Системы линейных уравнений элементарные преобразования слу

Системы линейных уравнений элементарные преобразования слу

Системы линейных уравнений

Линейное уравнение (л.у.) – уравнение вида

где – числа, называемые коэффициентами л.у., ,

– число, называемое свободным членом л.у.

Система линейных уравнений (СЛУ) – система вида

где – числа, называемые коэффициентами СЛУ, ,

– числа, называемые свободными членами СЛУ, ,

– переменные СЛУ, ,

– количество уравнений СЛУ,

– количество переменных СЛУ.

Сокращенная форма записи СЛУ (2)

, .

Матричная форма записи СЛУ (2)

где – матрица коэффициентов СЛУ размерности ,

– вектор свободных членов СЛУ размерности ,

– вектор переменных СЛУ размерности ,

0 – нуль-вектор размерности .

Квадратная СЛУ – СЛУ, состоящая из n уравнений с n переменными.

Решение СЛУ с n переменными – упорядоченная совокупность чисел ( для(4)), являющихся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

1. Точные методы решения – методы решения, дающие точное решение задачи за конечное число арифметических и логических операций в предположении отсутствия округлений. Применяются для решения задач с малым числом переменных – не более 10 3 .

2. Итеративные методы решения – методы решения, дающие возможность получить решение с заданной точностью или точное решение. Применяются для решения задач со средним числом переменных – не более 10 6 . Требуют меньше вычислений, чем точные методы решения.

3. Вероятностные методы решения. Применяются для решения задач с большим числом переменных – более 10 6 .

Совместная СЛУ – СЛУ, имеющая одно или несколько решений.

Определенная СЛУ – совместная СЛУ, имеющая единственное решение.

Неопределенная СЛУ – совместная СЛУ, имеющая более одного решения.

Несовместная СЛУ – СЛУ, не имеющая ни одного решения.

Однородная СЛУ (ОСЛУ) – СЛУ, все свободные члены которой равны нулю

,

, ,

.

1. Любая ОСЛУ имеет хотя бы одно решение – тривиальное решение, т.е. .

2. Для того чтобы ОСЛУ имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был меньше количества переменных системы.

Неоднородная СЛУ (НСЛУ) – СЛУ, у которой хотя бы один свободный член отличен от нуля

.

1. Для того чтобы НСЛУ была совместной СЛУ, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (7).

2. Квадратная НСЛУ с вырожденной матрицей коэффициентов может быть совместной неопределенной системой или несовместной системой.

,

где – коэффициенты СЛУ, ,

– свободные члены СЛУ, ,

– количество уравнений СЛУ,

– количество переменных СЛУ.

Равносильные СЛУ – две СЛУ, множества решений которых совпадают.

1. Всякие две несовместные системы считаются равносильными.

Элементарные преобразования СЛУ :

— умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;

— прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число;

— перестановка местами двух уравнений системы;

— перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений.

Эквивалентные СЛУ – две СЛУ, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований.

1. Любые две эквивалентные СЛУ – равносильные.

2. Любая СЛУ приводится посредством элементарных преобразований к системе с трапециевидной матрицей.

3. Любая квадратная СЛУ с невырожденной матрицей коэффициентов A приводится посредством элементарных преобразований к системе с треугольной матрицей.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Алгебра и теория чисел

Лекция 3

Системы линейных уравнений

План

1. Основные понятия и обозначения.

2. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

3. Ступенчатая матрица. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 25-48.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра — М, 2000. с. 5-22

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 38-56.

1. Основные понятия и обозначения. Простейшие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными изучаются в средней школе:

Известно, что справедлив один из следующих трех случаев: либо система имет одно решение, либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. В этом параграфе мы будем рассматривать общие системы линейных уравнений и установим это утверждение в общем случае кроме того изложим один из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений — метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса по имени выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).

Определение 1.Системой m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

где a₁₁ ,a₁₂ . a_mn — фиксированные числа (действительные, комплексные или принадлежащие некоторому полю) , называемые коэффициентами при неизвестных, b₁ ,b₂ . b_m — фиксированные числа, называемые свободными членами.

Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 2.Решением системы линейных уравнений (1) называется такой упорядоченный набор n чисел , при подстановке которыхв каждое из уравнений системы вместо соответственно неизвестных x_{1 ,} x_{2 .} x_n каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и называется неопределенной, если она не имеет решений.

Пусть S₁ , S₂ системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных, X₁ , X₂ — множества их решений соответственно.

Определение 3.Говорят, что система линейных уравнений S₂ следствие системы S₁ и S₂ , если каждое решение системы S₁ является решением системы S₂ ,т.е. . Обозначаем .

Определение 4. Говорят, что системы S₁ и S₂ равносильны, если каждое решение системы S₁ является решением системы S₂ и каждое решение системы S₂ является решением системы S₁ , т.е. . Обозначаем .

Отношение следования и равносильности обладают следующими свойствами.

1. Если и , то (транзитивность).

Действительно, если и , то по определению 3 и Отсюда по свойству включения и по определению .

2. (рефлексивность).

3. Если , то — (симметричность).

4. Если и , то — (транзитивность).

Свойства 2, 3, 4 доказываются аналогично.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

.

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство.В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной .

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему

(2)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

. (3)

Умножая его на число k,получим верное числовое равенство:

, (4)

т.о. устанавливаем, что решение системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы . Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число k , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

, (6)

. (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число k получим верное числовое равенство:

. (8)

Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число k получим числовое равенство (6).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.

Ступенчатая матрица.

Определение 6.Матрицей размерности называется прямоугольная таблица

содержащая mn чисел, расположенных в m строк и n столбцов, числа называются элементами матрицы. Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка m . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы a_ii называются элементами главной диагонали.

Определение 7. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

Матрицу ступенчатого вида называют также трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют треугольной матрицей. Ниже показаны две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

, , , , .

Определение 8. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство.Доказательство проводим методом математической индукции по числу m строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих m-1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится m строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер k , так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:

.

Можем считать, что элемент , в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число , к третьей — первую , умноженную на и т.д. , к m-й — первую, умноженную на . После этих преобразований матрица примет вид:

. (9)

Рассмотрим матрицу, состоящую из последних m-1 строк матрицы (9):

. 10)

Если матрица (10) нулевая, то все строки в матрице (9) кроме первой нулевые. Вычеркивая их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (10) ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида: ,

где элементы и не равны нулю. Тогда соответствующими преобразованиями строк матрица (9) преобразуется в матрицу ступенчатого вида:

; (11)

элементы , . не равны нулю. Теорема доказана.

4. Метод Гаусса. Системе линейных уравнений (1) соответствуют три матриц

, .

Первая матрица называется матрицей системы, вторая — расширенной или присойдиненной матрицей системы, третья — столбцом свободных членов.

Система линейных уравнений называется системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются главными неизвестными, а остальные неизвестные называются свободными.

Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. уравнение вида:

,

не имеет решений. Действительно, если — решение этого уравнения, то получим противоречие с условием. Такое уравнение называем противоречивым.

Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.

Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.

Теорема 3.Любую систему линейных уравнений , содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.

1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.

2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.

3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много решение.

Доказательство.Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.

В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.

В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:

В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е. система имеет вид:

(12)

где Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного : . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного единственное значение и т.д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных из первого уравнения находим единственное значение неизвестного . Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.

В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а

систему можно записать в виде:

(13)

где В этой системе r главных неизвестных , все остальные свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных найдутся однозначно из системы (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.

Следствие.Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.

Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение , и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом Гаусса.

Пример 1.Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

.

Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:

В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:

Решение системы .

Пример 2.Решить систему

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.

02. Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

.

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему

(2)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

. (3)

Умножая его на число K, получим верное числовое равенство:

, (4)

Т. о. устанавливаем, что  решение системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что  решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

, (6)

. (7)

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство:

. (8)

Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число K получим числовое равенство (6).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).

4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.