Система уравнений является статически неопределимой если

iSopromat.ru

Статически неопределимыми называют системы, в которых для определения опорных реакций либо внутренних усилий одних только уравнений статики недостаточно.

Статическая неопределимость возникает из-за наличия дополнительных или «лишних» связей.

Здесь под словом «лишние» понимаются дополнительные опоры (связи) добавление которых не влияет на геометрическую неизменяемость системы в целом.

Дополнительные опоры увеличивают прочность и жесткость систем, что позволяет делать их более экономичными.

Степень статической неопределимости систем

Степень статической неопределимости n определяется по формуле:

где,
k – количество неизвестных усилий (реакций связи),
m – количество уравнений равновесия которые можно составить для данной системы.

Системы, для которых n=1 называют однажды статически неопределимыми, n=2 – дважды СН и т.д.

Примеры статически неопределимых систем

В качестве примера рассмотрим следующий случай:

Консольная балка, закрепленная только в жесткой заделке – статически определима, так как в опоре данной схемы могут иметь место не более трех опорных реакций (вертикальная и горизонтальная силы и момент).

Как известно из курса теоретической механики для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия. Трех уравнений для определения трех неизвестных вполне достаточно.

Теперь, если добавим к рассматриваемой схеме еще одну опору, например шарнирно-подвижную, то балка становится статически неопределимой, так как количество неизвестных связей увеличилось до четырех, а уравнений равновесия по-прежнему можно составить только три.

В данном случае для расчета опорных реакций не хватает еще одного уравнения, т.е. система один раз (однажды) статически неопределима.

Если к данной системе последовательно добавлять опоры, то степень неопределимости также будет возрастать.

В таких случаях для расчета величины и направления неизвестных усилий потребуются дополнительные уравнения.

Другие примеры СНС

Примеры однажды статически неопределимых систем (n=1):

Статически неопределимая стержневая система

Раскрытие статической неопределимости

Расчет усилий в лишних связях называется раскрытием статической неопределимости системы.

Существует несколько способов раскрытия статической неопределимости, принцип которых основан на:

1. равенстве нулю соответствующих перемещений точек системы на опорах;
2. зависимости (совместности) деформаций элементов системы.

Наиболее универсальным из них является метод сил.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Статически неопределимые системы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сущность статически неопределимых систем

Статически неопределимая система – это геометрически неизменяемая система, в которой усилия в опорах, стержнях и т.д. не могут определяться с помощью одних лишь уравнений статики. Такие системы требуют совместное рассмотрение статических уравнений равновесия совместно с дополнительными уравнениями, которые характеризуют деформации системы.

Статически неопределимая система характеризуется наличием «лишних» связей, которые допускается удалить, не нарушив при этом геометрической неизменяемости системы. Количество дополнительных уравнений, которые следует составить для определения усилий, будет равно числу «лишних» связей (лишних неизвестных). Данное число еще называют степенью статической неопределимости системы, о ней также пойдет речь в настоящей статье. Для определения усилий в подобных системах чаще всего используют метод сил и метод перемещений. Метод сил также используется при механизированном расчете строительных конструкций.

Из вышеизложенного следует, что степень статической неопределимости системы может быть найдена по формуле:

Здесь $k$ – число неизвестных усилий (например, реакций связи), которые требуется определить, $m$ – число уравнений равновесия, которые можно составить для настоящей системы.

Системы, в которых $n = 1$ называются однажды статически неопределимыми, при $n = 2$ – дважды статически неопределимыми и т.д.

В качестве примера можно рассмотреть случай с заделанной с одной стороны консольной балкой. Поскольку в такой опоре существует три опорные реакции, данная система будет являться статически определимой, ведь из курса теоретической механики известно, что для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия.

Если добавить к вышеописанной системе еще одну опору, например, шарнирно-подвижную, то такая балка становится статически неопределимой один раз, поскольку количество неизвестных увеличивается до четырех, а уравнений равновесия для данного случая можно составить только три.

Готовые работы на аналогичную тему

Таким образом, если к рассматриваемой системы прибавлять последовательно по одной опоре, то степень статической неопределимости также будет увеличиваться на единицу. В таких случаях для определения величины и направления неизвестных усилий потребуется составление дополнительных уравнений.

