Курс I. Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в произвольной среде таковы

(1a)

система (1a) замыкается материальными соотношениями . Здесь — векторы электрической и магнитной индукции; — плотность токов проводимости; — плотность электрических зарядов; — величины, характеризующие свойства среды и считающиеся при этом заданными функциями точки, но не времени; — сторонние электродвижущие силы – заданные функции точки и времени.

Заметим, что в приведенном, общепринятом виде (1a) формулировка уравнений принадлежит Герцу (Максвелл уравнения приводил в интегральной форме).

Заметим также, что система (1a) – это постулат, обобщающий все известные до Максвелла явления электричества и магнетизма (Кулон 1785 г. – закон взаимодействия электрических зарядов; Эрстед 1820 г. – магнитное действие тока, существование связи между магнитными и электрическими явлениями; Ампер – все магнитные явления в природе вызваны электрическими токами (теория молекулярных токов Ампера); Фарадей 1831 г. – электромагнитная индукция; и т. д.)

Волновое уравнение. Электромагнитная природа света.

Для интересующих нас в дальнейшем диэлектриков с , система Максвелла принимает вид

(1.1)

.

откуда, если диэлектрическая проницаемость не зависит от времени, получаем

(1.2)

Из векторного анализа известно

,

тогда (1.2) принимает вид

(1.3)

Далее, из условия находим

, (1.4)

В результате, вместо (1.3) имеем

(1.5)

Аналогично, для найдем

(1.6)

В случае однородных диэлектриков , и (1.5),(1.6) принимают вид

(1.7)

Уравнения (1.7) называются волновыми. Их справедливость ограничена лишь требованием однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости и свободных зарядов.

К ним относятся как граничные условия на поверхностях разделов сред, так и условия на границах рассматриваемой области пространства. Последние полностью определяются конкретными условиями задачи (например, условия на бесконечности).

Условия на границах разделов для диэлектриков (отсутствие поверхностных зарядов и токов проводимости) эквивалентны уравнениям

, , (1.8)

где индексы 1 и 2 относятся к двум граничащим средам, а t означает любое направление, касательное к поверхности раздела.

Плоские электромагнитные волны

Одним из простейших решений волнового уравнения является плоская волна.

Волна называется плоской, если в любой момент времени во всех точках произвольной плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, векторы поля постоянны. Если этим направлением считать ось z, то компоненты поля плоской, монохроматической волны имеют вид

, , (1.9)

где — частота; векторы , вообще говоря, комплексные и зависят только от координаты z.

Подстановка (1.9) в волновые уравнения (1.7) дает

, , (1.10)

где — волновое число в диэлектрике.

Элементарно решив (1.10), найдем решения волновых уравнений в случае плоских волн в виде

, , (1.11)

каждое из которых представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси z. Здесь — произвольные постоянные интегрирования.

Обычно, в качестве решения рассматривается одна из волн, например,

, . (1.12)

С помощью найденного простейшего решения (1.12) можно продемонстрировать ряд важнейших общих свойств электромагнитных волн.

В частности, если ось z координатной системы не совпадает с направлением распространения волны, дифференцирование векторов поля по координатам сведется к их умножению на величину , где — единичный вектор в направлении распространения. Для однородных диэлектриков из уравнений Максвелла имеем

, , (1.13)

откуда следует, что векторы и перпендикулярны к , т. е. плоские электромагнитные волны – суть поперечные волны.

По аналогии, дифференцирование векторов поля по t сводится к их умножению на . В частности, из второго уравнения Максвелла (1.1) получаем

,

или, с учетом ,

. (1.14)

Последнее означает, что векторы и взаимно перпендикулярны, а три взаимно перпендикулярных вектора , и образуют правовинтовую систему.

Из (1.14) следует также, что , т. е. отношение числовых значений векторов и от времени не зависит, т. е. эти векторы обладают одинаковыми фазами и изменяются синхронно.

