Системы линейных уравнений метод гаусса конспект

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для проведения занятия по дисциплине “Математика” на тему “Решение систем линейных уравнений методом Гаусса” по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• элементарные преобразования над матрицами;
• этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

уметь:

• решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

обучающие:

• рассмотреть элементарные преобразования над матрицами;
• рассмотреть метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

развивающие:

• развивать умения анализировать полученную информацию, делать выводы;

воспитательные:

• воспитывать у студентов интерес к изучаемой дисциплине, показывать значимость знаний по данной теме для их дальнейшей профессиональной деятельности;
• воспитывать готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни.

Ход занятия

Фиксируют тему в тетрадь1 минОбъясняет ход занятияФиксируют план лекции в тетрадь3 минЗнакомит с методом ГауссаФиксируют этапы решения системы линейных уравнений методом Гаусса15 минЗнакомит с элементарными преобразованиями матрицыФиксируют элементарные преобразования матрицы15 минРассматривает метод Гаусса на конкретном примереФиксируют ход решения в тетрадь12 мин4. Практическая частьВыполняют задания25 минОсуществляет консультирование студентов по итогу проведения занятияЗадают вопросы5 мин5. Итоги занятияПроверяет результаты работыОценивают результаты своей работы5 минФиксирует результаты проверки в журналВыдает внеаудиторную самостоятельную работу с объяснениямиФиксируют задание, озвучивают вопросы по выполнению3 мин

Оценка “отлично”:

• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка “хорошо”:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущены одна ошибка или есть два–три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Оценка “удовлетворительно”:

• допущено более одной ошибки или более двух–трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка “неудовлетворительно”:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Общее время — 90 мин.

План занятия:

1. Организационный момент;
2. Проверка внеаудиторной самостоятельной работы;
3. Теоретическая часть;
4. Практическая часть;
5. Итоги занятия.

Теоретическая часть

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Система n линейных уравнений с m неизвестными может имеет вид:

, где

i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3. m.

Заметим, что число неизвестных m и число уравнений n в общем случае между собой никак не связаны. Возможны три случая: m=n, m > n, m 22.12.2016

Конспект на тему «Решение систем уравнений Методом Гаусса.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Решить систему уравнений методом Гаусса.

(*)

Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:

Полученная матрица описывает систему уравнений

, эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:

Убедимся в том, что полученный набор обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

1А. Решить методом Крамера систему линейных уравнений (*).

Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные операции над строками:

Третья строка этой матрицы соответствует уравнению

не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

3. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение. Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме:

Выпишем соответствующую систему уравнений:

Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение и выразим остальные переменные через c:

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: .

Подставляя c = 2, получаем другое частное решение: .

Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений.

Проверка: Подставим , и в каждое уравнение системы:

Уравнения обратились в тождества.

Краткое описание документа:

Материалы из Рабочей программы по дисциплине «Линейная алгебра». Направление подготовки: 38.03.01 Экономика. Направленность (профиль) образовательной программы «Мировая экономика», «Экономика предприятий и организаций (таможня)». Уровень высшего образования: БАКАЛАВРИАТ. Учебные и методические материалы данной дисциплинымогут быть особенно полезны и интересны школьникам 10 и 11 классов, студентам старших курсов ссузов, которые решили продолжать свое образование в вузах.В конспекте рассматривается 3 задачи решения систем уравнений методом Гаусса.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогика дополнительного образования детей и взрослых

• Сейчас обучается 2330 человек из 83 регионов

Курс повышения квалификации

Педагог дополнительного образования: современные подходы к профессиональной деятельности

• Сейчас обучается 426 человек из 65 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 760 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

Глава 5. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 13.01.2022
• 80
• 0

• 13.01.2022
• 71
• 2

• 13.01.2022
• 88
• 2

• 13.01.2022
• 68
• 0

• 13.01.2022
• 24
• 0

• 13.01.2022
• 61
• 0

• 13.01.2022
• 62
• 0

• 13.01.2022
• 23
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.01.2022 76
• DOCX 116.5 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Морозов Николай Петрович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 93461
• Всего материалов: 850

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.