Решение систем линейных уравнений с параметрами
Разделы: Математика
Цель:
- повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
- дать определение системы линейных уравнений с параметрами
- научит решать системы линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
- Организационный момент
- Повторение
- Объяснение новой темы
- Закрепление
- Итог урока
- Домашнее задание
2. Повторение:
I. Линейное уравнение с одной переменной:
1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной
[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х
— Если а=0, b=0, то х R
— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =
3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)
I ряд – I вариант |
Ответ: много корней
Ответ: корней нет
Ответ: единственный корень
II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]
3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]
5. Выясните, что представляет собой график уравнения:
[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3
Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]
6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?
[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]
7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]
8. Что значит решить систему уравнений?
[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]
9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).
10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]
11. Каким уравнением обычно задается прямая?
12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:
I вариант:
|
k1 = k2, b1b2, нет решений;
- y=-х+8
- y=2x-1,
k1k2, одно решение;
- y=-x-1
- y=-x-1,
k1 = k2, b1 = b2, много решений.
Вывод:
- Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
- Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
- Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.
III. Объяснение новой темы.
где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то система имеет единственное решение
2) Если , то система не имеет решений
3) Если , то система имеет бесконечно много решений.
IV. Закрепление
Пример 1.
При каких значениях параметра а система
- 2х — 3у = 7
- ах — 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
а) , а=4
б) , а?4
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а4, то решение единственное.
Пример 2.
Решите систему уравнений
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.
б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет
в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество
- у — любое
- x=n-2y
в) если m1 и n — любое, то
y= x=
Пример 3.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- ах-3ау=2а+3
- х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение
1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]
Следовательно, при а=0 система не имеет решений
Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у
3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2
1) если а=0, то (х; у)
2) если а=-3, то х=1+3у, у
3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-
Рассмотрим II способ решения системы (1).
Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:
Т.к. А1В2-А2В10, то х =
т.к. А2В1-А1В2 0 у =
Для удобства решения системы (1) введем обозначения:
— главный определитель
Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:
х= ; у=
Приведенные формулы называют формулами Крамера.
— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=
— Если , или , , то система (1) не имеет решений
— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.
В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.
Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.
Пример 4.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
- (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4
Решение: Найдем определитель системы:
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
1) Тогда
х= у=
2) или а=2
При а=0 определители
Тогда система имеет вид:
- 5х+3у=2 5х+3у=2
- 10х+6у=4
При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.
1) если а и а, то х= у=
2) если а=0, то х,
3) если а=2, то (х; у)
Пример 5.
Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений
Решение: = =а+1-2b
= = b -6; = 3a+3-b
1) . Тогда
х= у=
2)
Подставив выражение параметра а в систему, получим:
- 2bx+2y=b 2bx+2y=b
- bx+y=3 2bx+2y=6
Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.
Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению
12х+2у=6 у=3-6х
1) если , (а), то x=, y=
2) если b, a, то система не имеет решений
3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х
Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.
При каких значениях параметра система уравнений
- 3х-2у=5
- 6х-4у=b
а) имеет бесконечное множество решений
б) не имеет решений
б) b10
Системы уравнений с двумя переменными и параметрами
п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin
Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.
п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:
Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$
п.3. Примеры
Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).
Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)
Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin
Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных уравнений с параметром»
план-конспект занятия по алгебре (8, 9, 10 класс) на тему
дана система заданий на отработку правила Крамера; рассматривается решение систем линейных уравнений с параметром с помощью правила Крамера
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
схема, примеры, параметры | 136.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных уравнений с параметром»
Параметр ( от греческого слова parametron – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Исследование многих систем, процессов в жизни осуществляется с использованием параметров. Если для движущегося тела указан закон движения, то его положение в пространстве полностью определяется параметром времени. В качестве параметра для оценки состояния спортсмена тренером используется частота сердечных сокращений. Состояние больного врач- терапевт определяет с помощью параметров температуры, давления. Для функции Y=K/X в качестве параметра выступает коэффициент K обратной пропорциональности. Общим для всех примеров является выделение некоторых характеристик систем, по изменениям которых оценивается состояние всей системы.
В учебном пособии Г.А. Ястребинецкого « Уравнения и неравенства, содержащие параметры» параметр рассматривается как переменная, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной. В сборнике «514 задач с параметрами»под редакцией С.А.Тынянкина параметры- величины, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными, причем параметры могут принимать произвольные значения. Аналогичный взгляд на параметры изложен в книге П.И. Горнштейна и др. «Задачи с параметрами»: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет общаться с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы ограничивается его неизвестностью. В учебном пособии «Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами» В.И. Горбачева уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как уравнения и неравенства с несколькими переменными, при этом в качестве параметра может быть выбрана любая из переменных.
Главная особенность задач с параметрами — ветвление решения в зависимости от значения параметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификацией частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском общих решений каждого типа. Построение «картины» граничных значений параметров и выделяемых ими областей однотипности – составная часть выделения и исследования каждого типа частных уравнений и неравенств.
Решение и исследование систем линейных уравнений. Правило Крамера .
- Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений.
- Решить систему уравнений – значит найти все её решения
- Систему называют определенной , если она имеет конечное число решений
неопределенной , если она имеет бесконечное множество решений
совместной , если она имеет хотя бы одно решение
несовместной , если она не имеет ни одного решения
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными
Главным определителем системы называется число, которое равно
Первым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по формуле:
причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов при x заменить столбцом свободных членов .
Вторым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по формуле:
причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов при y заменить столбцом свободных членов .
1. Если главный определитель системы отличен от нуля , то система совместна и имеет единственное решение, причем
2. Если главный определитель системы равен нулю , а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное множество решений (является неопределенной), причем, если тогда где
С помощью правила Крамера легко проводить исследование систем уравнений с параметрами.
Исследовать систему уравнений — это значит решить вопрос о ее совместности или несовместности, и если она совместна, то найти все ее решения.
1 . Исследовать систему уравнений
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1. Главный определитель системы не равен нулю, если тогда система совместна и имеет единственное решение:
2. Если a — 1= 0, a = 1, тогда значит система совместна и имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной.
Пусть тогда из первого или второго уравнения где
Ответ : 1. Если тогда система совместна и имеет единственное решение
2. Если a = 1, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений, где
2 . Исследовать систему уравнений:
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1. Если тогда система совместна и имеет единственное решение
2. Если a = 2, тогда значит система несовместна.
3. Если a = 0, тогда значит система имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или второго уравнения находим где
1. Если тогда система совместна и имеет единственное решение
2. Если a = 2, тогда система несовместна.
3. Если a = 0, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений:
3 . Исследовать систему уравнений
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1. Если тогда система совместна и имеет единственное решение
2. Если a = -b, тогда система имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной. Положим тогда где
1. Если тогда система совместна и имеет единственное решение
2. Если тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений где
4 . Найти все значения а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
Если , то система имеет единственное решение.
5 . Найти все значения , при которых система уравнений
имеет бесконечное множество решений.
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю , а значит система совместна и имеет бесконечное множество решений.
6 . Найти все значения а , при которых система уравнений не имеет решений.
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
При a = -2 главный определитель равен нулю , а оба вспомогательных не равны нулю .
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать системы уравнений:
1. Если , то система совместна и имеет единственное решение .
2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
1. Если , то система совместна и имеет единственное решение:
2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
3. Если , то система несовместна.
1. Если , то система совместна и имеет единственное решение:
.
2. Если a = -1 или a = 2, то система имеет бесконечное множество решений.
3. Если a = 1 или a = 0, то система несовместна.
1. Если , то система совместна и имеет единственное решение (a; b).
2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений.
5 . Найти все значения a, при которых система уравнений имеет единственное решение.
6 . Найти все значения m, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
7 . Найти все значения a, при которых система уравнений не имеет решений.
- Сборник задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие / Под редакцией МИ. Сканави. — М.: Высшая школа, 1992.
- Задачи с параметрами и методы их решения В.С.Крамор.-М. Мир и образование, 2007.
- Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами В.И. Горбачев. – Брянск, 1998.
4. Материалы для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию для выпускников школ и абитуриентов В.И.Тишин. – Комаричи, 2008 г.
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi-i-parametrami/
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2015/08/16/konspekt-uchebnogo-zanyatiya-po-teme-sistema-lineynyh-uravneniy-s