Системы алгебраических уравнений 10 класс

Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Исследовательская работа по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений». 10 класс. Алгебра и начала анализа.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Капочкина Антонина Николаевна,

1.Системы линейных алгебраических уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

3. Матрицы и действия над ними.

3.2. Действия над матрицами.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С решением систем линейных уравнений мы познакомились в седьмом классе. Тогда мы решали системы линейных уравнений двумя способами:

1. метод подстановки;
2. метод сложения.

Нужно заметить, что не все методы решения системы линейных алгебраических уравнений рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют и другие методы, например, такие, как: метод Крамера , Гаусса (исключение неизвестных), матричный способ.

С этими способами решения систем линейных уравнений мы познакомимся в данной исследовательской работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

1. Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
2. Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
3. Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
4. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
5. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a ij, b i (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел ( x 1 = k 1, x 2 = k 2 ,…, x n = k n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений ( x 1 = c, x 2 = 20-c, где с – любое число).

Две системы уравнений называются равносильными , или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число  n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам ( ), которые называются элементами определителя (всего их n 2 ). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M ij элемента a ij называется определитель (n–1)–го порядка  n–1 , полученный из определителя n–го порядка  n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij определяется равенством

A ij = (–1) i+j  M ij (2)

Значение определителя  n находится по следующему правилу.

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A 11 , A 12 , A 13 – алгебраические дополнения, а M 11 , M 12 , M 13 – миноры, соответствующие элементам a 11 , a 12 , a 13 определителя  3 . Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя  3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M 13 , следует в определителе  3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

где A 1k = (–1) 1+k M 1k , а миноры M 1k , являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из  n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
2. При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
6. Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель ∆= .

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель ∆= .

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим

∆=3∙6∙2∙ =36∙ — 2 + 3 =36(4(1-5)-2∙0+3(5-

Пример 3. Вычислить определитель

Решение. Вынесем общий множитель элементов 2-й строки за знак определителя:

Вычтем из элементов 3-й строки соответственные элементы 1-й строки:

Так как определитель с двумя равными строками равен нулю, то ∆=7∙0=0.

Для вычисления определителя третьего порядка  3 часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

 3 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 – (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 23 a 32 a 11 )

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 4. Вычислить определить 4-го порядка.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть определитель матрицы A коэффициентов системы отличен от нуля, т.е. det A  0. Тогда справедливы формулы Крамера для вычисления неизвестных :

где , а являются определителями n-го порядка, которые получаются из путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример 1. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

= 56 – 18 + 20 + 21 = 79.

Последовательно заменяя в  3 первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим

Пример 2. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы =5. Так как то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители , , , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера (1.8)

x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

т. е. решение системы (4; 2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений

Система уравнений имеет одно решение, так как определитель отличен от нуля.

Остальные определители получим путем замены соответствующего столбца исходного определителя на столбец свободных членов системы уравнений.

Решения находим по формулам:

3. Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А )

2 5 2

А = 3 10 7 — матрица. (1)

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

M = a 31 a 32 … a 3n (2)

a m1 a m2 … a mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной , а число строк (или столбцов) – её порядком .

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a ij ] и В = [b ij ] одинакового типа называются равными , если a ij = b ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой ( матрицей-столбцом ), а матрица, у которой все элементы а ij = 0 , – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ , а элементы квадратной матрицы порядка n ,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е ):

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной :

a 11 а 12 … а 1n b 11 0 … 0

А = 0 а 22 … а 2n ; B = b 21 b 22 … 0 (4)

0 0 … a nn b n1 b n2 … b nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a 11 a 12 … a 1n

A = a 21 a 22 … a 2n ; (5)

a n1 a n2 … a nn

то

a 11 a 21 … a n1

A T = a 12 a 22 … a n2 . (6)

a 1n a 2n … a nn

Определитель n-го порядка матрицы

а 11 а 12 … а 1n

А = а 21 а 22 … а 2n

а n1 а n2 … а nn

а 11 а 12 … а 1n

∆ = а 21 а 22 … а 2n = ∑ (-1) I(k , k , …, k ) a 1k a 2k … a nk (7)

а n1 а n2 … а nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij , т.е. на всевозможные перестановки ( k 1 , k 2 , …, k n ). Числа а ij называют элементами определителя .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной .

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

1. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
2. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
3. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
4. Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i -й строки.

1. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

3.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В . Таким образом, если

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … а mn b m1 … b mn

a 11 + b 11 … a 1n + b 1n

a m1 + b m1 … a mn + b mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a 11 – b 11 … a 1n – b 1n

A – B = ……………………… (10)

a m1 – b m1 … a mn – b mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц . Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А + В = В + А ; (коммутативность)
2. А + (В + С) = (А + В) + С ; (ассоциативность)
3. А + О = А .

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a 11 … a 1n λa 11 … λa 1n

A = ………… , то λA = ……………… (11)

a m1 … a mn λa m1 … λa mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А . Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ — произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … a mn b m1 … b mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В , которые

заданы в определенном порядке ( А – 1ая, В – 2ая ), является матрица С , элемент которой с ij определяется по следующему правилу:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj = ∑ n α = 1 a iα b αj, (12)

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (13)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (14)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц . Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА . Убедимся в примере матриц (13). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

ВА = 49 68 87 (15)

Сравнив правые части выражений (14) и (15), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В , для которых АВ = ВА, называются перестановочными . Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А(ВС) = (АВ)С ; (ассоциативность)
2. λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);
3. А(В + С) = АВ + АС . (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ — произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Пусть дана квадратная матрица

a 11 … a 1n

A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А , а сама матрица А – обратимой . Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1 . Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ 1 = Е . Умножив второе равенство на матрицу Х , получим ХАХ 1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е , то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ 1 = Х или Х = Х 1 .

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

1 2 3

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆ А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А :

А 11 = –1 1 = 0; А 12 = – –3 1 = –1;

1 –1 2 –1

А 13 = –3 –1 = –1; А 21 = – 2 3 = 5;

2 1 1 –1

А 22 = 1 3 = –7; А 23 = – 1 2 = 3;

2 –1 2 1

А 31 = 2 3 = 5; А 32 = — 1 3 = –10;

А 33 = 1 2 = 5.

Составим присоединённую матрицу для матрицы А :

0 5 5

Отсюда находим обратную матрицу:

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В , если:

А = 2 3 ; В = 3 4 .

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1 , получим:

А -1 АХ = А -1 В; Х = А -1 В.

Найдем А -1 : ∆ А = 1, А 11 = 2, А 12 = -1, А 21 = -3, А 22 = 1 , следовательно,

Найдем матрицу Х:

Х = А -1 В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

Пример1. Решите систему алгебраических линейных уравнений матричным методом.

А= 1 -1 4 ; Х= у ; В= -5

Найдём обратную матрицу А -1 :

∆ = 1 -1 4 = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1*

4 1 -4 *2*1 = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 =0

Следовательно обратная матрица существует. Построим её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А 11 = (-1) 2 -1 2 = -6 А 12 = (-1) 3 1 2 =4 А 13 = (-1) 4 1 -1 = 5

А 21 = (-1) 3 1 1 = -3 А 22 = (-1) 4 1 1 =0 А 23 = (-1) 5 1 1 =3

А 31 = (-1) 4 1 1 =3 А 32 = (-1) 5 1 1 =-1 А 33 = (-1) 6 1 1 =-2

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем полученную матрицу:

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А т.е на 1/3:

А -1 = 4/3 0/3 -1/3 = 4/3 0 -1/3

5/3 3/3 -2/3 5/3 1 4/3

Х= 4/3 0 -1/3 * -5 = 4/3+2/3 = 2

5/3 1 4/3 -2 5/3-5+4/3 -2

Таким образом, х=1,у= 2, z= -2

Ответ: х=1,у= 2, z= -2

Найдем алгебраические дополнения

Отсюда получаем x = 2, y = 3, z =1.

4 . Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

Одним из ключевых понятий при решении систем линейных алгебраических уравнений является понятие ранга матрицы. Введем это понятие. Выделим в матрице A размерности m  n k строк и k столбцов, где k – число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n. Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором или определителем , порожденным матрицей A. Например, для матрицы

при k = 2 определители

будут порожденными данной матрицей.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матрицей, то rang A

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если

1. Поменять местами любые два параллельных ряда.
2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель   0.
3. Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными . Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Минор M k+1 порядка k+1, содержащий в себе минор M k порядка k, называется окаймляющим минором M k . Если у матрицы A существует минор M k  0, а все окаймляющие его миноры M k+1 = 0, то rang A = k.

Пример. Найти ранг матрицы

Имеем . Для M 2 окаймляющими будут только два минора:

каждый из которых равен нулю. Поэтому rang A = 2, а указанный минор M 2 может быть принят за базисный.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n

была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

системы и ранг так называемой расширенной матрицы

системы были равны, т.е. rang A = rang B = r.

