Системы дробно рациональных уравнений с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы уравнений с двумя переменными

Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме; Формирование умений применять разные способы решения систем уравнений. Цели урока:

Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными? Какие способы решения системы двух уравнений знаете? Актуализация

Выбери способ решения или 1.

Реши систему: или Реши систему:

1. x x x y y y Сколько решений может иметь система уравнений: 0 0 0

Индивидуальное задание y=-3/x, x²+(-3/x)²=10, x -10x²+9=0, x²=t, t≥0. t²-10t+9=0, t =1 или t =9, x²=1 или x²=9 x=+1, x=-1 x=3, x=-3. Ответ: (1;-3), (-1;3), (3;-1), (-3;1). 4

Самостоятельная работа Самостоятельная работа проводится по бальной системе. Шкала перевода баллов в оценки:11-14 баллов — 5 8-10 баллов — 4 5-7 баллов — 3 Желаю всем успешно выполнить работу! №1 №2 №3 №4 №5 2 2 2 2 3 №6 3

1.Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений ? а) (1;4) а) (3;2) б) (4;1) б) (2;3) в) (-1;4) в) (-3;2) г) (-4;1) г) (-2;3) ?

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел ? (1;0) (0;1) а) xy=4 а) 5x-4y=3 б) 5x+y=8 б) 7x+2y=2 в) 4x+y=4 в) x²+y²=1 г) x²+y²=1 г) xy=7

3. Сколько решений имеет система уравнений: а) одно а) одно б) два б) два в) три в) три г) четыре г) четыре

4.Решение какой системы уравнений изображено на рису а) б) в) г) а) б) г) в)

5. Решить систему уравнений: а) (2;6) б) (6;2) в) (2;6) и (6;2) г) (-2;-6) и (-6;-2) а) (2;9) б) (9;2) в) (9;2) и (2;9) г) (-9;-2) и (-2;-9)

6. Решить систему уравнений графически:

1.Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений ? а) (1;4) а) (3;2) ! б) (4;1) ! б) (2;3) в) (-1;4) в) (-3;2) г) (-4;1) г) (-2;3) ?

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет данная пара чисел ? (1;0) (0;1) а) xy=4 а) 5x-4y=3 б) 5x+y=8 б) 7x+2y=2 ! в) 4x+y=4 ! в) x²+y²=1 ! г) x²+y²=1 ! г) xy=7

3. Сколько решений имеет система уравнений: а) одно а) одно б) два ! б) два ! в) три в) три г) четыре г) четыре

4.Решение какой системы уравнений изображено на рисунке? а) б) в) г) а) б) г) в) ! !

5. Решить систему уравнений: а) (2;6) б) (6;2) в) (2;6) и (6;2) г) (-2;-6) и (-6;-2) а) (2;9) б) (9;2) в) (9;2) и (2;9) ! г) (-9;-2) и (-2;-9) !

6. Решить систему уравнений графически:

Некоторые новые прёмы решения систем уравнеий

Системы дробно-рациональных уравнений

Задания, в которых системы можно решить с помощью формул сокращенного умножения.

Некоторые новые приёмы решения систем уравнений с двумя переменными: I. Решение систем целых уравнений с двумя переменными введением новых переменных. Сборник заданий к экзаменам. ч.II. №108 на стр. 106 Алгебра-9, Д.А. Мальцев. ч.II. №11, 12 на стр. 109

II. Решение систем дробно-рациональных уравнений с двумя переменными введением новых переменных. Сборник заданий к экзаменам. ч.II. №113-116 на стр. 106 Алгебра-9, Д.А. Мальцев. ч.II. №7, 8 на стр.109

III. Решение систем уравнений с двумя переменными с применением формул сокращённого умножения. Сборник заданий к экзаменам. ч.I. №543, 544 на стр.160 Алгебра-9, Д.А. Мальцев. ч.II. №5,6 на стр.108

Сегодня на уроке я научился (узнал)… Сегодня я на уроке повторил… Сегодня на уроке мне понравилось… Продолжи предложение:

