Исследование СЛАУ. Общие сведения
В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
- единственное решение;
- бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
- ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
- Совместна ли система?
- Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
- Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
- если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
- если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
- если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
- при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
- при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
- при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
- квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
- если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
- если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
- при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
- при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
- когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .
Пример 2
А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0
r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1
А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6
Система линейных алгебраических уравнений
В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.
Определение системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:
Индексы коэффициентов ( aij ) формируются следующим образом:
- i – номер линейного уравнения;
- j – номер переменной, к которой относится коэффициент.
Решение СЛАУ – такие числа c1, c2,…, cn , при постановке которых вместо x1, x2,…, xn , все уравнения системы превратятся в тождества.
Виды СЛАУ
- Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b1 = b2 = … = bm = 0 ).
В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:
- Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 . - Несовместная – система не имеет решений.
Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.
Матричная форма записи системы
СЛАУ можно представить в матричной форме:
- A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
- X – столбец переменных:
- B – столбец свободных членов:
Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:
Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.
Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:
Расширенная матрица СЛАУ
Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B , разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.
Для примера выше получается так:
– обозначение расширенной матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды
Определение СЛАУ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
$$\left\<\begin
Упорядоченный набор значений $$\left\
Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:
$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin
Виды систем
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система $\left\<\begin
Система $\left\<\begin
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Система $\left\<\begin
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
Задание. Систему $\left\<\begin
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:
$$A=\left(\begin
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$\left(\begin
Расширенная матрица системы
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin
Решение. Матрица системы $A=\left(\begin
http://microexcel.ru/slau/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_1.php