Всегда следует помнить, что физический смысл компонент поля, записанных в комплексной форме (см., например, запись (1.12)), несут лишь действительные части этих выражений. При этом каждая из декартовых компонент электрического и магнитного векторов поля плоской, монохроматической волны имеет вид

a>0. (1.15)

Здесь обозначает переменную часть фазового множителя, т. е.

, (1.16)

— направление распространения волны; — постоянная часть этого множителя.

Совместим ось z c . Тогда, в силу поперечности волны отличными от нуля будут только x — и y-компоненты векторов. Исследуем характер кривой, которую конец электрического (или магнитного) вектора описывает в произвольной точке пространства. Эта кривая – геометрическое место точек с координатами

(1.17)

a) Эллиптическая поляризация

После несложных математических операций исключим из (1.17) и получим

, (1.18)

где .

В аналитической геометрии показывается, что (1.18) представляет собой уравнение конического сечения, а более конкретно – уравнение эллипса. Этот эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины и . Таким образом, конец электрического вектора описывает эллипс в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Аналогично показывается, что конец магнитного вектора поля также описывает эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами в раз большими. Последнее следует, в частности, из соотношения (1.14).

Из общих физических соображений следует также различать две возможные эллиптические поляризации в соответствии с направлением, в котором конец электрического вектора описывает эллипс. В литературе сформировалось определение, согласно которому правой поляризация называется, когда наблюдателю, смотрящему навстречу световому лучу, кажется, что конец электрического вектора движется по часовой стрелке. Для левой эллиптической поляризации справедливо обратное.

Поскольку параметры в предыдущем рассмотрении были произвольными, то эллиптическую поляризацию электромагнитных волн следует считать наиболее общим из состояний поляризации. Более частные типы поляризации соответствуют определенным соотношениям между этими параметрами.

b) Линейная и круговая поляризации

Перейдем к рассмотрению частных случаев.

,

то эллипс (1.18) превратится в прямую линию. В самом деле, уравнение (1.18) переходит при этом в

, (1.19)

а конец электрического вектора в прямоугольнике колеблется вдоль одной из его диагоналей.

Иногда эта линейная поляризация называется еще плоской поляризацией. Понятно, что в этой ситуации магнитный вектор также линейно поляризован.

Другим частным случаем эллиптической поляризации является круговая. Переход от эллиптической к круговой поляризации происходит тогда, когда, во-первых, и, во-вторых,

, .

Уравнение (1.18) переходит при этом в уравнение окружности

, (1.20)

где также различают правую и левую поляризации.

Круговая поляризация иногда называется циркулярной.

Итак, во всех случаях поляризованного света концы векторов поля в каждой точке движутся периодически. В случае же неполяризованного света они движутся совершенно нерегулярно, и такие световые колебания не имеют никаких преимущественных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Основные законы оптики – преломление света, отражение, полное внутреннее

Применим теперь найденные выше для плоских волн соотношения к исследованию распространения этих волн при наличии плоской границы, разделяющей два однородных, изотропных диэлектрика, занимающих два полупространства.

В задаче о преломлении волн на границе полубесконечной среды физический смысл имеет решение, основанное на предположении о наличии трех волн: падающей, отраженной и преломленной.

Падающая на границу волна порождает новый волновой процесс.

По определению плоская волна полностью определена, если известно ее поведение во времени в некоторой точке пространства. Вторичные поля, возникающие на границе, будут так же изменяться во времени, как и первичное поле падающей волны. Поэтому переменные части фазовых множителей трех волн в произвольной точке должны быть одинаковыми:

, (1.21)

где — единичные векторы в направлениях падающей, отраженной и преломленной волн; — скорости распростра

нения волн в обеих средах.

Выбрав в качестве границы раздела плоскость z=0, (1.21) запишем в виде

. (1.22)

Равенства должны выполняться для любых значений x и y на границе. Это дает

(1.23)

откуда следует, что все три вектора лежат в одной плоскости с нормалью к границе (в плоскости падения).

Выберем в качестве плоскости падения плоскость xz. Тогда y-компоненты векторов равны нулю, а прочие таковы:

(1.24)

где — углы, которые образуют с осью z (рис. 1).

