Системы двух уравнений с двумя неизвестными 7 класс

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Найдите координаты \((x;y)\) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде \((x_0;y_0 )\).
Ответ: \((4;2)\)

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

Презентация по алгебре на тему » Системы двух уравнений с двумя неизвестными»(7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Системы двух уравнений с двумя неизвестными.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Повторение: Свойства уравнений: Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, при этом изменив его знак на противоположный. 2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю

Решите уравнения: 1. 7х-8=4х+7 3х=15,х=5 2. 3х=0,18 х=0,06 Выразите у через х у + 4х = 6 у = 6 — 4х 5х – у =2 у = 5х — 2

Задача 1: Купили 3 карандаша по х рублей и 2 ручки по у рублей, заплатив за всю покупку 90 рублей. Сколько стоит карандаш и сколько стоит ручка? Составим уравнение: 3х + 2у =90 Подберите вместо х и у такие значения, чтобы равенство было верным. х=10,у=30 х=20,у=15 Данное уравнение называется уравнением первой степени с двумя неизвестными

Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида: ах + ву = с, где а, в, с, — заданные числа, причём хотя бы одно из чисел а и в не равно нулю. Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел (х ;у), при подстановке которых в это уравнение, получается верное числовое равенство.

Вернёмся к уравнению: 3х + 2у =90 Выразим у через х, Задача 2. Купили 3 карандаша по х рублей и 2 ручки по у рублей, заплатив за всю покупку 90 рублей. Сколько стоит карандаш и сколько стоит ручка, если ручка дороже карандаша на 20 рублей?

3х + 2у =90 –это первое уравнение. Используя условие, что ручка дороже карандаша на 20 рублей, составим второе уравнение: у-х=20 Так как в этих уравнениях числа х и у одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую записывают так:

Решением системы будет одна пара чисел: х=10, у=30 Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у, которая при подстановке в эту систему обращает каждое её уравнение в верное равенство. Записывается решение так:(х ; у).

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет. Например, система уравнений решений не имеет.

Способ подстановки 2. Способ сложения 3. Графический способ

Решить систему уравнений: 1. Выразим из одного уравнения ( всё равно из какого) одну переменную через другую. В нашей системе лучше выразить из первого уравнения у через х. у = 5х-1

у = 5х-1 2. Подставим полученное выражение в другое уравнение системы: 5х+3(5х-1)=17.Получили уравнение с одним неизвестным. Решим его. 5х+15х-3=17, 20х-3=17, 20х=17+3, 20х=20, х=1.

у = 5х-1,х=1 3.Подставим найденное значение х в выражение для у . у = 5•1-1=4. Ответ: (1;4). Обратите внимание! На первом месте всегда записываем х, на втором у

Решите систему уравнений: Способ сложения заключается в том, что складывая или вычитая уравнения, исключим одно из неизвестных. Сложим уравнения: х+у=11 х-у=1, + 2х=12, х=6. Подставим х в любое уравнение системы 6+у=11,у=11-6,у=5. Ответ: (6;5)

1. Выразим из каждого уравнения у через х у=5-2х, у=4-х Построим в одной системе координат графики этих функций Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой нужно две точки, координаты которых даны в таблице х02 у51 х04 у40

1 1 • • • • 3 Графики пересекаются в одной точке с координатами (1;3) Ответ:(1;3) х у 5 4 4

Решить графически систему уравнений: у=5-2х у=3-2х х02 у51 х02 у3-1

1 1 • • • Точек пересечения нет, значит система решений не имеет Ответ: решений нет • 5 3 2

Решение более сложных систем уравнений: 1.Решить систему уравнений: Введём подстановку: Получим систему уравнений:

Решим систему способом подстановки: Вернёмся к подстановке: m=5-n, 3(5-n)+2n=1, 15-3n+2n=1, -n=-14,n=14. m=-9,

Вычислить координаты точки пересечения прямых 4х+3у=8 и 3х+2у=6. Решим систему уравнений способом сложения: •2 •3 8х+6у=16, 9х+6у=18 — -х = — 2, х=2. 4•2+3у=8, 3у=0, у=0. Ответ: прямые пересекаются в точке(2;0).

Мы рассмотрели три способа решения систем. Если задуматься о том, какой из способов проще, то ответить на этот вопрос нельзя. Для каждой конкретной системы выбираем тот способ, которым именно эту систему решить проще.

Краткое описание документа:

Презентация по алгебре на тему » Системы двух уравнений с двумя неизвестными»лля 7 классапо учебнику Алимова Ш.А. В данной презентации вводится понятие уравнения с двумя неизвестными, системы двух уравнений сдвумя неизвестными и три способа решения систем двух уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки, способ сложения и графический способ решения систем.Также приводятся два примера нестандартных задач по теме. Презентация расчитана не на один урок, а на всё время, пока изучается данная тема.Если учитель даёт изучение нового материала блоками, то данную презентацию можно использовать для проведения лекции.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 064 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

18.04.2015
2177
2

18.04.2015
859
0

18.04.2015
1586
35

18.04.2015
1124
2

18.04.2015
686
8

18.04.2015
695
0

18.04.2015
3536
18

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

18.04.2015 2179
RAR 362.6 кбайт
87 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Свешникова Антонина Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 3 месяца
Подписчики: 1
Всего просмотров: 74379
Всего материалов: 34

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Систематизация решений систем уравнений.
Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
Практическое применение теоремы.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида:

где ─ некоторые числа.

Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения.

Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю.

Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения:

И подставим его во второе. Получим:

Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Система есть частный случай системы , где

Единственным решением этой системы является пара чисел

Пример 3. Решим систему уравнений:

Из каждого уравнения системы получим

Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так:

Здесь может быть любым числом, а .

Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число.

Пример 4. Решим систему уравнений

Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и .

Пример 5. Решим систему уравнений:

Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы

Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы.

О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Из первого уравнения системы получим, что:

. Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение:

Здесь возможны три случая.

Если:

то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение.

Так как и то условие можно записать в виде

Если:

то уравнение не имеет корней и система не имеет решений.

Так как то условия можно записать в виде

Если:

то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений.

Так как то условия можно записать в виде

если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число.

Пример 1. Определим число решений системы уравнений:

а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение.

б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений.

в) Так как выполняется условие то система не имеет решений.

Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений.

Пример 2. При каком значении система

не имеет решений?

Система не имеет решений, если выполняется условие

. Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при

Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений?

Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует.