Системы двух уравнений с двумя неизвестными конспект урока

Конспект урока алгебры, 9 класс. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных (). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.

Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность чисел , таких что их соответствующая подстановка вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: «Система нелинейных уравнений с двумя переменными»

Дата проведения: 4 декабря 2015 года.

Учитель: Юдина Наталья Вячеславовна.

Цели: — обучить учащихся решению системы нелинейных уравнений с двумя переменными;

— развитие вычислительных навыков самостоятельного решения заданий;

— воспитание сознательного отношения к изучению предмета.

Тип: Ознакомление с новым материалом.

Метод: Словесное объяснение материала с демонстрацией и практическим решением заданий.

1. Организационный момент

1. Проверка подготовленности учащихся к занятию.
2. Приветствие учителя и учащихся.
3. Постановка целей и задач занятия.

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Систематизация решений систем уравнений.
• Использование отношений коэффициентов при решении систем уравнений.
• Практическое применение теоремы.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перенеся все члены правых частей этих уравнений в левые части, и приведя подобные члены, получим равносильную данной систему вида:

где ─ некоторые числа.

Мы уже знаем, как решать такую систему, когда все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. Мы знаем так же, что если коэффициенты при неизвестных непропорциональны, то решение системы существует и единственно; если же коэффициенты при неизвестных системы пропорциональны, то либо решений бесконечно много, либо нет ни одного решения.

Нам остаётся рассмотреть те случаи, когда некоторые коэффициенты при неизвестных равны нулю. Рассмотрим это на характерных примерах.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Второе уравнение этой системы имеет отличные от нуля коэффициенты при неизвестных, а первое уравнение имеет коэффициент при , отличный от нуля, и коэффициент при , равный нулю.

Эту систему проще решить методом подстановки. Найдем из первого уравнения:

И подставим его во второе. Получим:

Таким образом, пара чисел есть единственное решение системы.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Система есть частный случай системы , где

Единственным решением этой системы является пара чисел

Пример 3. Решим систему уравнений:

Из каждого уравнения системы получим

Так как систему мы рассматриваем как частный случай системы , где то система может быть записана так:

Здесь может быть любым числом, а .

Таким образом, решения системы записываются в виде пар чисел , где ─ любое число.

Пример 4. Решим систему уравнений

Эта система противоречива (не имеет решений), потому что не может одновременно равняться и 1, и .

Пример 5. Решим систему уравнений:

Если , то эта система противоречива, потому что никакая пара чисел не удовлетворяет второму уравнению системы

Если , то второе уравнение обращается в верное равенство при любых Остаётся только первое уравнение. Оно уже рассматривалось. Следовательно, все решения первого уравнения являются решениями системы.

О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Пусть дана система уравнений:

где все коэффициенты отличны от нуля.

а) имеет единственное решение, если ;

б) не имеет решений, если ;

в) имеет бесконечно много решений, если , и при этом все решения можно записать в виде , где ─ любое число.

Из первого уравнения системы получим, что:

. Подставив полученное выражение вместо во второе уравнение системы и учитывая, что получим уравнение:

Здесь возможны три случая.

1. Если:

то уравнение имеет единственный корень, поэтому и система имеет единственное решение.

Так как и то условие можно записать в виде

1. Если:

то уравнение не имеет корней и система не имеет решений.

Так как то условия можно записать в виде

1. Если:

то уравнение имеет бесконечно много корней, поэтому и система имеет бесконечно много решений.

Так как то условия можно записать в виде

если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечно много решений, и эти решения задаются парами , где любое число.

Пример 1. Определим число решений системы уравнений:

а) Так как выполняется условие , то система имеет единственное решение.

б) Так как выполняется условие , то система имеет бесконечно много решений.

в) Так как выполняется условие то система не имеет решений.

Ответ: а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) нет решений.

Пример 2. При каком значении система

не имеет решений?

Система не имеет решений, если выполняется условие

. Условие выполняется лишь при При этом условие также выполняется. Следовательно, система не имеет решений при

Пример 3. Существует ли значение , при котором система не имеет решений?

Система не имеет решений, если выполняется условие . Условие выполняется лишь при При этом условие не выполняется. Следовательно, таких не существует.

Ответ: не существует.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите пропущенные элементы при решении системы.

Перенесем из первого уравнения в правую часть 4, получим

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения __ равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

Перенесем из первого уравнения в левую часть 4, получим:

Найдем отношение коэффициентов при х и у в системе:

‑ так как отношения не равны, значит, система имеет одно решение. Решим систему способом подстановки:

№2. Тип задания: восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Решите систему двух уравнений:

Значит, система имеет единственное решение.

Так как отношение коэффициентов равно —

Значит, система имеет единственное решение.

Так как отношение коэффициентов равно —

Значит, система имеет единственное решение.

Перенесем в первом уравнении из левой части в правую 4:

Конспект урока на тему «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по алгебре

УМК: Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 17-е изд., — М.: Мнемозина, 2013. – 175 с. : ил.

Тема урока: системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Воспитательные:развитиеинтереса к математической науке, развитие культуры математической записи, активизация самостоятельной деятельности учащихся

Личностные:формирование процесса самооценки, удовлетворенности результатами урока;

Развивающие: развитие математической речи, развитие интеллектуальных и общеучебных умений, развитие математического мышления, развитие логических приемов (анализа, синтеза)

Метапредметные: уметьстроить логические связи, уметь обрабатывать полученную информацию; уметь слушать и вступать в диалог, уметь выражать свои мысли.

Обучающие:создание условий для изучения темы системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, развитие умения решать системы уравнений разными методами.

Предметные: уметь решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, знать алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестнымиграфическим методом, методом подстановки, методом сложения.

Средства обучения: Учебник, доска, экран, компьютерная презентация, рабочие материалы(карточки самостоятельной работы)

Трудовые действия учителя:
— формирование способности к логическому рассуждению и коммуникации, установки на использование этой способности, на ее ценность;

— ведение диалога с обучающимися или группой обучающихся в процессе решения задачи, выявление сомнительных мест, подтверждение правильности решения;

-формирование конкретных знаний, умений и навыков в области математики;

— применять средства ИКТ в решении задачи там, где это эффективно;

-пользоваться заданной математической моделью, в частности формулой, геометрической конфигурацией, алгоритмом, прикидывать возможный результат моделирования (например – вычисления);

— Содействие формированию у обучающихся позитивных эмоций от математической деятельности, в том числе от нахождения ошибки в своих построениях как источника улучшения и нового понимания;

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения

Подведение итогов урока

Приветствует детей, проверяет их готовность к уроку. Настраивает на активную работу.

Организовывают рабочее место.

Здороваются с учителем.

«Для начала давайте ответим на несколько вопросов:

Какое уравнение называется уравнением с двумя переменными?

Что такое система уравнений ?

Что значит решить систему уравнений?

Сколько решений может иметь система уравнений?

Какие способы решения системы уравнений вы знаете?

«Вы наверное уже догадались какую именно тему мы будем с вами повторять?»

Ученики устно отвечают на вопросы:

«Так называют равенство вида ax + b у+ c =0 , где a , b , c – конкретные числа, а х,у переменные»

« Система уравнений состоит из пары уравнений с двумя неизвестными»

«Значит найти такие пары ( x , y ) которые одновременно будут удовлетворять обоим уравнениям.

«Система уравнений может не иметь решений вообще, может иметь единственное решение, либо бесконечное множество решений»

«Графический метод, метод подстановки, метод алгебраического сложения»

Постановка учебной задачи (целеполагание), составление плана и последовательности действий (планирование);

Мотивация к учебной деятельности : создание условий для осознания учеником того, что полезного и нового он узнает на уроке.

Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении;

Развитие личной активности учащихся, единства внутренней и внешней деятельности.

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом

«Отлично, все вспомнили, а теперь перейдем к повторению методов решения систем уравнений»

«Давайте вспомним алгоритм решения системы уравнений графическим способом»

Учитель предлагает ученикам воспроизвести алгоритм по памяти, направляя их в нужное русло в случае ошибки»

«Отлично, мы с вами воспроизвели алгоритм решения системы уравнений графическим методом, теперь решим несколько заданий применяя данный алгоритм»

Ученики совместно с учителем воспроизводят алгоритм решения системы уравнений.

выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить,

Умение слушать и вступать в диалог;

планирование учебного сотрудничества со сверстниками и учителем.

Развитие личной активности учащихся, единства внутренней и внешней деятельности

Решите систему уравнений графическим методом:

«Ребята давайте проверим, нет ли ошибок в решении на доске?»
В случае наличия ошибки, учитель направляет учеников на поиск и исправление ошибки.

«Отлично, вы справились с заданием!

Двое учеников по желанию, по очереди решают задание у доски, остальные ученики решают самостоятельно в тетрадях, сверяя полученный ответ с доской.

