Системы линейных уравнений матрицы квадратичные формы

Квадратичные формы — определение и понятие с примерами решения

Содержание:

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой

Пример:

Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через а коэффициенты при через причем „ Член записывается в виде После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица: называется матрицей квадратичной формы F. Так как то А — симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

где А — матрица квадратичной формы, X — матрица-столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если А -симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных ,т.е. квадратичная форма является

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если — произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо X получится число , которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе .

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами ,т.е.:

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку А -симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица S, такая что:

где -собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование — матрица-столбец новых переменных — матрица, обратная к S.

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1 или -1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. при

Если канонический базис F(X), то выражение: называется каноническим видом F(X) в базисе где — новый набор неизвестных.

Теорема. Если — разложение вектора а по каноническому базису квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы F(X) и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

1. разложить вектор а по каноническому базису :
2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение — ее каноническим видом в базисе ,

Доказательство:

• , если так как -ортогональная система векторов =>,- канонический базис квадратичной формы F(X).
• = так как векторы системы нормированы, то .

Канонический базис Якоби квадратичной формы . Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что

Обозначим через матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. Из условия следует, что и, значит, каждая система уравнений , где вектор диагональной системы, имеет единственное решение . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

ее каноническим видом в базисе .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Квадратичные формы

Содержание:

Квадратичные формы и их определение

Определение. Квадратичной формой L (x₁, x₂, . x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, то есть
(2.44)

Допускаем, что в квадратичной форме (2.44) a_ij — действительные числа. Распишем квадратичную форму (2.44), разбив слагаемые, содержащие произведения переменных, на две равные части:

Матрица
(2.45)

или A = _ij> (i, j = 1, 2, . n) является симметричной, так как a_ij = a_ji, называется матрицей квадратичной формы (2.44).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, . x_n) = X T AX.

Выражение X T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY) T = Y T ⋅ C T .

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, . λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁ = 6, λ₂ = 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁ = 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂ = 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, . x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, . x_n используется неравенство L (x₁, x₂, . x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, . x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, . x_n) T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, . n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где — новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), — собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где — матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия — гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение — к виду или Это эллипс.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Линейные и квадратичные формы

Рассмотрим скалярную (числовую) функцию векторного аргумента , которая каждому значению векторного аргумента , т.е. каждому числовому столбцу размеров , ставит в соответствие число (значение скалярной функции). Наиболее простыми функциями векторного аргумента являются многочлены.

Многочленом первой степени от переменных называется выражение вида , где числа — коэффициенты многочлена (предполагается, что среди коэффициентов есть отличные от нуля); коэффициент называется свободным членом . Многочлен первой степени называется однородным, если для любого числа . Нетрудно показать, что многочлен будет однородным тогда и только тогда, когда отсутствует свободный член .

Линейной формой переменных называется однородный многочлен первой степени

где коэффициенты многочлена (6.3) называются коэффициентами линейной формы . Составляя из коэффициентов матрицу-строку ( строка коэффициентов линейной формы ), а из переменных — матрицу-столбец , линейную форму можно записать в виде

Многочленом второй степени от переменных называется выражение вида , где числа — коэффициенты многочлена : — старшие коэффициенты (или коэффициенты квадратичных членов ), — коэффициенты линейных членов , — свободный член . У многочлена второй степени не все старшие коэффициенты равны нулю одновременно. Многочлен второй степени называется однородным, если . Нетрудно показать, что многочлен будет однородным тогда и только тогда, когда отсутствуют линейные члены и свободный член .

Квадратичной формой переменных называется однородный многочлен второй степени

коэффициенты которого удовлетворяют условиям симметричности . Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов с неравными коэффициентами (при ) всегда можно заменить суммой с равными коэффициентами, положив . Приводя подобные члены, квадратичную форму (6.5) можно представить в виде

Это вид квадратичной формы с приведенными подобными членами .

Симметрическая матрица , составленная из коэффициентов квадратичной формы (6.5), называется матрицей квадратичной формы . Определитель этой матрицы называется дискриминантом , а ее ранг — рангом квадратичной формы . Квадратичная форма называется вырожденной , если ее матрица вырожденная , в противном случае, когда матрица невырожденная , квадратичная форма называется невырожденной .

Составляя из переменных матрицу-столбец , квадратичную форму можно записать в виде

Чтобы получить матрицу квадратичной формы (6.6), нужно:

1) записать квадратичную форму в виде (6.5), разбив удвоенные произведения на сумму двух одинаковых слагаемых;

2) из коэффициентов в (6.5) составить матрицу квадратичной формы. Коэффициенты у отсутствующих членов считаются равными нулю.

Чтобы составить матрицу квадратичной формы с приведенными подобными членами, нужно на главной диагонали матрицы поставить коэффициенты при квадратах переменных, а элементы, симметричные главной диагонали, взять равными половине соответствующих коэффициентов у произведений разных переменных.

Пример 6.4. Составить матрицу квадратичной формы, найти ее дискриминант и ранг:

Решение. Приведем данную квадратичную форму к виду (6.5):

Получили коэффициенты . Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид

Сравнивая эту матрицу с коэффициентами заданной первоначально формы отмечаем, что на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны половине соответствующих коэффициентов у произведений разных переменных. Вычисляем дискриминант и ранг квадратичной формы (так как определитель матрицы не равен нулю).

Пример 6.5. Записать линейную и квадратичную формы

в матричном виде как функции векторного аргумента и найти их производные первого и второго порядков.

Решение. а) Запишем линейную форму в матричном виде:

где — строка коэффициентов линейной формы. Находим градиент и матрицу Гессе , где — нулевая матрица 3-го порядка.

б) По заданной квадратичной форме с приведенными подобными членами составляем ее матрицу, записывая коэффициенты 1,3,1 при квадратах переменных на главную диагональ: , а половины соответствующих коэффициентов при произведениях — симметрично главной диагонали: . Коэффициенты у отсутствующих членов заменяем нулями: . Получаем матричную форму записи данной квадратичной формы

где — матрица квадратичной формы. Находим градиент функции и матрицу Гессе

Вычислим дискриминант и ранг данной квадратичной формы: .

1. Важным примером линейной формы служит первый дифференциал скалярной функции векторного аргумента

где дифференциалы являются переменными линейной формы, градиент , вычисленный при некотором фиксированном значении аргумента, является строкой коэффициентов линейной формы, а дифференциал векторного аргумента служит столбцом переменных линейной формы.

2. Важным примером квадратичной формы служит второй дифференциал скалярной функции векторного аргумента:

где дифференциалы являются переменными квадратичной формы, матрица Гессе , вычисленная при некотором фиксированном значении аргумента, является матрицей квадратичной формы, а дифференциал векторного аргумента служит столбцом переменных квадратичной формы. При этом дискриминант квадратичной формы равен гессиану скалярной функции, вычисленному при некотором значении векторного аргумента .

3. Как и в случае с многочленами одной переменной многочлены нескольких переменных можно рассматривать либо как функции, применяя к ним понятия математического анализа, либо как алгебраические выражения определенного вида, над которыми можно производить некоторые действия по указанным правилам. Например, линейная форма (6.3) или квадратичная форма (6.5) определены как многочлены, т.е. выражения некоторого вида. При этом можно не указывать область значений переменных, равенство двух многочленов понимать как равенство их степеней и соответствующих коэффициентов и т.п. В то же время, линейную и квадратичную формы можно рассматривать как скалярные функции векторного аргумента. При этом необходимо указывать область определения, равенство двух функций понимать как равенство их значений при каждом значении аргумента и т.п. Каждый из двух подходов полезен для выяснения тех или иных свойств многочленов, и в силу основной теоремы алгебры оба подхода по существу совпадают.

Преобразования форм при линейной замене переменных

Рассмотрим, как меняются коэффициенты линейной и квадратичной форм при линейной замене переменных.

Пусть переменные (условно называемые старыми) заменяются на переменные (условно называемые новыми) по формулам:

где — некоторые числа . В формуле (6.7) каждая старая переменная является линейной формой новых переменных. Такая замена переменных называется линейной . Составим из коэффициентов линейных форм (6.7) квадратную матрицу линейной замены переменных . Тогда формулы (6.7) можно записать в виде

Линейная замена (6.8) называется невырожденной , если определитель матрицы отличен от нуля.

Свойства линейных невырожденных замен переменных

1. Если — линейная невырожденная замена переменных, то обратная замена , выражающая новые переменные через старые , является также линейной и невырожденной.

2. Если и — линейные невырожденные замены переменных, то замена является также линейной и невырожденной.

Получим формулу изменения коэффициентов линейной формы при линейной невырожденной замене переменных . Подставляя выражение (6.8) в линейную форму , получаем снова линейную форму , коэффициенты которой связаны с коэффициентами заданной формы (6.4) равенством

Пример 6.6. Получить формулы преобразования первого дифференциала скалярной функции при линейной невырожденной замене векторного аргумента.

Решение. Пусть — скалярная функция векторного аргумента . Первый дифференциал является линейной формой дифференциалов независимых переменных (см. п. 1 замечаний 6.3).

Рассмотрим сложную функцию , где — линейная замена векторного аргумента. Учитывая, что матрица Якоби и (так как ), найдем первый дифференциал сложной функции

Таким образом, форма первого дифференциала не изменяется при линейной замене аргумента. Это частный случай известного свойства инвариантности формы первого дифференциала.

Получим формулу изменения матрицы квадратичной формы (6.6) при линейной невырожденной замене переменных . Подставляя (6.8) в (6.6), получаем

т.е. квадратичную форму , матрица которой связана с матрицей заданной квадратичной формы равенством

Пример 6.7. Найти второй дифференциал сложной функции , где , в окрестности некоторого фиксированного значения векторного аргумента , если известны матрица Гессе, вычисленная при , и матрица линейной замены переменных:

Решение. Второй дифференциал скалярной функции

является квадратичной формой дифференциалов независимых переменных (см. п.2 замечаний 6.3), причем матрица Гессе является матрицей этой квадратичной формы. При линейной замене переменных матрица Гессе функции преобразуется по закону (6.10), т.е.

Следовательно, искомый дифференциал имеет вид