Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Системы линейных уравнений
Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными |
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными |
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными |
Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид
ax +by = c , | (1) |
где a , b , c – заданные числа.
Определение 2 . Решением уравнения (1) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (1) является верным равенством.
Пример 1 . Найти решение уравнения
2x +3y = 10 | (2) |
Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :
(3) |
Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида
где x – любое число.
Замечание . Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид
(4) |
Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a1 , b1 , a2 , b2 называют коэффициентами при неизвестных , а числа c1 , c2 – свободными членами .
Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).
Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.
Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»
Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных , который мы проиллюстрируем на примерах.
Пример 2 . Решить систему уравнений
(5) |
Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .
С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.
Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид
(6) |
Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему
Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем
Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений
(7) |
а) имеет единственное решение;
б) имеет бесконечно много решений;
в) не имеет решений.
Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим
Следовательно, система (7) равносильна системе
(8) |
Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):
y (2 – p) (2 + p) = 2 + p | (9) |
Если , то уравнение (9) имеет единственное решение
Следовательно, система (8) равносильна системе
Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение
Если p = – 2 , то уравнение (9) принимает вид
,
и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел
,
где y – любое число.
Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид
и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Определение 7 . Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид
(10) |
Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.
Пример 4 . Решить систему уравнений
(11) |
Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .
Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
- из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему
(12) |
Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:
- первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
- из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему
(13) |
Из системы (13) последовательно находим
Пример 5 . Решить систему уравнений
(14) |
Решение . Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:
Если числа (x ; y ; z) являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа (x ; y ; z) должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):
Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел (3 ; 0 ; –1) в исходную систему (14), убеждаемся, что числа (3 ; 0 ; –1) действительно являются ее решением.
Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.
Определители второго порядка. Правило Крамера.
Исследование решений системы уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a , b , c , d , e , f – заданные числа; x , y – неизвестные. Числа a , b , d , e – коэффициенты при неизвестных; c , f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x , через коэффициенты и другое неизвест ное y :
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :
( 2 y + 4 ) / 3 + 3 y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в
выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1- го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2- го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c .
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
методом сложения или вычитания.
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение
(а в первое можно?): 3 x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:
, который будет обозначать выражение: ps – qr .
Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p , q , r , s :
и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr . Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » — для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,
Выражение называется определителем второго порядка .
Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р . Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е . Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14 .
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a : d ≠ b : e ,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a : d = b : e = c : f ,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество реше ний , так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.
П р и м е р . В системе уравнений
и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два
т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого
бесконечное множество решений.
3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам : a : d = b : e ≠ c : f ,
в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.
П р и м е р . В системе уравнений
но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.
Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.
Разделив второе уравнение на 3, мы получим:
Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то
же выражение 2 x – 3 y не может быть одновременно равно и 7, и 4.
Copyright © 2004 — 2007 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/system.htm
http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg15.html