волеваясаморегуляция в ситуации затруднения, планирование, прогнозирование. Коммуникативные: выражение свих мыслей, аргументация своего мнения, постановка вопросов, инициативное сотрудничество. Познавательные: самостоятельное выделение-

решение проблемы, построение логической цепи рассуждений.

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки

Теперь давайте вспомним следующий метод решения систем уравнений, а именно метод подстановки»

Учитель предлагает ученикам воспроизвести алгоритм по памяти, направляя их в нужное русло в случае ошибки»

«Отлично, мы воспроизвели алгоритм решения системы уравнений методом подстановки, а теперь используем наши знания на практике»

Ученики совместно с учителем воспроизводят алгоритм решения системы уравнений.

выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить,

Умение слушать и вступать в диалог;

планирование учебного сотрудничества со сверстниками и учителем.

Развитие личной активности учащихся, единства внутренней и внешней деятельности

Решить системы уравнений методом подстановки:

«Молодец, ребята давайте проверим верно ли решено задание?»

В случае наличия ошибки, учитель направляет учеников на поиск и исправление ошибки.

Двое учеников по желанию, по очереди решают задание у доски, остальные ученики решают самостоятельно в тетрадях, сверяя полученный ответ с доской.

волеваясаморегуляция в ситуации затруднения, планирование, прогнозирование. Коммуникативные: выражение свих мыслей, аргументация своего мнения, постановка вопросов, инициативное сотрудничество. Познавательные: самостоятельное выделение-

решение проблемы, построение логической цепи рассуждений.

Повторение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения

«Молодцы ребята, нам осталось повторить последний метод решения систем уравнений, а именно метод алгебраического сложения»

«Отлично, теперь осталось решить несколько задач данным способом»

Ученики совместно с учителем воспроизводят алгоритм решения системы уравнений.

выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить,

Умение слушать и вступать в диалог;

планирование учебного сотрудничества со сверстниками и учителем.

Развитие личной активности учащихся, единства внутренней и внешней деятельности

Решить системы уравнений методом алгебраического сложения:

«Ребята давайте проверим, нет ли ошибок в решении на доске?»
В случае наличия ошибки, учитель направляет учеников на поиск и исправление ошибки.

Двое учеников по желанию, по очереди решают задание у доски, остальные ученики решают самостоятельно в тетрадях, сверяя полученный ответ с доской.

волеваясаморегуляция в ситуации затруднения, планирование, прогнозирование. Коммуникативные: выражение свих мыслей, аргументация своего мнения, постановка вопросов, инициативное сотрудничество. Познавательные: самостоятельное выделение-

решение проблемы, построение логической цепи рассуждений.

«Итак, мы с вами повторили все методы решения систем уравнений, теперь решим следующее задание:

Решите систему уравнений:

Учитель вызывает 3 учеников для одновременного решения системы 3 различными способами.

Остальным ученикам предлагается выбрать для решения тот метод, который им нравится больше всего.

3 ученика решают пример у доски, остальные решают в тетради.

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата,

оценка результатов работы, самооценка

Нравственно-этическая ориентация, оценивание усваиваемого содержания

Ученикам раздаются карточки с самостоятельной работой.
На каждой карточке 3 уровня.

«Ребята, сейчас я предлагаю каждому из вас оценить насколько хорошо, по вашему мнению, вы знаете тему «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными». В соответствии с вашей самооценкой, предлагаю выбрать вам уровень в самостоятельной работе: А – «3» , В – «4», С – «5».»

Выполняют самостоятельную работу на листочках

Индивидуализация учебного процессас помощью самостоятельной работы.
Цель: вызывать у учащихся положительные эмоции от процесса самооценки, благотворно влиять на их учебную мотивацию и отношение к учебной работе в дальнейшем.

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата, оценка результатов работы, самооценка

«Мы сегодня отлично с вами поработали. Давайте подведем итоги: что вы сегодня узнали на уроке? Чему вы сегодня научились?» «Все ли было понятно? Пожалуйста на обратной стороне листочка с самостоятельной работой нарисуйте смайлик отражающий то, насколько вам понравился наш урок. После этого сдайте листочки и можете быть свободны»
«Спасибо за урок, до свидания»

Познавательные: рефлексия способ и условий действия, контроль и оценка процессов результата деятельности, адекватное понимание причин успеха и неуспеха.

Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 17-е изд., — М.: Мнемозина, 2013. – 175 с. : ил.

Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович. Н.П.Николаев – 17-е изд., — М.: Мнемозина, 2013. – 175 с. : ил.