение выступать перед аудиторией с подготовленными сообщениями.
2. стимулирование творческого мышления нестандартными методами.
3. обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме, приучать работе со справочной и дополнительной литературой.
4. развитие математического мышления, взаимовыручки, взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию, правильной математической речи.
5. воспитание чувства ответственности.

Оборудование: плакаты, таблицы, схема, карточки — смотри Приложение 1

Экспертная группа: учитель, родитель, ученик.

Повестка (план конференции):

1. Сообщение 1. Из истории решения систем уравнения /Оглоблина О./ 9 класс
2. Сообщение 2. Решение систем методом подстановки /Хохлов Д./ 9 класс
3. Сообщение 3. Системы симметричных уравнений /Троянова К./ 9 класс
4. Сообщение 4. Системы линейных уравнений с параметрами /Заблоцкий Н./ 7 класс
5. Сообщение 5. Геометрические приемы решения систем уравнений /Кравец В./ 9 класс
6. Сообщение 6. Метод Крамера или метод определителей /Трифонова Е./ 9 класс

Творческая работа – выпуск стенгазеты “Вести с конференции”

1 сообщение

Из истории решения систем уравнений.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII — XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж (портреты находятся на стенде в кабинете).

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Решение этой системы выражается формулами

Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным решать системы уравнений графически.

В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени. Например, Задача № 20. Площади двух своих квадратов я сложил: 25. Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат, получаем у 2 = х 2 + х + 25,

подставив, получаем 1х 2 + 6 х = , решая уравнение, находим х, затем у.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Задача 21. “Найти два натуральных числа, зная, что их сумма = 20, а сумма их квадратов 208”.

Задачу так же решали составлением системы уравнений,

но решал Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, т.е.

x 2 + y 2 = (z + 10) 2 + (10 – z) 2 = 2z 2 + 200, а по условию =208

z = ± 2 z = — 2- не уд. услов. задачи

поэтому, если z = 2 x = 12, а у = 8.

2 сообщение

Решение систем методом подстановки.

С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Покажу как работает этот метод при решении более сложных систем. /Кравец В./

х 2 – ху – 2у 2 = 0

решим полученное уравнение относительно х

Д = у2 — 4•1 (- 2у2) = 9у2 , = 3 | y |

3 сообщение

Решение систем симметрических уравнений.

1)

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка

Преобразуем первое уравнение системы, прибавив к обеим частям ху

х 2 + ху + ху + у 2 = 4 + ху

х 2 + 2ху + у 2 = 4 + ху

Применим универсальную подстановку

Рассмотрим решение еще одной системы

( х + у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5 = ( х 5 + у 5 ) + 5ху (х 3 + у 3 ) + 10х 2 у 2 (х + у)

х 3 + у 3 = ( х + у) 3 – 3ху ( х + у), используем формулу (2)

5 5 = 275 + 5z • 5 3 – 15z 2 •5 + 10z 2 + 5 / : 25

5 3 = 11 + 25z – 3z 2 + 2z 2 , z 2 – 25z + 114 = 0

4 докладчик

Системы линейных уравнений с параметром

Напомню на примерах три случая:

а) когда коэффициенты при х и у не пропорциональны

б) когда коэффициенты все пропорциональны

в) коэффициенты при х пропорциональны коэффициентам при у, но не пропорциональны свободным членам.

Эти знания необходимы при решении следующих заданий:

*Определите все значения параметра а, при которых система уравнений

5 сообщение

Геометрический прием решения систем уравнений

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х 2 + у 2 =3 2 , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3.

Рассматривая второе уравнение у 2 + z 2 = 16, построим BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза.

Третье уравнение y 2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках АВС = 90 0

АС = ( х + z ) = = 5,

Тогда AB 2 = AD • AC, 9 = х • 5, х =

BC 2 = DC • AC, 16 = z • 5, z =

BD 2 = y 2 = x • z =·

BD = = y.

Такой прием дает потерю корней, легко убедиться,

что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие.

Например, чему равно значение выражения

ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

6 сообщение

Система вида называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, где а₁; а₂; в₁; в₂; с₁ и с₂ – числа. И а₁ 2 + в₁ 2 ? 0 а₂ 2 + в₂ 2 ? 0.

Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам данной системы составляем три определителя: (главный), _х – определитель неизвестного х; _у – определитель неизвестного у.

*Найдите все значения параметра b, при которых система имеет единственное решение

Творческая работа по карточкам взаимотренажера “Рисуем координатами”.

Решите системы и постройте фигуру по координатам.

Конференция закончилась. Я верю, что у вас появилось желание попробовать свои силы в решении систем. Возьмите задания и приступайте к творческой работе.

А теперь наступило время оформить следующий выпуск математический газеты “Вести с конференции”.

Список литературы

1. Г.И. Глейзер “История математики в школе”

2. И.Я. Депман “За страницами учебника алгебры”

3. М.Л. Галицкий А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре 8-9”

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.