Процесс определения усилий в «лишних» связях системы называют раскрытием статической неопределимости. Существует ряд способов раскрытия статической неопределимости, их принцип основан на двух положениях. Первое основано на равенстве нулю соответствующих точек системы на ее опорах, второе – на совместности деформаций всех или нескольких элементов системы.

Степень статической неопределимости

Следует заметить, что перед расчетом любой системы методами строительной механики необходимо определить степень статической неопределимости этой системы. Как уже упоминалось выше, для простейших систем (балок и элементарных рам) степень статической неопределимости будет равна числу «лишних» связей.

Дополнительные связи в системах можно удалить, не нарушив при этом их геометрической неизменяемости. Особенностью большинства этих связей является то, что реакции от внешних усилий в них определить нельзя с помощью одних лишь уравнений статики. Такие связи называют условно необходимыми. Наряду с ними в системах часто имеются связи, усилия в которых можно определить из условий равновесия. Такие связи называют абсолютно необходимыми. Удаление этих связей приводит к преобразованию системы в геометрически неизменяемую или мгновенно изменяемую.

Следует различать внешне и внутренне статически неопределимые системы. Первые представляют собой системы, в которых имеются только «лишние» внешние связи (например, опорные закрепления). Внутренне статически неопределимыми называют системы, обладающие «лишними» связями, которые обычно вводятся для взаимного соединения частей системы.

Однако, для определения степени статической неопределимости сложной системы следует понимать разницу между простым и сложным шарниром. Простым называют шарнир, соединяющий два стержневых элемента. Шарнир, соединяющий три и более стержня, называют сложным. Количество простых шарниров в системе можно определить по формуле:

Ш = СТ – 1,

где СТ – количество стержневых элементов в узле.

Понятие о статически неопределимых системах

Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств:

1. Они надежнее, разрушение некоторых элементов не всегда приводит к разрушению всей системы.

2. Они выдерживают бо́льшую нагрузку.

3. У них деформации меньше.

4. Изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия.

5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов.

У статически неопределимых систем есть так называемые «лишние» связи, число которых называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости n простой системы определяется из дискового аналога по следующей формуле:

.

Например, степени статической неопределимости балки (рис. 7.1 а) и рамы (рис. 7.1 в) будут:

Использование этой формулы при расчете сложных рам затруднительно. Поэтому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей системы; 2) удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов (см. рис. 7.1 б, г, е).

Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равняется трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из n_к замкнутых контуров, из которых удалены n_уд связей, будет

При использовании этой формулы для балки (рис. 7.1 а) и рам (рис. 7.1 в, д) в этих системах необходимо определить общее число замкнутых контуров n_к и удаленных связей n_уд (рис. 7.4 б, г, е). Тогда

Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле

n= n_С+ n –2n_У .

Например, для фермы (рис. 7.1 ж): n=6+3–2×4=1.

Выбор основной системы

Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС).

Например, у балки (рис. 7.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б).

Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему.

Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 7.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.

Итак, основная система должна быть:

1) обязательно геометрически неизменяемой;

2) простой для расчета;

3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки.

Сущность метода сил

В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил.

Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а).

Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю:

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения D_X (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения D_P (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому

Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнениемсовместности деформаций.

Так как сила X неизвестна, перемещение D_X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение d, возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить.

По закону Гука, в линейно-упругой системе D_X=d X. Тогда последнее уравнение принимает вид

Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны d и D_P, из него определяется неизвестная сила: X= –D_P/d .

Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X₁, X₂, . X_n. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:

= + +×××+ +D_1P=0,

= + +×××+ +D_2P=0,

D_n= + +×××+ +D_nP =0.

При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей по различным направлениям эти уравнения приводятся к системе уравнений:

+ X₂+×××+ X_n+D _P=0,

+ X₂+×××+ X_n+D_2P=0,

+ X₂+×××+ X_n+D_nP=0.

Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены D_iP называются грузовыми коэффициентами.

Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:

d= ; X = ;D_P = ; 0 = ,

где d – матрица податливости, X – вектор неизвестных, D_P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:

d X +D_P = 0.

Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных:

X =–d –1 D_P.

Здесь d –1 – обратная матрица податливости.