Далее, если rang A = rang B и r = n, то система имеет единственное решение; если r

Система называется однородной, если все ее свободные члены b i (i = 1, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы уравнений rang A = rang B, поэтому она всегда совместна.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находится все остальные переменные.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

(1)

Пусть все хотя бы один из свободных членов системы уравнений отличен от нуля, т.е. система неоднородна. Если основная матрица A системы имеет ранг r = n, то расширенная матрица B этой системы с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали матрицы располагаются единицы, а все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе (т.е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (2) и исходная система (1) несовместны. Если же , то система (1) совместна, а из системы (2) можно последовательно выразить в явном виде базисные переменные через свободные переменные . Если r = n, то решение этой системы единственно. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т.е. когда r = n.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как a 0, то умножая вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную x 1 из всех строк, начиная со второй. Поменяем местами вторую и третью строки:

Шаг 2. Умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x 2 из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя строку к четвертой, исключим из нее переменную x 3 . Получим систему уравнений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 4 =-2; из третьего x 3 = = =-1; из второго x 2 = = =2 и из первого уравнения x 1 =6+2 x 4 -3 x 3 — -2 x 2 =6+2(-2)-3(-1)-2·2=1, т.е. решение системы (1; 2; -1; 2).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.

Пример3. С помощью метода последовательных исключений Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее.

Составим расширенную матрицу B и проведем необходиые элементарные преобразования строк:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x 4 = –1, x 3 = 1, x 2 = 0, x 1 = –2.

Пример 4. . Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений

Произведем элементарные преобразования со строками расширенной матрицы.

Разделим все элементы первой строки расширенной матрицы на 2.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3.

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 1.

Теперь умножим все элементы второй строки расширенной матрицы на -2/11.

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на ½.

Теперь умножим все элементы третьей строки расширенной матрицы на -11/16

Произведенные выше элементарные преобразования – это прямой ход в метода Гаусса

Теперь нужно провести алгебраические преобразования в обратном порядке:

сначала с элементами третьего столбца, а затем второго столбца расширенной матрицы

Вычтем из второй строки третью, умноженную на (-1/11), а из первой строки третью, умноженную на 1/2

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3/2

В результате последнего преобразования было получено решение системы уравнений:

Работа над это темой была очень интересной.

− в процессе работы я узнал много нового;

− я научился пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

− теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

− также весь материал я исследовал не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Исследовательская работа может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Методы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов.- М.: Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.
2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов. — М.: Высшая школа, 1987.
3. Демин И. И. Математика для экономистов: Программа курса и практические задания. – М.: МИЭП, 1997.
4. Большой энциклопедический словарь «Математика». Ю.В.Прохоров 2000 г.
5. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г.Цыпкин Москва «Наука» 1983г.

Презентация по алгебре на тему «Решение систем уравнений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Что значит решить систему уравнений? Какие вы знаете способы решения систем уравнений? Какие методы решения систем уравнений вы знаете? Какие системы называют равносильными?

Системы уравнений Графический способ Аналитический способ Метод подстановки Метод сложения Метод замены пере менной

Методы решения систем уравнений Метод подстановки a) x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; 2y=-x; x=-2y. x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0; Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально?

Методы решения систем уравнений Метод сложения x²-2y² =14, x²+2y²= 18; 2x² =32, + x² =16, x =4; Можно ли записывать ответ?

На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. у х 0

Сколько решений имеет система уравнений? у = — x2 + 9 x²+y²=81

Правило перехода к совокупности систем:

Алгоритм решения Сложить уравнения системы. Разделить обе части полученного уравнения на 2. Последовательно подставить в полученное уравнение правые части трех уравнений системы.

Алгоритм решения Перемножить уравнения системы. Найти корень. Последовательно подставить в полученное уравнение правые части трех уравнений системы

1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим! 2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому. 3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу. 4. У меня остались некоторые вопросы.

Краткое описание документа:

Презентация разработана к уроку «Решение систем уравнений». Содержит теоретический материал по теме, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения.

Уроки, в которых пояснения учителя сопровождаются информацией на слайдах, способствуют росту заинтересованности к предмету. Презентация в данном случае является не только наглядной динамической иллюстрацией, но и способом фиксации самого важного в новом материале.

Использование опорных схем и презентации помогает активизировать наглядно-образное мышление, внимание и память.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 759 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.11.2014
• 559
• 0

• 30.11.2014
• 1090
• 0

• 30.11.2014
• 1769
• 1

• 30.11.2014
• 995
• 0

• 30.11.2014
• 2058
• 2

• 30.11.2014
• 633
• 1

• 30.11.2014
• 673
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.11.2014 2635
• PPTX 522.5 кбайт
• 98 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бижко Инна Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 6990
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №14. Алгебраические системы уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение алгебраической системы уравнений;

2) методы решений алгебраических систем уравнений;

3) симметрические системы уравнений.

Глоссарий по теме

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

А теперь можно сформулировать определение.

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Решить систему уравнений

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

1. Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

1. Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

Вторая пара чисел:

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим

.

получим t² -1 — 2 = 0 t₁ =2, t₂ =-1.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.

Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) — решения исходной системы.

Решить систему уравнений

Сложим уравнения почленно.

Решим полученное уравнение с одной переменной.

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

если х=5, то 25+y 2 =29

если х=-5, то 25+y 2 =29

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.