Системы линейных уравнений с модулем 7 класс

Системы линейных уравнений с модулем 7 класс

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ \left\<\begin\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end\right.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$\left|x-y\right|=\left\<\beginx-y,\;\mathrm<или>\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm<или>\;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241338 0

Решение линейных уравнений с модулем

Разделы: Математика

Цели урока:

обучающие:

• отработка и закрепление навыков решения уравнений вида ;
• осознание учащимися единообразия данного метода;

развивающие:

• стимулирование познавательных процессов, внимания при изучении данной темы;
• усиление мотивации; формирование гибкости мышления;

воспитывающие:

• показать необходимость изучения теоретического материала;
• связь домашнего задания с материалом последующих уроков; изящество некоторых решений.

К этому уроку ученики знают: определение уравнения, его решения, общую схему решения уравнений вида , где А и В- выражения вида ах+b; они умеют: решать линейные уравнения, решать уравнения с модулем по схеме, устно решать уравнения 0х=0, 0х=а, где а 0; , где В 0; владеют навыками решения простых линейных уравнений.

Оборудование: раздаточный материал (карточки с индивидуальными заданиями; карточки с разноуровневыми заданиями для самостоятельной и домашней работы); цветной мел.

Основными результатами урока являются: безошибочное решение уравнений вида.

Ход урока

Оргмомент. Ученикам сообщаются тема, цель урока, план, заранее написанный на доске.

Слова учителя:

“Цель урока: применить знания, полученные на прошлых уроках, при решении линейных уравнений с модулем.

Дома вы решали такие уравнения по схеме. Сегодня мы эти знания закрепим и немного усложним уравнения. В конце урока самостоятельная работа покажет, как вы поработали дома, и сегодня на уроке.”

План урока (записан на доске):

• опрос по теории,
• устная работа + индивидуальная работа по карточкам,
• работа у доски и в тетрадях (разберем более сложные примеры) уравнений с модулем,
• самостоятельная работа,
• постановка домашнего задания и итоги.

Речь учителя: “Для того чтобы начать выполнять практические задания, надо вспомнить теорию”.

a) Вопросы к классу:

• определение уравнения,
• определения линейного уравнения,
• что значит решить уравнение,
• корень уравнения,
• уравнения с модулем какого вида мы уже изучали? (+определение модуля числа).

6) Общая схема решения уравнений этого вида?

После опроса по теории некоторые учащиеся получают индивидуальное задание.

Устная работа: Решить уравнения с модулем:

Учитель к каждому ответу требует пояснений. Собираются индивидуальные задания “Пожалуйста, сдайте индивидуальные задания” .

Кто быстрее и правильнее сделал, идет к доске.

Учитель ходит вдоль рядов, контролируя правильность выполнения каждого из заданий. По выполнении у доски вопросы к классу: “Кто безошибочно сделал 3 задания? 2 задания? 1 задание?”

Самостоятельная работа.

1 ур

2 ур

3 уровень

Итоги урока и постановка домашнего задания. “Сегодня на уроке мы закончили решать уравнения с модулем вида . Домашнее задание вы получаете на карточках. Оно состоит из 4 примеров, первые два из которых решаются непосредственно по схеме, в 3-ем схему надо применить 2 раза, 4 — на оценку по желанию.

Карточки с домашним заданием.

Перспективы: “Как вы думаете, что мы будем изучать на следующих уроках? Подскажу, это снова будут линейные уравнения. Еще подсказка, мы изучали до сих пор линейные уравнения с одним модулем. А на следующих уроках мы будем изучать уравнения с несколькими модулями. Урок окончен, спасибо, до встречи.”

Самоанализ урока:

1. Выбор класса обусловлен тем, что 7 класс набран в этом году. На уроке следовало показать родителям отличия программы по математике в лицее от общеобразовательной школы; уровень подготовки их детей; продемонстрировать важность теории, домашнего задания.
2. Место данного урока в системе уроков по теме: завершающий по первому блоку уравнений с модулем; позволяет обозначить план дальнейшей работы.
3. Выбор темы обусловлен тем, что схема решения таких уравнений является базой для решения любых классов уравнений с модулем, т.е., где f(x),g(x)-функции, то есть схема будет работать и в 8-11 классах.
4. Тип урока: комбинированный (закрепления знаний, проверки, оценки).
5. Структура урока: структура соответствует типу и цели; этапы взаимосвязаны; способствует достижению основной цели.
6. Методы работы: репродуктивный (с элементами исследования); метод беседы, опроса.
7. Формы работы: коллективная, индивидуальная, фронтальная, в тетрадях с учетом возрастных (объем и уровень изложения, смена видов деятельности, эффектность последнего примера в устной работе; расположение примеров на доске) и индивидуальных особенностей (уровень познавательной активности плюс особенности поведения, здоровья и психики некоторых школьников).
8. Обратная связь. Результаты выполнения индивидуального задания: “5”-3, “4”-5, “3”-1; качество 90%; у доски “5”-3.
9. Результаты выполнения самостоятельной работы: “5”-6, “4”-10, “3”-5, “2”-1, отсутствовали — 4, Качество 73%, справились 94%.

Выводы по уроку: урок достиг цели, считаю, что содержание и методика были подобраны правильно. Приращения ЗУН в том, что умение решать уравнения по схеме перешло в навык. Отмечу, что дополнительно на следующих уроках необходимо уделить внимание стыковочным задачам: уравнения с модулем – линейные уравнения.