Из (1.24) и (1.23) имеем

(1.25)

откуда , и из рис. 1 видно, что , т. е. угол падения равен углу отражения. В этом состоит закон отражения.

Из (1.25) следует также

(1.26)

Последнее соотношение вместе с утверждением, что нормаль к преломленной волне лежит в плоскости падения составляет закон преломления (или закон Снеллиуса).

Если > (луч падает из более плотной в менее оптически плотную среду), то из (1.26) видно, что для любого угла падения существует вещественный угол преломления ( воспользуемся им и положим

Тогда (1.27) примет вид

(1.28)

Ясно также, что физический смысл имеет лишь нижний знак перед корнем во втором сомножителе в (1.28).

Из (1.28) следует, и это подтверждается опытным путем, что электромагнитное поле в среде 2 все же не равно нулю. Волна (1.28) представляет собой неоднородную волну, распространяющуюся в плоскости падения вдоль x по поверхности раздела сред и с экспоненциально падающей с ростом z амплитудой. Эта волна не является поперечной, поскольку ее компонента электрического вектора . Эффективная глубина ее проникновения в обе стороны от поверхности раздела сред оказывается порядка длины волны.

1. . Электромагнитные волны. Сов. Радио, 1957.

2. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М., Наука, 1970.

3. . Основы теории электричества. М., Наука, 1989.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Первое уравнение Максвелла определяет источники электрического поля. Электрические заряды создают вокруг себя электрические поля. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Исходным для этого уравнения является уравнение Гаусса, которое говорит о том, что поток вектора через замкнутую поверхность S равен заряду q, заключенному в данной поверхности:

где ρ – объемная плотность заряда.

Для того чтобы получить дифференциальную форму, воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, которая устанавливает связь между объемным и поверхностным интегралом:

Дивергенция (расходимость) векторного поля – величина мощности источника поля.

Дивергенция является скалярной величиной:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Второе уравнение Максвелла устанавливает для любых магнитных полей отсутствие свободных магнитных зарядов и то, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В интегральном виде этот факт записывается в виде уравнения:

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю, поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено.

Применяя теорему Гаусса – Остроградского:

Третье уравнение Максвелла— это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

где Ф – поток магнитной индукции, пронизывающий проводящий контур и создающий в нем ЭДС.

ЭДС создается не только в проводящем контуре, но и в некотором диэлектрическом контуре в виде электрического тока смещения.

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. Т.е. переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Четвертое уравнение Максвелла — это обобщение закона Ампера и Био-Саварра для токов смещения: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур.

Физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением электрического поля во времени в этой области (токами смещения).

Циркуляция вектора по контуру L равна сумме токов проводимости и смещения.

Получим дифференциальную форму уравнения Максвелла. Для этого воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где и – соответственно электрическая и магнитная постоянная,

ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость,

– удельная проводимость вещества.

Уравнение плоской электромагнитной волны (ЭМВ). Поперечный характер ЭМВ. Амплитудные и фазовые соотношения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

Процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной. На электромагнитной волне колеблются векторы напряжённости во взаимно перпендикулярных плоскостях в одной фазе – они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.

Различают плоские, сферические, цилиндрические и другие волны. Простейшими из них являются плоские волны. Плоскойназывается волна, у которой поверхности равных фаз – параллельные плоскости. Если поверхности равных амплитуд совпадают с поверхностями равных фаз, то такая волна называется однородной.

В однородной волне векторы изменяются в пространстве только вдоль одного направления, перпендикулярно фазовому фронту этой волны и совпадающего с направлением ее распространения.

ЭМВ — это поперечные волны, т.е. векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Исследуем плоскую ЭМВ, распространяющуюся в однородной нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями .

Тогда уравнения Максвелла принимают вид:

Направим ось x перпендикулярно к волновым поверхностям.

Векторы и их компоненты по осям зависят от одной координаты (х) и от времени (t). Тогда уравнения для имеют вид:

Решения этих уравнений – уравнения электромагнитной волны: