Систему уравнений колмогорова в общем виде

Уравнения Колмогорова.
Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент и, задав малый промежуток , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.

1. Система в момент с вероятностью находилась в состоянии , а за время не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент с вероятностями (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .

Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии , т.е. при начальных условиях .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).

Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

Решив систему, получим .

Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Так как больше (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния

для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной , и переход системы из состояния в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние — при гибели одного члена популяции.

Решая систему (14), (15), можно получить

Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

Уравнения Колмогорова

Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы S₀, S₁, S₂ (см. рис. 6.2.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния S_i в состояние S_j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями l_ij, а обратный переход — под воздействием другого потока l_ij, Введем обозначение р_i как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_i. Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное условие — сумма вероятностей всех состояний равна 1:

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Dt, и найдем вероятность p₁(t + Dt) того, что система в момент времени (t + Dt) будет находиться в состоянии S₁, которое достигается разными вариантами:

а) система в момент t с вероятностью p_i(t) находилась в состоянии S_i и за малое приращение времени Dt так и не перешла в другое соседнее состояние — ни в S₀, ни в S₂. Вывести систему из состояния S₁ можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (l₁₀ + l₁₂) , поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S₁ за малый промежуток времени Dt приближенно равна (l₁₀ + l₁₂)×Dt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна [1 — (l₁₀ + l₁₂) × Dt]. В соответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии S₁ на основании теоремы умножения вероятностей, равна:

б) система находилась в соседнем состоянии S₀ И за малое время Dt перешла в состояние S₁. Переход системы происходит под воздействием потока l₀₁ c вероятностью, приближенно равной l₀₁ Dt.

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, в этом варианте равна p₀(t) l₀₁Dt;

в) система находилась в состоянии S₂ и за время Dt перешла в состояние S₁ под воздействием потока интенсивностью l₂₁ с вероятностью, приближенно равной l₂₁Dt. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, равна p₂(t)l₂₁Dt.

Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

которое можно записать иначе:

Переходя к пределу при А/ -^ О, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

что является дифференциальным уравнением.

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО S_i в функции времени p_i(t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S₀ равна p₀ = 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S0. Например, при отсутствии заявок на обслуживание k = 0, p0 = 0,2, следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S₀ и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то, заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность р_i рассматриваемого состояния S₁ умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) из данного состояния S_i систему, а справа от знака равенства — сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние S_i систему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1:

Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний S₀, S₁, S₂ рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:

Пример 1. Составим систему уравнений Колмогорова в общем виде для случая, когда граф состояний имеет вид (рис. 6.2.2):

Плотность вероятностей этих переходов указана рядом с соответствующими стрелками. Пользуясь приведенными выше правилами, получаем систему уравнений:

К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S₁, то начальные условия можно записать так:

Переходы между состояниями СМО происходят под воздействием поступления заявок и их обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени Dt, т.е. величиной элемента вероятности перехода l_ij Dt, где l_ij — интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния / в состояние j (по соответствующей стрелке на графе состояний).

Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:

Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функции времени ведут себя таким образом, что существует

независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при t®¥ и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислить предельные вероятности состояния p_i можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при t®¥ зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.

Пример 2. Запишем систему алгебраических уравнений для вычисления предельных вероятностей состояний системы, изображенной на рис. 6.2.2.

Для этого допустим, что

= 0 (i = 1; 2; 3; 4),

тогда из записанной ранее в примере 1 системы уравнений Колмогорова получаем:

l21p23 — l12p1 =0,

l12p1 + l23p^3 — (l21 + l23)p2 =0,

l23p2 + l43p4 -(l32 +l34)p3 =0,

И, Кроме того, мы должны учесть нормировочное условие:

Любое из уравнений записанной системы можно исключить, использовав вместо него нормировочное условие.

Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). В качестве примеров СМО в финансово- экономической сфере можно привести системы, представляющие собой банки, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы. В сфере производства и обслуживания примерами СМО могут служить: различные системы связи (телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы, автозаправочные станции, магазины, парикмахерские, билетные кассы, пункты обмена валюты, и т.д. Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами (приборами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры), линии связи, машины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути и т.д.

СМО могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а случайные моменты времени. Обслуживание заявок, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, а при свободных каналах на входе СМО заявки не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:

1) входящий поток заявок;

3) каналы обслуживания;

4) выходящий поток обслуженных заявок.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров — характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели решаются задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов и их производительности и правил работы СМО.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно, выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО — среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО — отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.7. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.9. Среднее число заявок, находящихся в СМО.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО — по-требитель», где под потребителем понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.).

Отметим, что третья группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок, и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс.

Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае — моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае — состояние СМО).

Для решения задач теории массового обслуживания необходимо этот случайный процесс изучить, т. е. построить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, если протекающий в ней случайный процесс является марковским. В этом случае работа СМО сравнительно легко описывается с помощью аппарата конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном функционировании СМО) — с помощью аппарата конечных систем линейных алгебраических уравнений, и в результате удается выразить в явном виде основные характеристики эффективности функционирования СМО через параметры СМО, потока заявок и дисциплины работы СМО.

Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были пуассоновскими. В СМО потоками событий являются потоки заявок, потоки «обслуживания» заявок и т.д.

6. Потоки событий

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Переводы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием событий — поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует так называемый ноток событий. Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Обычно поведение системы обычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками. Так, например, обслуживание клиентов в ателье определяется потоком посетителей и потоком обслуживания; в этих потоках случайными явля-ются моменты появления клиентов, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого клиента. Поток характеризуется интенсивностью X — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если вероятность появления к событий за промежуток времени длительностью I зависит только от длительности промежутка t и не зависит от начала отсчета. Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени DeltaT двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t1 и t2

число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход каждого из них, не связаны с аналогичными причинами других покупателей.

Поток событий называется простейшим (или пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет

8. Системы массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков.

По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (когда име-ется один канал обслуживания) и многоканальные, точнее n-канальные (когда количество каналов n>=2). Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и, если не оговорено специально, каждая находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки Тоб является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (Tоб=const).

По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:

1. СМО с отказами, в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»), Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая).

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. макси-мально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и от-крытые.

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае — от-крытой. Классическим примером замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики — каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО — зависят. Так, в рассмотренном выше примере интенсивность потока «заявок» со стороны станков (т.е. количество заявок в единицу времени) зависит от того, сколько их неисправно и ждет наладки.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы.

Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной. Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).

Далее будем рассматривать только однофазные СМО.

48)Игры с природой. Критерий максимального среднего выигрыша (критерий Байеса, критерий Лапласа).

Существуют игры, в которых только один игрок сознательно принимает решения(ЛПР), а другая сторона пассивна, эта сторона сознательно не принимает решения, а с некоторой вероятностью принимает какие либо состояния под влиянием случайных факторов, такого рода ситуации называют играми с природы.

Под природой понимают совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений активного игрока.

Существуют игры с природы, в которых известны вероятности возможных состояний, такие игры называют играми в условиях частичной неопределенности. Для выявления оптимальных стратегий активного игрока применяют критерий Байеса.

Если вероятности состояния природы неизвестны, то говорят об игре с природой в условиях полной неопределенности. Тогда для определения оптимальных стратегий активного игрока применяют критерий Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Вероятности состояния природы qj обычно определяется путем проведения экспериментов или наблюдений, поэтому их принято называть апостериорными. В качестве оптимальных стратегий по критерию Байеса принимается чистая стратегия активного игрока, при которой его средний выигрыш становится максимальным. Каждый средний выигрыш будет находится по формуле

Ai= ai1* q1+ ai2*q2+…+ ain* qn

Критерий Байеса можно рассматривать относительно средних рисков. РИСКОМ называют разность между макс выигрышем активного игрока и обозначаем max aik, который он мог бы получить достоверно зная, что природа примет состояние Пк, а также тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Ai ( т.е., чтобы составить матрицу рисков необходимо по каждому столбцу платежной матрицы найти max элемента, а затем вычитать из него соответствующие выигрыши платежной матрицы.

rij= max aik- aik

В матрице рисков каждый столбец будет содержать хотя бы один нулевой элемент. По критерию Байеса определим средние риски активного игрока.

Ri= ri1* q1 +ri2* q2+..+rin* qn .

Оптимальной будет считаться та стратегия, при которой достигается минимальный средний риск R= min Ri.

Критерий Лапласа аналогичен критерию Байеса, но вероятности состояния природы неизвестны, поэтому предполагается, что все состояния природы равновероятны, т.е. q1=q2=…=qn=1/n

Ai=1/n (ai1 +ai2+…+ain)

Ri= 1/n( ri1+ri2+…+rin)

49. Игры с природой. Критерий Вальда. Критерий Сэвиджа. Игры с природой. Критерий Гурвица.

Существуют игры, в которых только один игрок сознательно принимает решения(ЛПР), а другая сторона пассивна, эта сторона сознательно не принимает решения, а с некоторой вероятностью принимает какие либо состояния под влиянием случайных факторов, такого рода ситуации называют играми с природы.

Под природой понимают совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений активного игрока.

Существуют игры с природы, в которых известны вероятности возможных состояний, такие игры называют играми в условиях частичной неопределенности. Для выявления оптимальных стратегий активного игрока применяют критерий Байеса.

Если вероятности состояния природы неизвестны, то говорят об игре с природой в условиях полной неопределенности. Тогда для определения оптимальных стратегий активного игрока применяют критерий Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Критерий Вальда- критерий крайнего пессимизма, т.к активному игроку предлагают выбрать ту стратегию, при которой наименьший выигрыш будет максимальным.

W= maxWi=max min aij

Критерий Сэвиджа- как и критерий Вальда, крайнего пессимизма, но он опирается не на исходную платежную матрицу, а матрицу рисков, значит по каждой строке нужно найти максимальный риск, а затем из всех максимальных рисков минимальный.

S=min Si=min max rij

Критерий Гурвица. Можно рассматривать критерий крайнего пессимизма (Вальда и Сэвиджа), а можно рассмотреть критерий крайнего оптимизма (максимаксные критерии), однако лучше придерживаться золотой середины.

К.Г. является критерием пессимизма-оптимизма.

В начале по каждой стратегии активного игрока рассчитывается показатель. Оптимальной по критерию Гурвица является та стратегия для которой значения Gi будет max

G=max Gi=max( min aij+ (1-) max aij)

При =1 критерий Гурвица переходит в критерий Вальда, а при получаем максимальный критерий, или критерий максимального оптимизма.

Остальные промежуточные значения  в большую или меньшую сторону смещены ими к оптимуму или пессимизму.

При желании подстраховаться  следует выбирать ближе к 1, а близкие к 0 дают более рискованный результат.

Теория случайных процессов и теория массового обслуживания

Теорией случайных процессов называют раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития. Теория случайных процессов — это сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно интенсивно развивающийся в настоящее время в связи с широким кругом его практических приложений.

Содержание:

Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

Теория случайных процессов — это раздел математической науки, который изучает закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Определение случайного процесса и его характеристики

Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом значении аргумента является случайной величиной.

Реализацией случайного процесса называется детерминированная функция в которую преобразуется случайный процесс вследствие испытания, то есть его траектория.

Количество реализаций определенного случайного процесса изображено на рис. 4.1. Пусть сечение процесса при данном является непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс при данном определяется плотностью вероятности

Очевидно, что плотность вероятности не является исчерпывающей задачей случайного процесса поскольку она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс представляет собой совокупность всех сечений при всех возможных значениях поэтому для его задания необходимо рассматривать многомерную случайную величину образованную из всех сечений этого процесса.

Таких сечений бесконечно много, но для задания случайного процесса удается ограничиться сравнительно небольшим количеством сечений.

Случайный процесс имеет порядок если он полностью определяется плотностью общего распределения произвольных сечений процесса, то есть плотностью -мерной случайной величины где — сечение случайного процесса в момент времени

Случайный процесс может быть задан числовыми характеристиками.

Математическим ожиданием случайного процесса называется детерминированная функция которая при любом значении переменной равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса то есть

Дисперсией случайного процесса называется детерминированная функция которая при любом значении переменной равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса то есть

Средним квадратическим отклонением случайного процесса называется арифметическое значение квадратного корня из его дисперсии, то есть

Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение — разброс реализаций относительно средней траектории.

