Системы двух уравнений первой степени

Системы двух уравнений первой степени

а) Способ подстановки состоит в том, что:

1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у,

2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;

3) решаем полученное уравнение и находим значение у; 4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.

Пример. Решить систему уравнений:

8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.

1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:

2) Подставляем это выражение во второе уравнение:

3) Решаем полученное уравнение:

5(46+3y)/8 + 48y/8 = 13, 5(46+3y) + 48y = 104, 230 + 15y + 48y = 104, 15y+48y = 104 – 230, 63y = — 126, y = — 2.

4) Найденное значение y = — 2 подставляем в выражение ; получаем , т.е. x = 5.

Способ сложения или вычитания

1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.

2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается.

3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.

4) Другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.

Пример. Решить систему уравнений:

8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.

1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго — на 1, т. е. оставляем второе уравнение неизменным:

2) Складываем два уравнения:

3) Решаем полученное уравнение:

4) Подставляем значение x = 5 в первое уравнение; имеем: 40 — 3y = 46; — 3y = 46 – 40; — 3y = 6. Отсюда

Способ сложения и вычитания следует предпочесть другим способам:

1) когда в данных уравнениях абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда первый из этапов решения становится ненужным);

2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неизвестных уравниваются с помощью небольших целочисленных множителей;

3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.

Пример. Решить систему:

(a + c)x – (a – с)y = 2ab, (a + b)x – (a — b)y = 2ac.

1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе части первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:

(a + c)(a +b)x – (a + b)(a — c)y = 2ab(a + b), (a +c)(a +b)x – (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).

2) Вычитаем из первого уравнения второе; получаем:

[(a — b)(a + c) – (a + b)(a — c)]y = 2ab(a + b) – 2ac(a + c).

3) Решаем полученное уравнение:

Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются довольно долгие преобразования. В числителе и знаменателе раскроем скобки,

4) Чтобы найти x, уравняем коэффициенты при y в исходных уравнениях, помножив первое на (a — b), второе на (a — с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:

Выполняя такие же преобразования, как в предыдущем пункте, получим х = b + c — a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений потребовала бы более утомительных вычислений; при решении буквенных уравнений так бывает очень часто.

Системы линейных уравнений

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид

где a , b , c – заданные числа.

Определение 2 . Решением уравнения (1) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (1) является верным равенством.

Пример 1 . Найти решение уравнения

Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :

(3)

Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где x – любое число.

Замечание . Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a₁ , b₁ , a₂ , b₂ называют коэффициентами при неизвестных , а числа c₁ , c₂ – свободными членами .

Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных , который мы проиллюстрируем на примерах.

Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .

С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид

(6)

Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений

(7)

а) имеет единственное решение;

б) имеет бесконечно много решений;

в) не имеет решений.

Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим

Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

Если , то уравнение (9) имеет единственное решение

Следовательно, система (8) равносильна системе

Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение

Если p = – 2 , то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где y – любое число.

Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Определение 7 . Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .

Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
• из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:

• первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
• из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

Из системы (13) последовательно находим

Пример 5 . Решить систему уравнений

(14)

Решение . Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

Если числа (x ; y ; z) являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа (x ; y ; z) должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел (3 ; 0 ; –1) в исходную систему (14), убеждаемся, что числа (3 ; 0 ; –1) действительно являются ее решением.

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.
• Корень уравнения;
• Решение линейных уравнений.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Решить систему это значит найти все её решения.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Решение данной системы всякая пара значений неизвестных, удовлетворяющая обоим уравнениям, образующим систему.

Если отыскиваются общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Пусть даны 2 уравнения с двумя неизвестными, например: x + 2y = 15 и x + 2y = 7.

Каждое из них имеет бесконечное множество решений. Поставим вопрос: среди всех этих решений не будут ли общие для обоих уравнений?

Такие общие решения могут быть, а могут и не быть. Так, общим решением данных уравнений будет то, что легко проверить подстановкой. (Дальше будет показано, что других общих решений эти уравнения иметь не могут).

Но, уравнения не имеют ни одного общего решения. В самом деле, какие бы значения мы ни подставляли, при любых x и y выражение x + 2y не может одновременно равняться 15 и 7. Поэтому ни одно решение первого уравнения не может быть решением второго и ни одно решение второго уравнения не может быть решением первого.

Если отыскиваются общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему.

Всякая пара значений неизвестных, удовлетворяющая обоим уравнениям, образующим систему, называется решением данной системы.

Решить систему это значит найти все её решения.

Решать системы двух уравнений можно с помощью:

• способа подстановки;
• способа уравнивания коэффициентов.

Способ подстановки состоит в том, что:

1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у;

2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;

3) решаем полученное уравнение и находим значение у;

4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.

Способ уравнивания коэффициентов:

1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину;

2) складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается;

3) решаем полученное уравнение с одним неизвестным;

4) другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего, подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.

В элементарной математике рассматривают только некоторые простые частные случаи систем уравнений второй или высшей степени. Такова в частности, система

Разбор заданий тренировочного модуля

Решим систему, используя метод уравнивания коэффициентов. В данной системе коэффициенты уже уравнены, потому просто сложим почленно оба уравнения, получаем:

Задание 2. Какие значения переменных удовлетворяют системе уравнений:

Решим данную систему, используя метод уравнивания коэффициентов. В данной системе коэффициенты уже уравнены, потому просто вычтем почленно из первого уравнения второе, получаем: