Системы иррациональных уравнений способы решения уравнений

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

, зав. кафедрой математики ДВГГУ

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

Традиционно в контрольные измерительные материалы для проведения единого государственного экзамена по математике включаются задачи позволяющие проверить умения выпускников решать различные системы уравнений. Как правило, это системы из двух уравнений с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему могут быть как алгебраическими, в том числе иррациональными, так и трансцендентными. В рамках этой статьи рассмотрим основные методы решения систем с двумя переменными иррациональных, логарифмических и показательных уравнений.

Прежде чем непосредственно переходить к методам решения систем уравнений напомним основные определения и свойства различных функций, которые могут входить в уравнения системы.

Напомним, что два уравнения с двумя неизвестными образуют систему уравнений, если ставится задача о нахождении таких значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел, при подстановке которых в систему вместо соответствующих переменных, получаются верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – означает найти все ее решения.

Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения, состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые приводят к равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то обязательна проверка найденных решений.

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Следует отметить, что

1. Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

Функции y = и y = являются возрастающими на своей области определения.

При решении систем иррациональных уравнений используются два основных метода: 1) возведение обеих частей уравнений в одну и туже степень; 2) введение новых переменных.

При решении систем иррациональных уравнений первым методом следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является следствием первоначального, в связи с этим, в процессе решения могут появиться посторонние корни. При решении иррациональных уравнений часто используется формула = f(x), применение которой в случае четного n может привести к расширению области определения уравнения. По этим (и по другим) причинам при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Рассмотрим примеры решения систем иррациональных уравнений различными методами.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные. Пусть ……………………… (1),

тогда первоначальная система примет вид: . Решая полученную систему, например методом подстановки находим: . Подставим найденные значения в систему (1), получим: . Возведя обе части первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему: , откуда находим:

Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы является решением исходной системы.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. 1. Из второго уравнения системы имеем: . Подставим в первое уравнение системы вместо правую часть равенства, получим: или ………………………..(2). Введем новую переменную: положим …………………….(3) и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение от переменной : . Находим корни этого уравнения, например, по теореме Виета: . Корень является посторонним, так как через обозначили арифметический корень. Подставим, в (3), получим . Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим : .

Подставим, полученное выражение во второе уравнение первоначальной системы: . Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, при этом, чтобы не расширить область допустимых значений полученного уравнения, потребуем, чтобы ………………………………(4).

; .

В силу (4) корень является посторонним.

Найдем значение у при : .

Нетрудно убедиться в том, что пара (0; 4) является решением первоначальной системы уравнений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение. 1. Заметим, что правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, т. е. .

2. Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим уравнение: . Тогда система примет вид: . Из первого уравнения системы находим значения . Подставим их во второе уравнение и найдем значения переменной :

.Так как найденные значения не удовлетворяют неравенству , пара (10; 5) не является решением первоначальной системы.

.Эта пара значений удовлетворяет неравенству . Нетрудно убедиться в том, что найденная пара чисел является решением первоначальной системы.

Для успешного решения показательных и логарифмических систем уравнений, вспомним определение и свойства логарифма.

Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) .

4) = ; 9)

5) = ;

Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:

1) Область определения функции , где — всё множество действительных чисел; функции , где — множество положительных действительных чисел.

2) Множество значений функции — множество положительных действительных чисел; функции — всё множество действительных чисел.

3) Промежутки монотонности: если обе функции возрастают; если — обе функции убывают.

Замечание. В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении показательных уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения ……….(1) к уравнению ;

2) введение новых переменных.

Иногда приходится применять искусственные приемы.

Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:

Если , то уравнение равносильно уравнению .

Перечислим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения к уравнению вида;

2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Решение простейшего логарифмического уравнения вида

……(1)

основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: — единственный корень.

Для уравнения вида …………..(2)

получаем равносильное уравнение .

Пример 4. Найдите значение выражения , если пара является решением системы уравнений .

Решение. 1. Исходя из области определения логарифмической функции получаем требования .

2. Так как уравнения системы содержат логарифмы по двум разным основаниям, перейдем к одному основанию 3: . Воспользовавшись свойствами логарифмов, получим систему: . По определению логарифма имеем: . Из второго уравнения системы получаем значения . Учитывая условие , делаем вывод что — посторонний корень. Из первого уравнения последней системы находим значение при : . Таким образом пара (9; 3) является единственным решением первоначальной системы уравнений.

3. Найдем значение выражения

Пример 5. Найдите наибольшую сумму , если пара является решением системы уравнений .

Решение. Имеем систему показательных уравнений. Особенностью этой системы является то, что неизвестные находятся как в показателе степени, так и в ее основании. Первым шагом при решении таких систем обычно стараются оставить неизвестные только в показателе степени.

В нашем случае это нетрудно сделать, выразив из второго уравнения системы: . Подставим полученное выражение для в первое уравнение системы, получим: . Получили показательное уравнение от одной переменной.

Воспользуемся свойствами степени: . В уравнение входят степени с двумя разными основаниями. Стандартным приемом перехода к одному основанию является деление обеих частей уравнения на одну из степеней с наибольшим показателем. В нашем случае разделим, например, на , получим показательное уравнение: . Стандартным методом решения такого вида показательного уравнения является замена переменной. Пусть (замечаем, что на основании свойств показательной функции, значение новой переменной должно быть положительным), тогда получим уравнение . Находим корни этого уравнения ; . Решаем совокупность двух уравнений: . Получаем: ; .

Из уравнения находим соответствующие значения переменной :

; . Таким образом, пары и являются решениями первоначальной системы.

Найдем суммы вида и выберем из них наибольшую, которая очевидно равна 3.

Рассмотрим несколько примеров «комбинированных» систем уравнений в которые входят уравнения различных видов: иррациональные, логарифмические, показательные.

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. 1. На основании свойств логарифмической функции, имеем ,

2. Преобразуем систему, воспользовавшись свойствами степени и логарифма:

3. Второе логарифмическое уравнение системы содержит одинаковые логарифмы, рациональным методом решения таких уравнений является метод замены переменной. Пусть (1), тогда второе уравнение системы примет вид: . Решим это дробно-рациональное уравнение, учитывая, что . Получим: ; . Воспользуемся равенством (1) и выразим через .

При , , откуда . Подставим это выражение в первое уравнение последней системы: . Решим это уравнение: , так как должен быть положительным, то это посторонний корень; , тогда из равенства , получаем .

При , , откуда . Подставим это выражение в первое уравнение последней системы: . Мы уже нашли, что , следовательно равен нулю может быть только второй сомножитель произведения: . Найдем корни этого уравнения: . Очевидно, что — посторонний корень. Следовательно, еще одним решением системы является пара .

Ответ: ; .

Пример 7. Решить систему .

Решение. 1. Отметим, что система смешанного типа, состоит из логарифмического и иррационального уравнений. Учитывая область определения логарифмической функции, имеем: ; ……………….(1)

Область допустимых значений иррационального уравнения определять не будем, чтобы не тратить время на решение системы неравенств, которая при этом получиться. Но тогда обязательно, когда найдем значения переменных, необходимо сделать проверку.

2. Воспользовавшись свойствами логарифма преобразуем первое уравнение системы:

.

Таким образом, из второго уравнения системы мы выразили одну переменную через другую.

3. Подставим во второе уравнение системы вместо переменной ее выражение через , получим иррациональное уравнение от одной переменной, которое будем решать возведением обеих частей в квадрат:

Найдем корни квадратного уравнения: .

Учитывая, что , найдем значения переменной : .

4. Учитывая (1) делаем вывод, что — постороннее решение. Следовательно, пара чисел (3; 5) не является решением первоначальной системы. Пара чисел (1; 3) удовлетворяет условию (1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта пара удовлетворяет и второму уравнению системы.

Пример 8. Решить систему

Решение. 1. Рассмотрим второе уравнение системы. Чтобы избавиться от иррациональности, уединим квадратный корень и возведем обе части уравнения в квадрат:

Рассмотрим это уравнение как квадратное, относительно переменной : и найдем его корни: ; .

2. Обе части первого уравнения прологарифмируем по основанию 3, тем самым мы избавимся в уравнении от показательных функций по разным основаниям: .

3. Учитывая найденные выражения для переменной , решим две системы уравнений:

А) и Б) .

А) Подставим выражение для в первое уравнение системы, получим: . Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: . Тогда из второго уравнения системы имеем: . Таким образом, пара является решением системы А). Непосредственно проверяем, что эта пара удовлетворяет второму уравнению первоначальной системы.

Б) Подставим выражение для в первое уравнение системы, получим: . Тогда из второго уравнения системы имеем: . Таким образом, пара является решением системы Б). Непосредственно проверяем, что эта пара удовлетворяет второму уравнению первоначальной системы.

Ответ: ;

Задания для самостоятельного решения

1. Решить систему

2. Решить систему

3. Найти , если

4. Решить систему

5. Решить систему

6. Решить систему

Альманах педагога

Автор: Шарапова Наталья Алексеевна
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ НСО «Новосибирский радиотехнический колледж»
Населённый пункт: г.Новосибирск
Наименование материала: методическая разработка занятия по математике
Тема: Способы решения систем иррациональных уравнений
Раздел: среднее профессиональное

Новосибирский радиотехнический колледж

Занятие по математике

Способы решения систем

Выполнил: учитель математики

Шарапова Наталья Алексеевна

I. 1. Обучающиеся должны «придумать», «открыть » способы решения

систем иррациональных уравнений.

2. Обучающиеся должны увидеть способ решения каждой из

предложенных систем уравнений.

3. Обучающиеся должны научиться применять открытые ими способы и

приёмы для решения систем иррациональных уравнений.

4. Повторить способы решения систем уравнений.

II. 1. Развитие логического мышления учащихся.

2. Развитие творческих способностей учащихся.

3. Развитие навыков сопоставления, анализа, обобщения.

4. Развитие самостоятельной деятельности учащихся.

III. 1.Воспитание целеустремлённости, умения доводить дело до конца;

2.Воспитание чувства радости от проделанной работы.

4. презентация слайдов,

5. лист с индивидуальным заданием,

6. памятка со способами решения систем уравнений.

Тип занятия — комбинированный

1)Ответ учителя на вопросы учащихся по домашнему заданию (3 минуты).

Вопросы учащимся: 1) Какие вы знаете основные способы решения

-Способ подстановки и способ сложения.

2) В чём заключается каждый способ? Каков алгоритм решения?

-Для решения системы уравнений способом подстановки необходимо

выразить одну из переменных через другую из одного уравнения, а затем

подставить полученное выражение вместо переменной в другое

— Метод сложения заключается в том, чтобы алгебраически сложить

два уравнения, тогда мы можем вычислить одну из переменных, а затем

подставим её значение в любое из удобных нам уравнений и найдем

3) Тема сегодняшнего урока «Способы решения систем уравнений»

4) Решите систему уравнений: (устно) Слайд № 2

Первая система легко решается способом сложения: 2х=10, х=5; у=7-х,

у=2. Ответ (5;2) . Краткие записи делаются на доске.

Вторая система решается способом сложения, предварительно умножив

второе уравнение на дополнительный множитель (-2)

, у=2 или способом подстановки:

-7у=-14, у=2, х=5. Ответ (5;2) .

Третья система проще решается способом сложения, предварительно

умножив каждое уравнение на дополнительный множитель

Изучение нового материала.

Вступительное слово учителя. Сегодня мы должны научиться находить

способы решения систем иррациональных уравнений. Не каждый способ

рационален, не каждый способ приведёт к решению. Применяя

известные способы, мы можём прийти в тупик, но этого не надо

бояться, надо искать новые способы решения системы уравнений,

применять совершенно другой подход. Решение существует и его надо

просто увидеть. Так и в жизни мы часто стоим перед выбором, и,

порою, трудно найти выход из ситуации, трудно принять правильное

решение, но выход должен быть, надо либо перебрать все возможные

известные варианты либо придумать что-то кардинально новое. Вот

мы сегодня этим и будем заниматься. Либо вспомним и применим

известное ранее, либо придумаем что-то новое. Начнём решение с

очень простых систем.

Каков способ решения этой системы. (Слайд №3).Напоминаю, цель

сегодняшнего урока: найти способы решения систем уравнений, до

конца систему мы решать не будем, преобразования будем делать до

тех пор, пока не увидим дальнейший ход решения системы уравнений.

Учащиеся должны записать в тетради способ

Через 1-2 минуты учитель просматривает тетради. (Слайд № 4) Учащиеся

предлагают способы решения. Рассматриваются все предложенные

варианты, выбирается лучший способ: возведение в квадрат иррационального

уравнения, т.е. приём «мозговой штурм». Таким способом находятся решения

для каждой системы. Делаем вывод. Первый способ:

квадрат одного или двух уравнений, если радикал находится в

одной части уравнения, или в обеих, но легко исчезает при

возведении в соответствующую степень.

А если бы уравнение содержало радикал не второй степени, а третьей,

четвёртой или n-ой? Учащиеся предлагают свои варианты.

Демонстрируется слайд № 5 (аналогичная работа). Учащиеся предлагают

свои способы решения.

Демонстрируется слайд № 6

такая система учащимся знакома, дальше её не решаем.

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

Демонстрируется слайд № 7

учащиеся видят, что система решается вторым способом, делают замену

. И снова такая система учащимся знакома, дальше её не

Демонстрируется слайд № 8

в этой системе учащиеся должны увидеть, что нужна замена

переменной, содержащей радикал (хотя вовсе и необязательно), что в

первом уравнении появляется формула разности квадратов. Раскладываем

на множители левую часть, подставляем 2 вместо одной из скобок и

получаем новую простую систему уравнений. Слайды № 9

после замены переменных применяем формулы

сокращённого умножения (в данном случае формулу разности

Перейдём к более сложным системам уравнений.

4) Минута релаксации (слайды №10, 11 с природой и немножко

посмотреть в окно, на чудесное зимнее небо)

5) Продолжение урока. Слайд № 12, 13

учащиеся видят, что система решается вторым способом,

, дальше могут быть два варианта, или начнут

решать способом подстановки, или увидят, что можно работать с первым

уравнением. Лучше преобразовать первое уравнение:

Вывод: систему решали

Слайд № 14, 15, 16

методом «мозгового штурма», «узнают в лицо»

формулу квадрата суммы, применяют её

как поступить дальше? Четвёртый способ:

системы уравнений переходим к совокупности систем, решение

каждой из которых является решением совокупности систем

учащиеся должны увидеть третий способ, но здесь формула

суммы кубов двух выражений.

система решается первым способом, а затем

методом проб и ошибок, т.е. обсуждаются идеи

решения «мозговым штурмом», учащиеся видят в первом уравнении две

взаимно-обратные переменные, но в этом случае заменяем не одну

переменную под корнем, а целых две переменные, а затем получаем

-1,5а-1=0, отсюда а=2 и

а=-0,5. при а=-0,5 выражение

не имеет смысла, получаем одну

систему, которую решаем первым способом

получим одну систему?

-Нет, если оба числа положительные, то получим совокупность систем

Слайды № 21, 22, 23

эта система интересна тем, что её хочется разбить

на две системы, когда

, но при у=0 выражение у

неотрицательно, тогда и х=0, а при этих условиях пара (0;0) не

удовлетворяет второму уравнению, остаётся совокупность двух систем

вывод: после всех рассуждений систему решали четвёртым

Возведение в квадрат одного или двух уравнений,

если радикал находится в одной части уравнения, или в обеих, но

легко исчезает при возведении в соответствующую степень.

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

после замены переменных применяем формулы

от одной системы уравнений переходим к

совокупности систем, решение каждой из которых является

решением совокупности систем.

При решении любой системы иррациональных уравнений

корни или способом проверки или находим область определения

При решении систем иррациональных уравнений возможна

комбинация нескольких способов

6) Закрепление изученного материала.

Вариант а) Каждый учащийся получает памятку со способами решений

(приложение №1) и лист с заданием (приложение №2): к каждой системе

подобрать способ решения (заполняют таблицу ответов) при наличии

времени учащиеся должны решить любую систему уравнений до конца,

отобрать корни уравнения, записать ответ. Учитель в это время отвечает на

вопросы учащихся, при необходимости корректирует их работу.

Вариант б) учащиеся садятся к компьютерам и выполняют то же самое

задание, заполняя таблицу ответов на компьютере. Учитель может быстрее

проверить работу учащихся.

7)Проверка выполненных заданий. (Слайд № 26). Проверяются ответы,

обсуждаются способы решений.

8) Домашнее задание. Решить любые три системы уравнений из данного

листа с заданиями, учитывая, что трудность решения увеличивается от

первого номера к последнему заданию. К следующему уроку можно

принести задания с системами уравнений, взятых из других источников,

если при решении этих заданий возникли трудности.

9) Итог урока. Урок заканчивается. Сегодня на уроке мы решили или

нашли способы решения для 13 систем уравнений. Конечно, это не все

способы, но мы научились их находить. Чему же научились на уроке? Кто

получил радость оттого, что сам придумал способ решения, радость

оттого, что просто увидел применение известного способа к решению

9) Минутка рефлексии. Вы можете сказать себе: (Слайд № 27)«Я –

молодец! Я очень хорошо сегодня поработал. Я сам научился искать

способы решения систем уравнений. Я научился думать, т.е.

анализировать, сравнивать, обобщать. Я получил радость от познания».

Спасибо всем за урок.

10) Оценки за урок можно поставить

— если ученик хорошо работал на уроке,

— положительную оценку за выполнение работы по закреплению

— за выполненную домашнюю работу.

1) Колмогоров А.Н. и др. «Алгебра и начала анализа»;

2)Саакян С.М. и др. «Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11

3) Шестаков С.А. и др. «Алгебра и начала анализа. Сборник задач для

подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы.»

Способы решения систем иррациональных уравнений

Возведение в квадрат одного или двух уравнений,

если радикал находится в одной части уравнения, или в обеих, но

легко исчезает при возведении в соответствующую степень.

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

после замены переменных применяем формулы

от одной системы уравнений переходим к

совокупности систем, решение каждой из которых является

решением совокупности систем.

При решении любой системы иррациональных уравнений

корни или способом проверки или находим область определения

При решении систем иррациональных уравнений возможна