Корреляционной функцией случайного процесса называется детерминированная функция

двух переменных и которая для каждой пары переменных и равна ковариации соответствующих сечений и случайного процесса.

Корреляционная функция характеризует не только степень близости линейной зависимости между двумя сечениями, а и разброс этих сечений относительно математического ожидания

Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса называется функция

Пример. Случайный процесс определяется формулой где — случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если

Решение. Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии получим:

Находим далее корреляционную функцию

а также нормированную корреляционную функцию

Случайные процессы можно классифицировать в зависимости от того, плавно или скачкообразно изменяются состояния системы, в которой они происходят, конечное или бесконечное множество этих состояний. Среди случайных процессов особое место занимают марковские случайные процессы, которые составляют основу теории массового обслуживания.

Основные понятия теории массового обслуживания

На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования во время решения однотипных задач. Процессы, которые при этом происходят, называются процессами обслуживания, а соответствующие системы — системами массового обслуживания (СМО).

Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, кассы, где продаются железнодорожные или авиабилеты, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая МСО состоит из определенного количества обслуживаемых единиц (приборов, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и т.п. По количеству каналов СМО делятся на одно- и многоканальные.

Заявки поступают в СМО конечно нерегулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (ссылок). Обслуживание заявок также длится в течение определенного случайного времени. Учитывая случайность потока заявок и время обслуживания, СМО загружаются неравномерно: в определенные периоды накапливается очень много заявок (они или стают в очередь, или оставляют СМО не обслуженными), в другие периоды СМО работает с малой загрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, которые связывают заданные условия работы СМО с показателями ее эффективности, которые описывают способность этой системы обрабатывать потоки заявок.

Показателями эффективности СМО являются:

• — среднее количество заявок, которые она обслуживает за единицу времени;
• — среднее количество заявок в очереди;
• — среднее время ожидания обслуживания;
• — вероятность отказа в обслуживании без ожидания;
• — вероятность того, что количество заявок в очереди превышает определенное значение и т.д.

СМО делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью).

В СМО с отказами заявка, которая поступила в момент, когда все каналы были заняты, получив отказ, оставляет СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В СМО с ожиданием заявка, которая поступает в момент, когда все каналы заняты, не оставляет систему, а становится в очередь на обслуживание.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее пересчитать, а переход системы от одного к другому происходит мгновенно (скачкообразно). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из одного состояния в другое не фиксированы заранее, а случайные.

Процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский.

Понятие марковского процесса

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система приняла это состояние.

Пример. Система — счетчик в такси. Состояние системы в момент характеризуется количеством километров, пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент счетчик показывает Вероятность того, что в момент счетчик будет показывать то или иное количество километров зависит от но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показатели счетчика до момента

Некоторые процессы можно приблизительно считать марковскими.

Пример. Система — группа шахматистов. Состояние системы характеризуется количеством фигур противника, которые остались на доске до момента Вероятность того, что в момент материальное преимущество будет на стороне одного из противников, зависит, прежде всего от того, в каком состоянии находится система в данный момент а не от того, когда и в какой последовательности исчезали фигуры с доски до момента

Анализируя случайный процессы с дискретными состояниями, удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний Обычно состояния системы изображают прямоугольниками (кругами), а возможные переходы от одного состояния к другому — стрелками, которые соединяют состояния.

Пример. Построить граф состояний такого случайного процесса: прибор состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего немедленно начинается ремонт узла, который длится в течение заранее неизвестного случайного времени.

Решение. Возможные состояния системы: — оба узла исправны; — первый узел ремонтируется, а второй исправный; второй узел ремонтируется, а первый исправный; — оба узла ремонтируются.

Граф системы приведен на рис. 4.2.

Стрелка, направленная из до означает переход системы в момент отказа первого узла; стрелка из до — переход в момент окончания ремонта этого узла. Стрелки из до нет, поскольку допускается, что узлы выходят из строя независимо друг от друга.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, которое происходит в СМО, рассмотрим одно из важных понятий теории вероятностей — понятие потока событий.

Простейший поток событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые происходят один за другим в случайный момент времени Например, поток заявок, поступающий на предприятие бытового обслуживания, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов (сбоев) во время работы на ЭВМ и т.д. Среднее количество событий, которые происходят за единицу времени, называется интенсивностью потока.

Поток называется простейшим, если он имеет такие свойства:

1) стационарность — вероятность того, что за некоторый промежуток времени произойдет то или иное количество событий, зависит только от длины промежутка и не зависит от начала его отсчета, то есть интенсивность потока постоянная;

2) отсутствие последействия — вероятность наступления некоторого количества событий в произвольном промежутке времени не зависит от того, какое количество событий произошло до начала этого промежутка;

3) ординарность — вероятность наступления двух и более событий за малый промежуток времени существенно меньше, чем вероятность того, что произойдет одно событие.

Если поток событий простейший, то вероятность того, что за промежуток времени событие наступит раз, определяется формулой: где — интенсивность потока. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, а следовательно, является его математической моделью.

Пример. Среднее количество заявок, поступающих на комбинат бытового обслуживания за 1 час равно 4. Найти вероятность того, что за 3 часа поступит: 1) 6 заявок; 2) менее 6 заявок; 3) не менее 6 заявок.

Решение. Пусть событие — «поступление одной заявки». Поток заявок простейший. Поэтому для решения задачи используем приведенную только что формулу, в которой Вычислим соответствующие вероятности:

Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Вероятностью состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии

Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей состояний равна 1:

Правило построений уравнений Колмогорова. В левой части каждого из уравнений должна быть производная вероятности состояния. В правой части = сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых происходим переход в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, которые выводят систему из данного состояния, умноженная на вероятность этого состояния.

Например, для системы которая имеет четыре состояния система дифференцированных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний принимает такой вид:

В системе (2) независимых уравнений на одно меньше от общего количества уравнений. Поэтому для решения системы необходимо прибавит уравнений (1) при

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что нужно задавать так называемые начальные условия, в данном случае — вероятности состояний системы в начальный момент Так, систему (2) должны решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии то есть при начальных условиях

Уравнения Колмогорова дают возможность находить все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляет вероятности системы в предельном стационарном режиме, то есть при которые называются предельными вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказано, что количество состояний системы конечное и из каждого из них можно перейти к любому другому состоянию, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет такое содержание: она показывает среднюю относительную продолжительность пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния составляет то это означает, что в среднем половину времен системы находится в состоянии

Пример 1. Найти предельные вероятности для системы из последнего примера, граф состояний которой приведен на рис. 4.2. При

Решение. Система алгебраических уравнений, которая описывает стационарный режим для данной системы, принадлежит к виду (1):

Решая эту систему уравнений, получаем Следовательно, в предельном стационарном режиме система в среднем 40% времени находится в состоянии 20% — в состоянии 27% — в состоянии 13% — в состоянии

Пример 2. Найти прибыль от эксплуатации в стационаром режиме системы когда известно, что за единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход, который составляет соответственно 10 и 6 ус. ед., а их ремонт требует расходов, которые составляют соответственно 4 и 2 ус. ед.

Оценить экономическую эффективность уменьшения вдвое средней продолжительности ремонта каждого из этих узлов, если в этом случае придется вдвое увеличить расходы на ремонт.

Решение. Из примера 1 следует, что в среднем первый узел исправен в течение части времени, которая составляет а второй узел — в течение части В этом случае первый узел находится в ремонте в среднем часть времени, равной а второй — Поэтому средняя прибыль за единицу времени от эксплуатации системы (разница между доходом и расходами) будет такой:

Прибыль = (ус. ед.).

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов согласно с будет означать увеличение вдвое интенсивности потока «окончания ремонта» каждого узла. Следовательно, в этом случае и система линейных алгебраических уравнений (1) принимает вид:

Решая эту системы, получаем

Поскольку то расходы на ремонт первого и второго узла будут составлять соответственно 8 и 4 ус. ед. Отсюда получим среднюю прибыль за единицу времени:

(Прибыль) (ус. ед.)

(Прибыль) больше, чем Прибыль (приблизительно — на 2%), поэтому экономическая целесообразность сокращения срока ремонта узлов очевидна.

Лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.