Спасибо за урок!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 451 материал в базе

Другие материалы

• 22.04.2016
• 423
• 0

• 22.04.2016
• 2758
• 20

• 22.04.2016
• 932
• 3

• 22.04.2016
• 594
• 0

• 22.04.2016
• 5740
• 13

• 22.04.2016
• 680
• 0

• 22.04.2016
• 424
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.04.2016 854
• PPTX 487.6 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Максимов Игорь Михайлович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8089
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Урок алгебры в 9-м классе по теме «Решение систем уравнений второй степени»

Разделы: Математика

Цели урока:

• обобщение, систематизация и углубление знаний учащихся по изучаемой теме,
• формирование умений применять разные способы решения систем уравнений;

• развитие творческих способностей учеников,
• привитие интереса к изучаемому предмету;

• формирование навыков самостоятельной деятельности,
• выработка внимания.

Ход урока

I. Организационный момент. (сл. 1-2)

II. Актуализация.

1) 4 ученика получают индивидуальное задание:

2) Остальные учащиеся класса работают устно: (сл. 3)

а) Что называется решением системы уравнений? (Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство)

б) Что значит решить систему уравнений?

(Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет)

в) Какие способы решения систем двух уравнений с двумя переменными вы знаете? (сл. 4) (графический способ, способ подстановки, способ сложения)

г) Какие способы предложите для решения следующих систем уравнений

На слайдах показать решение этих систем (сл. 4-5):

д) Сколько решений может иметь система уравнений:

Прослушать ответы учащихся и показать на слайдах (сл. 6-8)

III. Проверка индивидуального задания.

Показать на слайде последовательность решения системы уравнений (индивидуальное задание, данное в начале урока), задавая при этом вопросы (сл. 9):

– Как бы вы стали решать эту систему?

– Как называется уравнение ?

IV. Следующий этап урока – тестовая проверочная работа, рассчитанная на 15 минут.

Условия заданий показать на слайдах (сл. 10-16)

Объяснить учащимся, что работа проводится по бальной системе.

Шкала перевода баллов в оценки:

• 10 баллов – 5;
• 8-9 баллов – 4;
• 5-7 баллов – 3.

Далее учащиеся сдают работы и сравнивают по ответам на слайдах (сл. 17-24)

V. Следующий этап урока – творческая работа учащихся (сл.25-35)

Даётся слово 3 учащимся, которые получили задание найти в пособии Д.А. Мальцева «Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация-2009. Предпрофильная подготовка» и в сборнике заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы системы уравнений по своим темам.

1 ученик. Тема «Решение систем целых уравнений с двумя переменными введением новых переменных» (ученик показывает решение систем из № 11 и № 12 части II пособия Мальцева на интерактивной доске, а остальные учащиеся записывают в тетрадях).

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника – № 108 (1 и 2) части II.

2 ученик. Тема «Решение систем дробно-рациональных уравнений с двумя переменными введением новых переменных» (ученик объясняет решение системы из № 114 части II экзаменационного сборника и № 7 части II пособия Мальцева, а остальные смотрят и слушают).

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника — № 113-116 и из пособия Мальцева № 8 части II.

3 ученик. Тема «Решение систем уравнений с двумя переменными с помощью формул сокращённого умножения» (ученик объясняет решение системы из № 543 части I экзаменационного сборника и № 13 и № 5 части II пособия Мальцева, а остальные смотрят и слушают)

На дом предлагаются задания из экзаменационного сборника — № 543, № 544 и из пособия Мальцева № 6 и № 14 части II.

Далее всем ученикам выступающие раздаются копии заданий по 2 и 3 темам, чтобы легче было справиться с домашним заданием.

Учитель уточняет домашнее задание: решить не менее пяти систем, предложенных выступающими с презентациями.

VI. Учитель показывает ещё один приём, когда почленно сложив обе части уравнений и вычтя почленно из одного уравнения другое, можно получить равносильную систему уравнений.

Ответ: (7;3)

Ответ: (7;3)

Ответ: (3;2), (3;-2), (-3;2), (-3;-2).