Уравнения Максвелла для электромагнитного поля, как способ описания электромагнитных явлений

В линиях электропередач, электротехнических и электронных устройствах имеют место целые системы заряженных частиц, тел и контуров с токами, взаимодействующих друг с другом. В результате этих взаимодействий возникают электромагнитные явления, которые зависят не только от процессов в заряженных частицах, телах и контурах с токами, но и окружающей среды, в которой распространяется электромагнитное поле. Электрическое поле принято характеризовать вектором электрической напряжённости- Е, а магнитное поле вектором магнитной напряжённости – H.

В макроскопическом понимании (т.е. в целом) процессы в электромагнитных полях описывают уравнениями Максвелла, которые основаны на обобщении законов Ампера, Фарадея и Гаусса. Уравнения Максвелла, в интегральной форме, приведены ниже, в таблице 1.1.

Энергия, носителем которой выступает электромагнитное поле:

где ε_а = εε₀, μ_а = μμ₀ — абсолютные электрическая и магнитная проницаемости среды, в которой находится электромагнитное поле ; ε = ε_а / ε₀, μ = μ_а / μ₀ — значения относительной электрической и магнитной проницаемости ; ε₀ = 8,854·10 -12 Ф/м, μ₀ = 1,257·10 -6 Гн/м — электрическая и магнитная проницаемость вакуума. В соответствующих физических таблицах, в зависимости от редакции, могут приводиться как относительные, так и абсолютные значения вышеупомянутых величин.

В вакууме, электромагнитные волны перемещаются со скоростью с = (ε₀μ₀) -1/2 =2,999·10 8 м/с, а в среде со скоростью υ = с(ε·μ) -1/2 . Отношение скоростей распространения электромагнитных волн в вакууме и среде n = c/υ=(ε·μ) 1/2 принято называть показателем преломления среды.

В уравнениях Максвелла, электромагнитные свойства среды, в общем случае, учитывают из опыта значениями удельной объёмной проводимости γ, электрической ε и магнитной μ проницаемостей в соответствии с уравнениями: δ_пр = γЕ, D = εE, B = μH.

Где; δ_пр — плотность электрического тока проводимости;

D – вектор индукции электрического поля;

B – вектор индукции магнитного поля.

До настоящего времени (с 1873г.) не было ни одного факта ставящего под сомнения уравнения Максвелла, хотя среди некоторых физиков и существует мнение об их некорректности. Применяют уравнения Максвелла не только для описания явлений электромагнитного поля. Они вошли и в квантовую механику, положив начало квантовой электродинамике, а также были одной из отправных точек при создании общей теории относительности Альберта Эйнштейна (отчасти от них попала в формулы теории относительности скорость света).

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Первое уравнение Максвелла определяет источники электрического поля. Электрические заряды создают вокруг себя электрические поля. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Исходным для этого уравнения является уравнение Гаусса, которое говорит о том, что поток вектора через замкнутую поверхность S равен заряду q, заключенному в данной поверхности:

где ρ – объемная плотность заряда.

Для того чтобы получить дифференциальную форму, воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, которая устанавливает связь между объемным и поверхностным интегралом:

Дивергенция (расходимость) векторного поля – величина мощности источника поля.

Дивергенция является скалярной величиной:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Второе уравнение Максвелла устанавливает для любых магнитных полей отсутствие свободных магнитных зарядов и то, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В интегральном виде этот факт записывается в виде уравнения:

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю, поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено.

Применяя теорему Гаусса – Остроградского:

Третье уравнение Максвелла— это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

где Ф – поток магнитной индукции, пронизывающий проводящий контур и создающий в нем ЭДС.

ЭДС создается не только в проводящем контуре, но и в некотором диэлектрическом контуре в виде электрического тока смещения.

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. Т.е. переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Четвертое уравнение Максвелла — это обобщение закона Ампера и Био-Саварра для токов смещения: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур.

Физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением электрического поля во времени в этой области (токами смещения).

Циркуляция вектора по контуру L равна сумме токов проводимости и смещения.

Получим дифференциальную форму уравнения Максвелла. Для этого воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где и – соответственно электрическая и магнитная постоянная,

ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость,

– удельная проводимость вещества.

Уравнение плоской электромагнитной волны (ЭМВ). Поперечный характер ЭМВ. Амплитудные и фазовые соотношения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

Процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной. На электромагнитной волне колеблются векторы напряжённости во взаимно перпендикулярных плоскостях в одной фазе – они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.

Различают плоские, сферические, цилиндрические и другие волны. Простейшими из них являются плоские волны. Плоскойназывается волна, у которой поверхности равных фаз – параллельные плоскости. Если поверхности равных амплитуд совпадают с поверхностями равных фаз, то такая волна называется однородной.

В однородной волне векторы изменяются в пространстве только вдоль одного направления, перпендикулярно фазовому фронту этой волны и совпадающего с направлением ее распространения.

ЭМВ — это поперечные волны, т.е. векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Исследуем плоскую ЭМВ, распространяющуюся в однородной нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями .

Тогда уравнения Максвелла принимают вид:

Направим ось x перпендикулярно к волновым поверхностям.

Векторы и их компоненты по осям зависят от одной координаты (х) и от времени (t). Тогда уравнения для имеют вид:

Решения этих уравнений – уравнения электромагнитной волны: